ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[Grzechu1616]

Niech \(\displaystyle{ a _{n} = 99 \cdot \cdot \cdot 9}\). Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów tego ciągu.
te\(\displaystyle{ 99 \cdot \cdot \cdot 9}\) jest wzięte od spodu w klamrę i oznaczone jako \(\displaystyle{ n}\)

[Justka]

Ukryta treść:    

Inaczej \(\displaystyle{ a_n=10^n-1}\), a suma
\(\displaystyle{ S_{12}=a_1+a_2+...+a_{12}= (10-1)+(10^2-1)+ ... + (10^{12}-1)= 10\frac{10^{12}-1}{9} - 12}\)

To może coś podobnego:
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \underbrace{111...1}_{2n} - \underbrace{222...2}_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

[math questions]

\(\displaystyle{ \underbrace{111...1}_{2n}=a _{n}}\)

\(\displaystyle{ a _{1}=11=10 ^{0}+10 ^{1} \\ a _{2}=1111=10 ^{0}+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{3} \\ a _{3}=111111=10 ^{0}+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{3}+10 ^{4}+10 ^{5} \\ ...\\ a _{n}=\underbrace{111...1}_{2n}=10 ^{0}+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{3}+...+10 ^{2n-1}}\) - suma ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ a _{1}=1,\ q=10}\)

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{9}(10 ^{2n}-1)}\)

\(\displaystyle{ \underbrace{222...2}_{n}=b _{n}=2 \cdot\underbrace{1...1}_{n}=\frac{1}{9}(10 ^{n}-1)}\)

\(\displaystyle{ a _{n}-b _{n} = \frac{1}{9}(10 ^{2n}-1)-2 \cdot \frac{1}{9}(10 ^{n}-1)= \left( \frac{10 ^{n}-1 }{3} \right) ^{2}}\) tutaj tylko dowód indukcją ze: \(\displaystyle{ 10 ^{n}-1\ jest\ podzielne\ przez\ 3}\)

[xanowron]

Dowód indukcyjny podzielności \(\displaystyle{ 10^n-1}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest niepotrzebny, bo przecież liczba \(\displaystyle{ 10^n-1}\) składa się z samych dziewiątek.

[math questions]

Wykaż, że jesli \(\displaystyle{ (b _{n})}\) jest ciagiem artmetycznym o dodatnich wyrazach i dodatniej róznicy, to dla każdego \(\displaystyle{ n \in N ^{+}}\) zachodzi nierównośc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{1} } }+\frac{1}{ \sqrt{b _{2} } }+...+\frac{1}{ \sqrt{b _{n} } } > \frac{2}{r} \left( \sqrt{b _{n+1} }- \sqrt{b _{1} } \right)}\)

[Justka]

Dla dowolnego \(\displaystyle{ i}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ (*) \ \frac{1}{\sqrt{b_i}} > \frac{2}{b_{i+1}-b_i}(\sqrt{b_{i+1}}-\sqrt{b_i})}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{i+1}-b_i=r}\)
(łatwo to udowodnić;
przekształcając powyższą nierówność dochodzimy do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{b_i}+\sqrt{b_i}}> \frac{1}{\sqrt{b_{i+1}}+\sqrt{b_i}}=\frac{1}{\sqrt{b_i+r} + \sqrt{b_i}}}\), co jest prawdą, ponieważ r>0 .)

Dodając stronami nierówność (*) dla i=1,2,...n otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{1} } }+\frac{1}{ \sqrt{b _{2} } }+...+\frac{1}{ \sqrt{b _{n} } } > \frac{2}{r} \left( \sqrt{b _{n+1} }- \sqrt{b _{1} } \right)}\).

[Grzechu1616]

Prawdopodobieństwa zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: \(\displaystyle{ P (A \cup B ^{'} )=0,23}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B ) ^{'}=0,81}\) . Oblicz \(\displaystyle{ P(B )}\) .

[math questions]

\(\displaystyle{ k \in <1;\ n>}\)

\(\displaystyle{ (b _{n})}\) jest ciągiem artmetycznym o wyrazach dodatnich \(\displaystyle{ b _{k+1}>b _{k}}\) i róznica \(\displaystyle{ r=b _{k+1}-b _{k}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{k} } }=\frac{2}{2 \sqrt{b _{k} } } = \frac{2}{\sqrt{b _{k} }+\sqrt{b _{k} }}>\frac{2}{\sqrt{b _{k+1} }+\sqrt{b _{k} }} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{b _{k} }+\sqrt{b _{k} }}> \frac{2 \left( {\sqrt{b _{k+1} }-\sqrt{b _{k} }} \right) }{b _{k+1}-b _{k} }}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{k} } }= \frac{2}{r} \left(\sqrt{b _{k+1} }-\sqrt{b _{k} } \right)}\)
ponieważ \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\), więc otrzymujemy n nierówności, które dodajemy stronami
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{1} } }+\frac{1}{ \sqrt{b _{2} } }+...+\frac{1}{ \sqrt{b _{n} } } > \frac{2}{r} \left[ \left( \sqrt{b _{2}}- \sqrt{b _{1} } \right) +...+ \left(\sqrt{b _{n+1} }- \sqrt{b _{1} } \right) \right]}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{b _{1} } }+\frac{1}{ \sqrt{b _{2} } }+...+\frac{1}{ \sqrt{b _{n} } } > \frac{2}{r} \left( \sqrt{b _{n+1} }- \sqrt{b _{1} } \right)}\)

może bardziej czytelny dowód

[?widerski]

.

[pumpkin]

Wasze wyniki próbnych matur rozszerzonej matematyki.. Pełen podziw za powyżej 80 %. : ) I szczerze mówiąc przeraziłam się brakiem wiedzy u mnie.. Zdaję rozszerzoną i z dnia na dzień zaczynam wątpić w pomyślność jej dobrego zdania. A matura tuż tuż - za 3 tygodnie ! Odczuwacie że to już tak niebawem ?

[Nanami]

Wychodzę z założenia, że - co ma być to będzie. Tam, gdzie chcę się dostać, wystarczy w zasadzie matematyka podstawowa, ale coś dodatkowego wybrać wypadało.

[Arst]

Prawdopodobieństwa zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: \(\displaystyle{ P (A \cup B ^{'} )=0,23}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B ) ^{'}=0,81}\) . Oblicz \(\displaystyle{ P(B )}\) .

W oryginalnej treści tego zadania jest \(\displaystyle{ P(A' \cup B')=0.81}\). Ułatwiasz pisząc \(\displaystyle{ P(A \cap B ) ^{'}=0,81}\).

\(\displaystyle{ P(B)=0.96}\)

Dodam jeszcze, że do tego zadania jest dodatkowy podpunkt:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(A)<0.21}\) to \(\displaystyle{ P(A' \cap B')>0.02}\)

[Grzechu1616]

\(\displaystyle{ P (A \cup B ^{'} )=0,23}\) jak to przerobić?:D

[xanowron]

\(\displaystyle{ P (A \cup B ^{'} )=1-P(B)+P(A \cap B)}\)

Dodam jeszcze, że do tego zadania jest dodatkowy podpunkt:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(A)<0.21}\) to \(\displaystyle{ P(A' \cap B')>0.02}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(A)<0.21}\)
\(\displaystyle{ P(B)=0.96}\)
\(\displaystyle{ P(A' \cup B')=0.81}\) z De Morgana mamy \(\displaystyle{ P(A' \cup B')=1-P(A \cap B) \Leftrightarrow P(A \cap B)=0.19}\)

Teraz ze znanej tożsamości:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+0.96-0.19<0.21+0.96-0.19=0.98}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)<0.98}\)
Z De Morgana: \(\displaystyle{ P(A \cup B)=1-P(A' \cap B')}\)
Czyli \(\displaystyle{ 1-P(A' \cap B')<0.98 \Leftrightarrow P(A' \cap B')>0.02}\)

[Arst]

\(\displaystyle{ P(A \cup B')=P(A)+P(B')-P(A \cap B') \\
P(A \cap B')=P(A\backslash (A \cap B))=P(A)-P(A \cap B)=P(A)-0.19}\)