[LVI OM] 1 seria - rozwiązania

[Zlodiej]

Jako że czas na 1wszą serie minął można "chwalić" sie swoimi rozwiązaniami ...

Zad1.
Rozważyłem 4 przypadki pierwsze 3 to zakładanie po kolei ze x,y,z =0. 4 to w rozwiazaniu nie ma 0. Po róznego rodzaju przekształceniach doszedłem do równosci (Poprzez podzielenie przez y) 20x+12y+17z=0
Wymnozyłem kolejno przez x,y,z i powstał układ równań. Podstawiłem iloczyny dwóch róznych niewiadomych z układu głównego (np za xy,xz) i powstał kolejny układ równań. Wystarczyło poodejmować stronami kilka razy i powstała sprzeczność dlatego tlyko dla y=0 są jakiekolwiek rozwiazania.

Zad2.
W podreczniku do matmy znalazłem wzor na sume kolejnych kwadratów naturalnych, wystarczyło ze odjąłem stronami 1 i powstało mi cos takiego:
2^2+3^2+4^2+...+n^2=(n-1)(2n^2+5n+6)/6
wiemy ze ta suma to potega naturalna liczby pierwszej więc.
6p^x=(n-1)(2n^2+5n+6) gdzie x=a+b i a,b są naturalne

jako ze to liczby wzglednie pierwsze mozna rozwazyc 12 przypadków np
2p^x=(n-1) i 3=2n^2+5n+6

W wiekszosci z nich wychodziły sprzeczności a jedyne wyniki to n=2,3,4,7

Zad3.
Tu chyba skopałem znaczy wszystko dobrze ale sposobu moga sie czepić.

Umiesciłem trójkąt w układzie współrzednych gdzie punkt D był w punkcie (0,0).
Z tw. Talesa pokazałem ze EF/ED ma sie tak jak (xE-xF)/(xF-xD) wystarczyło tylko podłożyć do tego załozenia odpowiednie wspołrzedne x i powstałą równość. No i tu to czego sie czepią

Zakładam teraz, że AE i CF są prostopadłe. powstaje mi równanie. Nastepnie wyznaczam równania pewnych prostych prostopadłych. Wiemy ze wtedy iloczyn ich wspołczynników kierunkoweych bedzie równy -1 sta powstaje mi kilka takich równości z ktorych moge cos wyciagnąc i podstawić do tego tego układu równań gdy proste AE i CA są prostopadłe. W ten sposób powstaje mi równanie takie jak po przekształceniu tego głównego założenia. Jako ze to są równowaznosci moge wnioskować ze proste te są prostopadłe...

ad.4
Lepiej nie pisać
Wyniki wszystkie podane, rozpatrzyłem 4 przypadki 3 pierwsze są poprawne ale w 4 nie udowodniłem ze to jest napewno maksimum. Znaczy sie a lub b lub [a]+{a}*{b}.


To by było w skrócie bo wszystko mi zajęło chyba 12 stron.

[gnicz]

Co do zadania 4 (tylko przypadek w ktorym a < n oraz b < n).

Poniewaz:

x_i "e"
y_i "e"
i = 1, 2, 3, ..., n

to:

x_i

[Ptolemeusz]

no to skopałeś np. dla n=2 i a= 10 i b=110000100
trochę nie wychodzi

ale to nie tylko jedne błąd
rozw. zgadza Ci się w dwóch przykadkach (były cztery)

ja korzystałre z lematu
p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n>=q_1x_1+q_2x_2+...+q_nx_n
gdzy x_i>=0 i p_i,q_i>=0
oraz suma(p_i)=suma(q_i)
p_1>=q_1 i p_2>=q_2i p_2>=q_2 i ... i p_k>=q_k i p_(k+1)

[kgr]

Ja zrobiłam na sto procent dobrze 1 i 3, natomiast, czwartego nie jestem pewna, a drugiego nie zrobił nikt kogo znam.

A tak pozatym to witam!! Własnie znalazłam to forum...

[Zlodiej]

Gnicz a co bedzie jak [a]= ??

Wyniki są 4:
n,a,b,[a]+{a}*{b} w zaleznosci od a,b,n. Chyba

Zresztą jak ktoś ma inaczej zrobione to niech wrzuca tutaj przynajmniej skrót przecież po to ten topic

kgr
witam jak mozesz to zaprezentuj swoje rozwiazanie z 1 serii.

[kgr]

a którego zadania??

Jeśli [a]= to
chyba: s=suma
s=[a]+(a-[a])(b-) ale nei wiem bo tego zadania nie mogłam juz sie w nim pogubiłam... Nie wiem czy to dobrze zapisałam.

aha i jeszcze co do wyników z4, trzy pierwsze mam tak samo, a czwarty mam w trzech wariantach.

[Zlodiej]

Dowolnego... 1,2,3,4 ... oczywiscie to dla chetnych...

[kgr]

zad. 3

Wpisałam tego trójkata w układ wspołrzednych. Napisałam równania prostych BC i DE. Potem współczynnik kierunkowy prostej AE. wyznaczyłam wspołrzędne pkt. E. wyznaczyłam współrzędne pkt. F stosujac dodatkowe oznaczenia (korzystając z tw. Talesa). nastepnie wyznaczyłam współczynnik kierunkowy prostej CF. I miałam udowodnic, ze proste są prostopadłe, więc po pomnożeniu wspołczynnikó musiało wyjść -1. I wyszło.

zad. 1

doprowadziłam do takiej postaci:

(z-y)(z+y+x)=2
(y-x)(y+x+z)=z

z+x+y=2/(z-y)
y+x+z=1/(y-x)

wyszło z = 3y- 2xpodstawiłam to do dwóch rownań i wyszło x^2-y^2=1

wyszło y=0 lub x=y co nie moze miec miejsca
i wtedy podstaiłam do równania z y^2 i x^2. No i wyszło.


Proszę zapoznać się z regulaminem forum... Proszę nie pisać 2 postów pod rząd, po to jest edycja kazdego swojego postu zeby coś doklejać i zmieniać...

Zlodiej

Sory...

aha co do tych zadań to możecie wziąść pod uwagę, że chodze do III kl. gim.

[gnicz]

no to skopałeś np. dla n=2 i a= 10 i b=110000100
...
rozw. zgadza Ci się w dwóch przykadkach (były cztery)

Rozwazylem wszystkie cztery przypadki, tyle ze pozostale byly dosyc oczywiste i przedstawilem tu tylko fragment dla a < n i b < n (Ty podales n = 2, a = 10, b = 110000100, tak wiec ten fragment nie dotyczy tego przypadku bo a = 10 > n = 2 oraz b = 110000100 > n = 2).

Gnicz a co bedzie jak [a]= ??

Zakladam ze min(a,b) = a = b, gdy a = b.

Pozdrawiam, GNicz

[półpasiec]

3) na BC zaznaczamy taki punkt G, ze FG || AB z Talesa i podobienstwa trojkatow BDE,CDE dowodzimy, ze DGE jest podobny z CEF, skad katGDE=katFCE Z drugiej strony z twierdzenia odwrotnego do Talesa dowodzimy, ze AE || DG skad katGDE=katAED, czyli katAED=katFCE a to daje teze
4) rozpatrujemy tylko przypadek,kiedy [a]==w i odwrotnie jesli [p+q]=0. Zauwazmy przy tym, ze jesli wartosiom z (x_i) nadamy wartosci z (z_i) to suma x sie nie zmieni. Postepujac tak odpowiednia ilosc razy dochodzimy do sytuacji, kiedy tylko jedna liczba w kazdym ciagu jest z przedzialu (0;1). Powolujemy sie na teorie ciagow jednomonotonicznych i uzasadniamy, ze max sumy jest wtedy kiedy suma(x)=a i suma suma(y)=b, a wtedy max suma(xy)=[a]+{a}{b}
2) zapisujemy sume w takiej postaci jak u Zlodieja i rozpatrujemy 6 przypadkow liczb 6k+1 itd nastepnie dochodzimy do iloczynu (ak+b)*(ck^2+dk+e) uzasadniamy, ze czynnik ze stopniem pierwszym musi dzielic czynnik ze stopniem drugim (jesli nie jest jedynka oczywiscie). dzielimy ck^2+dk+e przez ak+b i patrzymy kiedy ak+b dzieli reszte, dzieje sie to rzadko, a jesli juz to ta liczba nie spelnia warunkow. Ostatecznie liczby to 2,3,4,7 (takim sposobem jedna strona wystarczyla)

[Ptolemeusz]

ale w poście tego nir napisałeś dlatego dałem taki przykład ale i tak pominołeś przypadek gdy [a]==

[Arek]

Zad 1

Wychodzą 2 trójki

x=1, y=0, z=-2
x=-1, y=0, z=2

Jak to zrobić?

Odejmujemy stronami kolejno: pierwsze od drugiego, pierwsze od trzeciego i drugie od trzeciego... Kilka chwil zabawy i mamy.

Zad 2

Tu nie komentuję... Zwijamy i ja rozważałem po prostu 12 przypadków... Nic oryginalnego... Wyniki: 2,3,4,7.

Zad 3

Piękne...

W punkcie A prowadzimy prostopadłą do odcinka AB. Punkt przecięcia odcinka BC z tą prostopadłą oznaczamy jako G. Trójkąty CDE i ADG są podobne, a z odpowiedniego stosunku w zadaniu, mamy równość kątów: AGD i ECF. Zauważmy, że na czworokącie ADEG da się opisać okrąg, a zatem kąty AGD i AED są na łuku AD i są równe. Stąd kąty AED i ECF są równe. Ale CFE, ti nic innego niż 90 - ECF. I to daje tezę.
Zad 4

Metodę znacie. Wyniki:

1) a>n, b>n : max[S] = n
2) a>n, b

[misial]

co do 2) to rozwazylem 1 przypadek zawierajacy wszystko:
(2n^2+5n+6)*6/(n-1) ma byc liczba naturalna:P sprawdzcie sobie i jak nie wiecie to pomyslcie czemu tak:D:D

co do 4) rozwazalem nierownosci: schwarza, a pozniej miedzy sr. arytmetyczna a kwadratowa

1 i 3 byly latwiejsze (dla mnie)

[_el_doopa]

pszyszedl mi do glowy nastepujacy pomysl odnosnie zadania 4

przyjmijmy

funkcje 2 zmiennych a,b w dziedzinie [0,1] x [0,1]
niech ta funkcja bedzie okreslona wzorem

f(a,b)=a *y1 b* y2 + x3 *y3 + .....+ xn * yn - A(a+b)

i szukamy jej maksimum
gdzie A jest wystarczajaco duze (male) aby mozna mowic ze maksimum jest dla funkcji osiagane dla danej sumy a+b


policzmy pochodne czastkowe

f' (po a) = y1 - A =0
f' ( po b ) = y2 - A =0

nie mozliwe ,
wobec tego ekstremum jest na brzegu
??


jest to czesc rozwiazania ktora wpadala mi do glowy przed chwila i chcialbym prosic o uwagi czy to jest dobrze bo nie jestem pewien
w moim rozwiazaniu olimpijskim rozpatrywalem funkcjie 2n zmiennych
i nie liczylem zadnych pochodnych wiec powinno byc dobrze

[Megus]

Zad 3

Piękne...

W punkcie A prowadzimy prostopadłą do odcinka AB. Punkt przecięcia odcinka BC z tą prostopadłą oznaczamy jako G. Trójkąty CDE i ADG są podobne, a z odpowiedniego stosunku w zadaniu, mamy równość kątów: AGD i ECF. Zauważmy, że na czworokącie ADEG da się opisać okrąg, a zatem kąty AGD i AED są na łuku AD i są równe. Stąd kąty AED i ECF są równe. Ale CFE, ti nic innego niż 90 - ECF. I to daje tezę.

Podoba mi sie nie powiem . Co do swoich rozwiazan to pierwsze robilem raczej inaczej niz wiekszosc bo zaczalem od rozpatrywania z,y,x modulo 2, a jako, ze wyniki wyszly jednoznaczne to podazylem to sciezka do konca. W drugim wyniki mam niby dobre, ale moje wyjasnienie dlaczego nie ma rozwiazan przy n>7 chyba jest niezbyt dobre [kolejne kongruencje sie klaniaja ]