[LVI OM] 1 seria - rozwiązania

[jh]

Mnie stać było tylko na jedno zadanie widać jakiś tępy jestem...
Mam pytanie: w jaki sposób w zad.2 przeszliście z postaci n(n+1)(2n+1)-6
do (n-1)(2n^2+5n+6) tzn. wiem że jak to się wymnoży to się zgadza ale nie rozumiem jak na to wpaść, bo ja ze dwie noce myślałem i mi się nie udało
poza tym jak dowieść, że (n-1) i (2n^2+5n+6) są wzglednie pierwsze?
Z góry dzięki za cierpliwość

[Zlodiej]

n(n+1)(2n+1)-6=2n^3+3n^2+n-6

Zauważ ze dla n=1 wyrażenie 2n^3+3n^2+n-6 równe jest 0 czyli 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Stąd mamy (n-1) teraz dzielisz (mozna pisemnie) ten wielomian przez n-1 i powstaje to w drugim nawiasie.

Czy tez 2n^3+3n^2+n-6=2n^3-2n^2+5n^2-5n+6n-6=(n-1)(2n^2+5n+6)

[jh]

Hmm... chyba nie powinienem się brać za olimpiadę jeżeli nie przerobiłem jeszcze dzielenia wielomianów... a na drugie rozwiązanie mam za mało wyobraźni

Pozostaje jeszcze druga część pytania że n (n+1) (2n+1) są względnie pierwsze to nawet ja potrafiłem udowodnić a jak to wygląda z tymi dwoma czynnikami?

[półpasiec]

Arkadiuszu, zaiste jest to piekne, ale podobienstwo tych dwoch trojkatow na poczatku jest falszywe niestety. moze chodzilo o trojkat CEF?? juz sam nie wiem...

[_el_doopa]

Co do swoich rozwiazan to pierwsze robilem raczej inaczej niz wiekszosc bo zaczalem od rozpatrywania z,y,x modulo 2, a jako, ze wyniki wyszly jednoznaczne to podazylem to sciezka do konca. ]

oj chyba nie za dobrze kongruencje w pierwszym?? a kto powiedzial ze x y z sa calkowite ???

[Megus]

juz sie zorientowalem - jak mi zalicza na dwa to bedzie dobrze

[jh]

I jeszcze jedno pytanko a propos zad.2 zlodiej i arek mowia o 12 przypadkach.
Ja znalazłem 8:

n-1 i 2n^2+5n+6=
1 i 6*p^x
2 i 3*p^x
3 i 2*p^x
6 i p^x
i "odwrotności" Czy ktoś może wyprowadzić mnie z błędu lub przyznać mi rację?

[Ptolemeusz]

jh: n-1 teżmoże być podzielne przez p!
Megus: nie liczyłbym
Arku: mówiłeś że rozw. zad 4 jest tu napisane – czyli masz tak samo, ale jak ja czy tak jak Reksio?

[Zlodiej]

jh.
p^x=p^a+p^b gdzie a,b naturalne
Więc mamy jeszcze 4 przypadki:
p^a i 6p^b
2p^a i 3p^b
3p^a i 2p^b
6p^a i p^b

[Finarfin]

No, no. Widzę wiele ciekawych, zupełnie odmiennych sposobów niż mój. Ale ja tam lama matematyczna jestem, więc tak to już ze mną jest. Aczkolwiek postaram się pokazać jak ja zadania robiłem

1. Tutaj sposób był mniej więcej przedstawiony, ale wyjaśnię go bardziej szczegółowo, bo mam go na kompie
Zadanie można oczywiście rozwiązać na wiele mniej lub bardziej skomplikowanych sposobów, mi się akurat w oczy szybko rzucił taki tok rozwiązywania który opisałem - wydaje się dość prosty... (między kolejnymi krokami jest odstęp wiersza)

xx=yz+1
yy=xz+2
zz=xy+4

Część 1. (liczenie `z`)

xx-yy=yz-xz-1
yy-zz=xz-xy-2

(x+y)(x-y)+z*(x-y)=-1
(y-z)(y+z)+x*(y-z)=-2

(x+y+z)*(x-y)=-1 //widzimy tu, że x jest różne od y - bo gdyby z=y to by wychodziło, że 0=-1
(x+y+z)*(y-z)=-2 //widzimy analogicznie, że y jest różne od z

-1/(x-y)=-2/(y-z)

z-y=2y-2x

z=-2x+3y

Część 2. - do głównego układu równań podstawiamy `z`, wystarczą nam 2 pierwsze równania by znaleźć rozwiązanie

xx=y*(-2x+3y)+1
yy=x*(-2x+3y)+2

xx=-2xy+3yy+1
yy=-2xx+3xy+2

yy=-2*(-2xy+3yy+1)+3xy+2

yy=4xy-6yy-2+3xy+2

7yy=7xy

y(y-x)=0

W części pierwszej wyszło nam, że x jest różne od y, czyli to rozwiązanie odpada

zatem y=0

xx=1
zz=4

x=-1 lub x=1
z=2 lub z=-2
ale z=-2x //mamy z końca części 1.
zatem gdy x=-1 to z=2
oraz gdy x=1 to z=-2


Rozwiązanie:
2 trójki x,y,z:
-1, 0, 2
1, 0, -2

2. To zadanie to mój jeden wielki błąd Jakoś sobie uświadomiłem i wbiłem do mózgu, że suma tego ciągu musi się równać liczbie pierwszej podniesionej do kwadratu :O a nie do potęgi o wykładniku naturalnym. Przez co zadania nie zrobiłem

3. Tutaj wyprowadziłem sobie z punktu A wysokość i następnie udowodniłem, że suma kątów w nowo powstałym czworokącie wynosi
1 był kątem prostym, a suma dwóch innych wynosi 180 stopni, a więc trzeci musi być także równy 90 stopni, a więc jest to kąt prosty i tyle

4. Tutaj niestety mam niedokończoną odpowiedź, bo rozpatrzyłem 3 przypadki. No, ale i tak jest nieźle

W sumie to mam 2,5 zadania zrobionego, więc cienko ze mną jak narazie. Ale kolejne serie postaram się zrobić do końca. I nie w ostatni dzień rozwiązywać wszystkie zadania, bo zajęło mi to 6h, a jeszcze w szkole w ten dzień byłem i miałem sprawdziany

To był taki trening przed drugim etapem. Mam nadzieję, że się zakwalifikuję

[Arek]

Podobne co... Już wiem, o co chodzi... To CDE jest podobn do AGB. Nie no, mamy tak: wysokość dzieli ABC na dwa trójkąty prostokątne: ADC i BDC. Od E prowadzimy na BC prostopadłą. Znaczy, że mamy dwa podobne do BDC trójkąty prostokątne... jeden to BDE, a drugi to CDE. Zatem skoro AG równoległe do CD, to trójkąt CDE jest podobny AGB. A dalej wiadomo, sorry za pomyłkę... Wicie przecie, o co mi chodziło...

Co do 4 - ego:

LEMAT 1 - tw. o ciągach jednomonotonicznych - x_i i y_i muszą być jednomonotoniczne

LEMAT 2 S[x_i] = a, S[y_i] = b

i wstawiamy te jedynki i reszty i mamy...

[wiadro]

Nurtuje mnie zad.3 CZy ktos jest moze pewny swojego rozwiazania....?
Zakladaliscie z gory, ze omawiany kat jest prosty, czy dochodzicie do tego wniosku udowadniajac, ze iloczyn wspolczynnikow kierunkowych prostych, ktore go tworza jest rowny -1...? Jesli tak to w jaki sposob, bo niewydaje mi sie aby moje rozwiazanie bylo dobre.... Z gory dzieki..

[Finarfin]

Nurtuje mnie zad.3 CZy ktos jest moze pewny swojego rozwiazania....?
Zakladaliscie z gory, ze omawiany kat jest prosty, czy dochodzicie do tego wniosku udowadniajac, ze iloczyn wspolczynnikow kierunkowych prostych, ktore go tworza jest rowny -1...? Jesli tak to w jaki sposob, bo niewydaje mi sie aby moje rozwiazanie bylo dobre.... Z gory dzieki..

Nie robiłem założeń, że ten kąt jest prosty, bo inaczej byłoby to od razu nieprawdziwe. Nie można zakładać, że coś jest kątem prostym, skoro masz to udowodnić
Z przystawania i talesa swoje robiłem, więc tamtego sposobu nie wytłumaczę

[Zlodiej]

zakładając ze te proste są prostopadłe równoważnościami doszedłem do tego stusunku czyli do założenia. Jako ze to były równowaznosci dowód ten działa w drugą strone.

Iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych wynosi -1 i proste te nie są równoległe do osi układu współrzednych wtedy i tylko wtedy gdy proste te sa prostopadłe.

[jh]

Dzieki Zlodiej tylko jeszcze jak rozważyć te przypadki żeby wyszły z nich sprzeczności?