Próbna matura - OPERON - listopad 2009

[shymon23]

moglibyscie podac chociaz tresc zadania z logarytmami? no i jak wyjasnic jak rozwiazaliscie bo bylem chory i totalnie nic z tego nie czaje... bylbym bardzo wdzieczny

[koovvall]

Jakby u Nas w szkole można było wyjść się odlać to bym zrobił dużo więcej, a tak po połowie czasu wyszłem i lipa. W całości zrobiłem chyba 4 zadania tylko.

[Hilda]

Niesamowicie pozytywne zaskoczenie Myślałam, że będę kartkować ten arkusz i ze strachem stwierdzać, że żadnego nie umiem zrobić, ale był luz. Jedno zrobiłam w połowie, inne nie doprowadziłam do wyniku (błąd rachunkowy), a reszta ok Jestem zadowolona.

moglibyscie podac chociaz tresc zadania z logarytmami?

Wiedząc, że \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ x>1}\) udowodnij, że zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ log_{a}x + log_{x}a \ge log100}\)

No to z własności jednej zamieniasz podstawy i masz liczbę i jej odwrotność są większe od 2. Podstawiasz sobie pomocniczą niewiadomą i teraz tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t + \frac{1}{t} \ge 2 \\
t>0 \end{cases}}\)

A dalej to już zabawa

[Charles90]

ma ktoś z was zadanka?, mimo że mnie już to nie obowiązuje to jestem bardzo ciekaw jak wyglądało dzisiejsze rozszerzenie..

[shymon23]

dzieki wielkie Hilda

[wiejar]

No to z własności jednej zamieniasz podstawy i masz liczbę i jej odwrotność są większe od 2. Podstawiasz sobie pomocniczą niewiadomą i teraz tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t + \frac{1}{t} \ge 2 \\
t>0 \end{cases}}\)

A dalej to już zabawa

ja zrobiłem nieco inaczej bo zamieniłem podstawe logarytmu:
\(\displaystyle{ \frac{log x}{log a} + \frac{log a}{log x} \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{log^2 x + log^2 a}{log x*log a} \ge 2}\)
\(\displaystyle{ log^2 x + log^2 a \ge 2 log x*log a}\)
\(\displaystyle{ log^2 x + log^2 a - 2 log x*log a \ge 0}\)
ze zworu skr. mn.:
\(\displaystyle{ (log x - log a)^2 \ge 0}\)
zawsze prawdzowe:]

[edaro]

\(\displaystyle{ log ^{2} _{a}x + 1 \ge 2log _{a}x}\)
czy to jest zawsze prawdziwe dla podanych założeń?

[Hilda]

Ja bym nie ryzykowała mnożeniem w ten sposób, tylko przeniosłabym na jedną stronę i sprowadziła do wspólnego mianownika.

[wiejar]

\(\displaystyle{ log ^{2} _{a}x + 1 \ge 2log _{a}x}\)
czy to jest zawsze prawdziwe dla podanych założeń?

Zauważ że tam jest \(\displaystyle{ (log a - log x)^2 \ge 0}\)

jakąkolwiek liczbę nie podniesiesz do kwartatu będzie większa lub równa zero.

ps. podtawę logartymu zamieniłem na 10 więc jej nie pisze.

[G.BEST7]

W tym ze spiralą wyszło w przybliżeniu (ciągiem liczyłem).
\(\displaystyle{ 1,99\pi r}\). \(\displaystyle{ ( \frac{2046}{1024}\pi r = 1 \frac{1022}{1024}\pi r).}\)
W wielomianie suma odwrotności pierwiastków równała się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) no więc jest wymierna.
W tym z równaniem kwadratowym trzeba było ułożyć dobre założenia czyli \(\displaystyle{ delta>0 \wedge x1+x2>0 \wedge x1*x2>0}\), po rozwiązaniu tych trzech nierówności i wzięciu części wspólnej wyszło bodajże\(\displaystyle{ x \in (-5,-3)}\).
W pierwszym z tą wartością bezwzględną trzeba było rozpatrzeć przypadki
\(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x<0 \wedge y<0}\)
\(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y<0}\)
\(\displaystyle{ x<0 \wedge y \ge 0}\)
Po rozwiązaniu dla każdego przedziału tych układów (metodą przeciwnych współczynników najłatwiej) wychodziły pary x i y w jednym tylko chyba jedna wartość nie zawierała się w przedziale. Więcej nie pamiętam.

[eufemizm]

Drodzy wielbiciele matematyki..mam prośbe czy ktoś mógłby podać treść zadania z tą spiralą? Będę dozgonnie wdzięczny;)

[buahaha]

Parafraza:
Spiralę rysuje się poprzez narysowanie półokręgu AB o średnicy 2r, następnie półokręgu OB (O-środek 1 okręgu) po przeciwnej stronie osi i tak dalej...
Oblicz długość spirali składającej się z 10 takich półokręgów.

[wiejar]

Parafraza

peryfraza raczej;) nie pamiętasz z matury z polskiego?;)

[G.BEST7]

Dobrze napisał, ja słaby z polskiego jestem, ale odróżniam znaczenie wyrazu parafraza i peryfraza. Parafraza to przytoczenie jakiegoś tekstu etc. z zachowaniem sensu.

[XYY]

.