Nie dobrze. Np. \(\displaystyle{ 1}\) wyznacza rodzinę wszystkich zbiorów jednoelementowych, która nie jest zbiorem.lukash2k pisze:Inaczej tłumacząc:
Każda liczba kardynalna wyznacza rodzinę zbiorów równolicznych. Zatem zbiór wszystkich liczb kardynalnych Z można potraktować jako rodzinę rodziny zbiorów wyznaczanych przez wszystkie liczby kardynalne - zatem zbió wszystkich zbiorów, a ten nie istnieje, więc ze sprzeczności nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych.
A jakby, wszystkim zbiorom przypisać taką samą liczbę kardynalną, to mielibyśmy zbiór jednoelementowy, który jest zbiorem. W rzeczywistości znamy trochę więcej tych liczb kardynalnych (mniejsza o to, rzecz w tym, że wielu zbiorom można przypisać taką samą liczbę kardynalną).
są różne liczby kardynalne: 1, 44, alef 0 itp..., prawda? I czy tych liczb jest przeliczalnie wiele?
Bardziej byłbym skłonny w ten sposób mysleć, znane liczby kardynalne to liczby kardynalne zbiorów skończonych oraz liczby kardynalne \(\displaystyle{ \left| \mathbb{N}\right| ,\left| P\left( \mathbb{N}\right)\right| ,\left| P\left( P\left( \mathbb{N}\right)\right)\right|,\ldots}\)
Otrzymujemy , jedynie przeliczalną ilość liczb kardynalnych, i nie ma tu sprzeczności.
Skoro o tym mowa, to rzeczywiście nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych, ale dowód nie jest taki prosty, jak na zasadzie związku z brakiem zbioru wszystkich zbiorów.
Przedstawie własny dowód tego faktu:
Załóżmy nie wprost, że istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych \(\displaystyle{ \Omega}\)
Zatem istnieje \(\displaystyle{ \bigcup \Omega}\)
Niech \(\displaystyle{ A\in\Omega}\)
\(\displaystyle{ \bigcup \Omega\supseteq A}\) zatem \(\displaystyle{ \left| \bigcup \Omega \right|\ge\left| A\right|}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A\in\Omega}\) zatem \(\displaystyle{ A}\) jest liczbą kardynalną, więc \(\displaystyle{ \left| A\right| =A}\)
\(\displaystyle{ \left| \bigcup \Omega \right|\ge A}\)
Z dowolności liczby kardynalnej \(\displaystyle{ A\in\Omega}\) otrzymujemy , że \(\displaystyle{ \left| \bigcup \Omega \right|}\) jest największą liczbą kardynalną, co prowadzi do sprzeczności gdyż \(\displaystyle{ P\left( \bigcup \Omega\right)}\) ma moc większą.
Chyba dobrze, prawda?
