Matematyka.pl

Każda przekątna należy do dokładnie jednego białego i czarnego trójkąta, a każdy bok należy albo do białego albo do czarnego trójkąta, zatem można napisać \(\displaystyle{ B_{b}+n-3=3T_{b} \ \ B_{c}+n-3=3T_{c}}\), gdzie \(\displaystyle{ B_b}\) to liczba białych boków, \(\displaystyle{ T_b}\), to liczba białych trójkątów, z czarnymi analogicznie. Otzymujemy zatem \(\displaystyle{ T_c \ge \lceil \frac{n-3}{3} \rceil}\). Jest tyle równe kiedy zależnie od n czarnych boków jest 0, 1 albo 2 (tak aby \(\displaystyle{ 3|B_c+n}\)). Teraz wystarczy tylko skonstruować takie wielokąty, w których to istnieje, a to już jest proste (przez indukcję)

Konstruujemy w ten sposób:
Indukcja, która pamięta następującą rzecz: jak \(\displaystyle{ n \equiv 0 \ (mod3)}\) to na brzegu wielokąta nie ma czarnych boków, jak 1 to są dwa czarne boki, jak 2 to jeden. W pierwszym przypadku dokładamy czarny trójkąt gdziekolwiek, w pozostałych dwóch do czarnego boku doklejamy biały. Oczywiście wszystko się przy tej indukcji zachowuje.
Że nie da się mniej:
Jeden czarny trójkąt może pokryć najwyżej 3 z pośród \(\displaystyle{ n-3}\) przekątnych, więc musi być ich co najmniej \(\displaystyle{ \lceil \frac{n-3}{3} \rceil}\)