Hipoteza Goldbacha

[witkal77]

Skoro są równoważne, to można korzystać zamiennie, więc trudno mówić o jakiejkolwiek większej uniwersalności którejkolwiek z nich.

Udowodniając hipotezę o średnich udowadniasz hipotezę Goldbacha.Jakiś pomysł?

[Althorion]

Na co? Na dowód hipotezy Goldbacha? Jakbym miał, to bym siedział teraz w jakimś chłodniejszym kraju z milionem dolarów na koncie, a nie przegrzewał się w Polsce.

[witkal77]

Nie chodzi mi byś udowadniał Hipotezę Goldbacha bo na tym wielu mądrzejszych od nas połamało sobie zęby tylko hipotezę o średnich,bo chyba zgodzisz się z tw.
Jezeli kazda liczba naturalna większa od 3 jest średnią arytmetyczną dwóch liczb pierwszych(mogą być te same) to hipoteza Goldbacha jest prawdziwa.
Dowód tego tw. jest oczywisty,natomiast tw.odwrotnego już nie.

[AiDi]

Rozumiesz co znaczy słowo "równoważny"?

[witkal77]

Trochę wyobraźni.
Zweryfikujmy hipotezę Goldbacha np. dla liczby \(\displaystyle{ n=10}\). \(\displaystyle{ 7+3=10}\)
Co na tej podstawie możemy powiedzieć o innych liczbach parzystych.Nic
Zweryfikujmy hipotezę o średnich dla liczby \(\displaystyle{ n=10}\). \(\displaystyle{ \frac{7+13}{2}}\)
Co na tej podstawie możemy powiedzieć o innych liczbach parzystych.
Mozemy powiedzieć ,ze liczby \(\displaystyle{ 20,40,80,160}\).... spełniają hipotezę Goldbacha.
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) spełnia hipotezę o średnich to liczba \(\displaystyle{ 2a}\) spełnia hipotezę Goldbacha,
a ponieważ hipoteza Goldbacha jest równoważna hipotezie o średnich więc liczba \(\displaystyle{ 2a}\) też ja spełnia a skoro tak to liczba \(\displaystyle{ 4a}\) spełnia hipotezę Goldbacha itd.
Oczywistym jest ,czy w ten sposób możemy zweryfikować wszystkie liczby?

[yorgin]

Zweryfikujmy hipotezę o średnich dla liczby n=10. (7+13)/2
Co na tej podstawie możemy powiedzieć o innych liczbach parzystych.

Nic.

[witkal77]

Cytowanie mądrych ludzi nic nie wnosi do tematu.Jeśli masz coś mądrego do powiedzenia od siebie, w temacie to chętnie się ustosunkuję.
Nic w mojej wypowiedzi oznacza tyle ,że weryfikując liczbę parzystą pod kątem hipotezy Goldbacha,nic w kwestii weryfikacji innych liczb parzystych nie da się powiedzieć.

[yorgin]

Tak samo jak nie da się tego powiedzieć w kwestii hipotezy o średnich. Znajomość rozkładu dla jednej liczby nie mówi nic o rozkładzie dla dowolnej innej liczby.

Poza tym dalej mam wrażenie, że nie rozumiesz równoważności obu hipotez.

Jeżeli liczba a spełnia hipotezę o średnich to liczba 2a spełnia hipotezę Goldbacha,
a ponieważ hipoteza Goldbacha jest równoważna hipotezie o średnich więc liczba 2a też ja spełnia a skoro tak to liczba 4a spełnia hipotezę Goldbacha itd.

Mamy \(\displaystyle{ a=10}\) jak w Twoim przykładzie.

\(\displaystyle{ a=\frac{13+7}{2}}\)

Stąd jasne jest, że \(\displaystyle{ 20=13+7}\) więc hipoteza Goldbacha zachodzi.

Teraz zgodnie z tym, co napisałeś, \(\displaystyle{ 20}\) spełnia hipotezę o średnich. Pokaż mi, jak z poprzedniego rozkładu dla \(\displaystyle{ a}\) znaleźć rozkład \(\displaystyle{ 20=\frac{b+c}{2}}\). Jak dla mnie nie da się tego zrobić konstruktywnie i na tyle jasno, żeby z marszu twierdzić, że hipoteza jest spełniona.

[Qń]

Jezeli kazda liczba naturalna większa od 3 jest średnią arytmetyczną dwóch liczb pierwszych(mogą być te same) to hipoteza Goldbacha jest prawdziwa.
Dowód tego tw. jest oczywisty,natomiast tw.odwrotnego już nie.

Dowód twierdzenia odwrotnego rzecz jasna też jest oczywisty. Weźmy dowolną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n>3}\). Liczba \(\displaystyle{ 2n}\) jest parzysta, więc z założenia prawdziwości hipotezy Goldbacha wynika, że dla pewnych \(\displaystyle{ p,q}\) pierwszych jest \(\displaystyle{ 2n=p+q}\), a zatem \(\displaystyle{ n=\frac{p+q}{2}}\). Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ n}\) dostajemy tezę.

Q.

[witkal77]

Otóż,wcale nie muszę tego robić .Skoro liczba 20 spełnia hipotezę Goldbacha to jednocześnie implikuje to takie dwie liczby pierwsze,których średnią jest 20.Tak rozumiem równowazność obu hipotez.

[Qń]

.Skoro liczba 20 spełnia hipotezę Goldbacha to jednocześnie implikuje to takie dwie liczby pierwsze,których średnią jest 20.

Co to znaczy "implikować dwie liczby"?

Q.

[yorgin]

Otóż,wcale nie muszę tego robić .Skoro liczba 20 spełnia hipotezę Goldbacha to jednocześnie implikuje to takie dwie liczby pierwsze,których średnią jest 20.Tak rozumiem równowazność obu hipotez.

Źle ją rozumiesz.

Równoważność polega na tym, że \(\displaystyle{ 2n}\) spełnia hipotezę Goldbacha wtw \(\displaystyle{ n}\) spełnia hipotezę o średnich. To jedyny możliwy konstruktywny sposób myślenia.

No, chyba że pokażesz mi, jak to implikuje. Jak znając rozkład \(\displaystyle{ 100!^{10}}\) na sumę dwóch liczb pierwszych mogę znaleźć dwie liczby pierwsze, których średnią jest \(\displaystyle{ 100!^{10}}\) ?

[witkal77]

Odpowiem Ci tak.
Par lat temu napisałem pracę w ktorej obliczam jakie jest prawdopodobieństwo,że dana liczba naturalna nie jest średnią atytmetyczną dwóch liczb pierwszych.Jak znajdę to mogę Ci przesłać byś się zapoznał.Obliczam tam jakie jest prawdopodobienstwo ,że liczba \(\displaystyle{ n}\) nie jest średnią dwoch liczb pierwszych przy założeniu ,że znam wszystkie liczby pierwsze w przedziale do \(\displaystyle{ n}\) i znam tylko szacunek ilości liczb pierwszych w przedziale od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ 2n}\). Wnioski jakie tam wyciagam są następujące: prawdopodobieństwo, że liczba \(\displaystyle{ n}\) nie jest średnią arytmetyczną dwóch liczb pierwszych
dązy dramatycznie do \(\displaystyle{ 0}\). Już dla liczby \(\displaystyle{ n=4000}\) prawdopodobieństwo jest mniejsze niż znalezienie konkretnego atomu we Wszechświecie. A co powiedzieć o liczbie, ktorą podałeś. Tak ,że istnienie "czarnej owcy" im większą liczbę podasz jest mniejsze.Wbrew pozorom zagrożeniem dla Goldbacha i hipotezy o średniej są małe liczby ale te jak wiesz potrafimy zweryfikować.

[yorgin]

A jak to się ma do głównego wątku tematu? Dla mnie to nie ma nic wspólnego - zmieniasz temat.

A ja cały czas pytam:

Mamy \(\displaystyle{ a=10}\) jak w Twoim przykładzie.

\(\displaystyle{ a=\frac{13+7}{2}}\)

Stąd jasne jest, że \(\displaystyle{ 20=13+7}\) więc hipoteza Goldbacha zachodzi.
Teraz zgodnie z tym, co napisałeś, \(\displaystyle{ 20}\) spełnia hipotezę o średnich. Pokaż mi, jak z poprzedniego rozkładu dla \(\displaystyle{ a}\) znaleźć rozkład \(\displaystyle{ 20=\frac{b+c}{2}}\).

Jak mając dane \(\displaystyle{ 13}\) i \(\displaystyle{ 7}\) wyznaczysz \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) zakładając, że nie znasz wszystkich liczb pierwszych do \(\displaystyle{ 40}\) włącznie? Innymi słowy, masz wymyślić \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) z wiedzy o tym, że \(\displaystyle{ a=13+7}\). Jak to zrobisz?

[witkal77]

Coś nie poszło.
Napisałem tylko tyle ,że hipotezy Goldbacha i o średnich to nie algorytmy na znajdowanie liczb pierwszych.A zdaję się ,ze tego ode mnie oczekujesz.Nie ma takiego algorytmu.
Z faktu zweryfikowania hipotezy Goldbacha dla \(\displaystyle{ n=20}\) wcale nie wynika ,że jest zweryfikowana dla \(\displaystyle{ n=22}\), ale dla \(\displaystyle{ n=40}\) już tak.Zauważ ,ze dla danej liczby obie hipotezy mogą być prawdziwe,lub obie fałszywe.Nie może być tak ,że istnieje taka liczba dla której hipoteza Goldbacha jest prawdziwa a o średnich fałszywa lub odwrotnie.