Twierdzenia matematuczne na maturę roz.

[smigol]

Faff, uważasz, że twierdzenie sinusów i cosinusów dla kąta trójściennego może się przydać na maturze? Bo zakładam, że o to Ci chodzi, jeśli piszesz, że to do stereometrii.

[piasek101]

a jakie to są te praktyczne wzory na logarytmy ?

Np.

\(\displaystyle{ a^{log_a b}=b}\)

\(\displaystyle{ a^{log_b c}=c^{log_b a}}\)

[edit] Stereometria - jeśli w wielościan o polu (P) da się wpisać kulę o promieniu (R) to objetość wielościanu (często ostrosłupa) to \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PR}\)

[zidan3]

a jakie to są te praktyczne wzory na logarytmy ?

Na logarytmy to te co sa w tablicach, na maturze i tak nie bedzie rownan i nierownosci wykładniczych i logarytmicznych.

Btw. twierdzenie sinusów i cosinusów jest w karcie wzorow.
Polecam rownież twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trojkacie.
Wzor na długość okregu wpisanego w dowolny czworokąt.
\(\displaystyle{ r= \frac{P}{p}}\)
\(\displaystyle{ P}\)-Pole czworokąta
\(\displaystyle{ p}\)-połowa obwodu.

proponuje również znać odcinkową postac funkcji, moze bardzo ułatwic zadanie w geometrii analitycznej.
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}=1}\)

Moze sie przydac jeszcze zaleznosc wyskosci poprowadzonej na przeciwprostokatną
\(\displaystyle{ h= \sqrt{x \cdot y}}\)
Gdzie\(\displaystyle{ x y}\) to odcinki na jakie dzieli wysokość przeciwprostokątną.

[Faff]

Faff, uważasz, że twierdzenie sinusów i cosinusów dla kąta trójściennego może się przydać na maturze? Bo zakładam, że o to Ci chodzi, jeśli piszesz, że to do stereometrii.

Akurat miałem na myśli zadanie na maturze ze stereo z 2009 roku (jeśli dobrze pamiętam). Tam coś było z kątem dwuściennym i można było wykorzystać tw. cosinusów w dojściu do rozwiązania.

Ale skoro jest w tablicy to luz

[pipol]

To też może bardzo pomóc na maturze : 32360.htm

[adambak]

było, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równej długości (nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem) to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie to ja jeszcze dorzucę jedno wg mnie istotne:

jeżeli każda ściana boczna ostrosłupa tworzy z podstawą ten sam kąt to spodek wysokości ostrosłupa jest z kolei środkiem okręgu wpisanego w podstawę..

ogólnie temat uważam za bardzo dobry na powtórkę przed maturą, bo są właśnie takie fakty (jak wyżej wymienione) których bezpośrednio w karcie wzorów nie ma, a nie ma sensu ich wymyślać na maturze i tracić czas, tylko przejść od razu do rozwiązywania..

[R33]

Tw. sinusów i cosinusów jest w tablicach.

Ja też będę dodawał jakieś twierdzenia od siebie, żeby za rok (albo jeszcze i w tym) jak ktoś będzie szukał to żeby miał wszystko w jednym miejscu:

W każdym trójkącie prostokątnym długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to dokładnie połowa przeciwprostokątnej.

Prostokąt którego przekątna jest osią symetrii jest kwadratem.

[Zimnx]

W każdym trójkącie prostokątnym długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to dokładnie połowa przeciwprostokątnej.

Z tego wynika, ze srodek okregu opisanego na tr. prostokatnym lezy w polowie przeciwprostokatnej.

[perfect]

Paczka ode mnie, skopiowana z pliku wordowskiego, w którym zapisywałem w ciągu ostatnich dni przydatne twierdzenia/właściwości napotkane podczas rozwiązywania zadań.

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych:

Jeżeli prosta b jest rzutem prostokątnym prostej a na daną płaszczyznę, to prosta c leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej a wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do b.

Innymi słowy:
Jeśli prosta jest prostopadła do dwóch prostopadłych, to jest też prostopadła do każdej prostej w płaszczyźnie (ścianie figury) tworzonej przez te dwie proste.

Twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

Twierdzenie o siecznych

Dla danego punktu P i okręgu O, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia |PA|*|PB| jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych. Dla stycznych wyrażenie ma postać: |PA|2

Ponadto zaznaczone kąty są równe:

AU

440px-Secant_line-proofsvg.png (12.09 KiB) Przejrzano 318 razy

Kąt rozwarcia stożka
\(\displaystyle{ tan \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{h}}\) (r - promień podstawy stożka, h - wysokość stożka)

Kąt pomiędzy dwiema prostymi najłatwiej wyliczyć stosując fakt, że tangens kąta między osią OX a prostą o równaniu y=ax+b wynosi a (a następnie ze wzoru na tangens różnicy dwóch kątów, wzór jest w tablicach).

Środkowe dzielą się w stosunku 2:1

Środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej ma połowę jej długości.

Błąd - przepraszam, później sprawdzę notatki czemu doszedłem do tak głupiego wniosku.

Ukryta treść:    

Przekątne trapezu dzielą trapez na cztery trójkąty: oparte na ramionach są przystające, a na podstawie – podobne (skala podobieństwa to stosunek podstaw).

Wersja poprawna:
Przekątne trapezu dzielą trapez na cztery trójkąty: oparte na ramionach mają równe pola, a oparte na podstawach są podobne (skala podobieństwa to stosunek podstaw).

Odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do trzeciego z boków tego trójkąta.

Prosta prostopadła do wektora [A, B], to prosta Ax+By+C=0


Jak coś jeszcze fajnego zauważę to dam znać, dziękuje za ten wątek i proszę "MOAR", zwłaszcza stereometrii

[PMichalak]

Przekątne trapezu dzielą trapez na cztery trójkąty: oparte na ramionach są przystające, a na podstawie – podobne (skala podobieństwa to stosunek podstaw).

Nieprawda.

[adambak]

Przekątne trapezu dzielą trapez na cztery trójkąty: oparte na ramionach są przystające, a na podstawie – podobne (skala podobieństwa to stosunek podstaw).

owszem oparte na podstawie - racja..

ale oparte na ramionach nie muszą być przystające! mają równe pola - to zawsze, ale nie muszą być przystające (mogą mieć inne kąty)..

[perfect]

Przekątne trapezu dzielą trapez na cztery trójkąty: oparte na ramionach są przystające, a na podstawie – podobne (skala podobieństwa to stosunek podstaw).

owszem oparte na podstawie - racja..

ale oparte na ramionach nie muszą być przystające! mają równe pola - to zawsze, ale nie muszą być przystające (mogą mieć inne kąty)..

Dzięki za zauważenie błędu i podanie poprawnych wersji.

[akw]

- jeżeli ostrosłup jest prosty, to wszystkie jego krawędzie boczne są równe

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego jest to prawda?

[piasek101]

Spodek wysokości jest w środku okręgu opisanym na podstawie.

[akw]

Ok, powinienem jeszcze raz przeczytać zanim wysłałem. Doczytałem tam krawędzie podstawy..... Dzięki