obliczyc calki

[Chromosom]

w obliczaniu calki nieoznaczonej nie widze bledu

[kkkkkk13916]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} \frac{e ^{2x} }{1+e ^{x} } dx}\)
\(\displaystyle{ 1+e^x=t}\)
\(\displaystyle{ dt=e ^{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{1+e ^{3} } \frac{e ^{x}dt }{t}}\)
co dalej?-- 11 mar 2011, o 22:19 --no to wtedy obliczenia zle?

[Chromosom]

latwiej Ci bedzie najpierw obliczyc nieoznaczona a potem wrocic do poprzedniej zmiennej. w liczniku wyraz \(\displaystyle{ e^x}\) za pomoca nowej zmiennej

[kkkkkk13916]

dobra zostawiam to bo i tak nie wiem o co chodzi.mam inne-- 11 mar 2011, o 22:23 --\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{(5x-1)dx}{ \sqrt{4x ^{2} -3x+5} }}\)
tu mam na kanoniczna zamienic?

[Mariusz M]

Całka nieoznaczona wygląda w ten sposób

\(\displaystyle{ \frac{5}{4} \sqrt{4x^2-3x+5}+ \frac{7}{8} \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{4x^2-3x+5} } }}\)

Do tej drugiej całki zastosuj pierwsze podstawienie Eulera

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{4x^2-3x+5} } }\\
\sqrt{4x^2-3x+5}=t-2x\\
4x^2-3x+5=t^2-4xt+4x^2\\
-3x+5=t^2-4xt\\
4xt-3x=t^2-5\\
x\left( 4t-3\right)=t^2-5\\
x= \frac{t^2-5}{4t-3}\\
\mbox{d}x = \frac{2t\left( 4t-3\right)-4\left( t^2-5\right) }{\left( 4t-3\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{8t^2-6t-4t^2+20 }{\left( 4t-3\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{4t^2-6t+20 }{\left( 4t-3\right)^2 } \mbox{d}t\\
t-2x=t- \frac{2t^2-10}{4t-3}= \frac{4t^2-3t-2t^2+10}{4t-3}\\
\sqrt{4x^2-3x+5}= \frac{2t^2-3t+10}{4t-3}\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{4x^2-3x+5}} }=\int{ \frac{4t-3}{2t^2-3t+10} \cdot \frac{4t^2-6t+20 }{\left( 4t-3\right)^2 } \mbox{d}t }\\
=\int{ \frac{2}{4t-3} \mbox{d}t }= \frac{1}{2}\ln{\left| 4t-3\right| }}\)


\(\displaystyle{ \int{ \frac{5x-1}{\sqrt{4x^2-3x+5}} \mbox{d}x }=\frac{5}{4} \sqrt{4x^2-3x+5}+ \frac{7}{16}\ln{\left| 8x-3+4\sqrt{4x^2-3x+5}\right| }+C}\)


Mógłbyś od razu zastosować pierwsze podstawienie Eulera
ale byłoby więcej liczenia

[kkkkkk13916]

dziekuje ci bardzo. mam kilka jeszcze prosze o spr
1)\(\displaystyle{ \int_{-3}^{3} \frac{2xdx}{x ^{2}-1 }}\)
\(\displaystyle{ t=x ^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ dt=2xdx}\)
\(\displaystyle{ \int_{8}^{8} \frac{dt}{t}=ln8-ln8=ln1=0}\)czyli calka rozbiezna?
tu mam pytanie rozbiezna jest jak w wyniku mamy \(\displaystyle{ 0, + \infty i - \infty ?}\)
2)\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} \frac{1}{ x^{3} }= \lim_{ k\to- \infty } \int_{k}^{-1}x ^{-3}dx= - \frac{1}{2}( \lim_{ k\to - \infty }1- k ^{-2} )= -\frac{1}{2}}\)
3)\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{6dx}{x ^{2}+1 }=6 \int_{- \infty }^{0} \frac{dx}{x ^{2}+1 }+6 \int_{0}^{+ \infty } \frac{dx}{x ^{2} +1}=6 \lim_{h \to - \infty } \int_{h}^{0} \frac{dx}{x ^{2} +1}+6 \lim_{k \to+ \infty } \int_{0}^{k} \frac{dx}{x ^{2} +1}}\)
i teraz chcialem podstawic \(\displaystyle{ t=x ^{2} +1}\) ale to chyba nic nie da, wiec co daelj?

[Mariusz M]

3) powinieneś dążyć do arcus tangensa
2) nie widzę błędu znak dobry ponieważ po scałkowaniu jest potęga parzysta
1) całka jest rozbieżna gdy granica jest równa \(\displaystyle{ \pm\infty}\)

[kkkkkk13916]

to wtedy w pierwszym musi byc blad bo ma wyjsc ze rozbiezna-- 12 mar 2011, o 15:32 --\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{6dx}{x ^{2}+1 }=6 \int_{- \infty }^{0} \frac{dx}{x ^{2}+1 }+6 \int_{0}^{+ \infty } \frac{dx}{x ^{2} +1}=6 \lim_{h \to - \infty } \int_{h}^{0} \frac{dx}{x ^{2} +1}+6 \lim_{k \to+ \infty } \int_{0}^{k} \frac{dx}{x ^{2} +1}=6 \lim_{ h\to - \infty }(0-arctgh)+6 \lim_{ k\to+ \infty } (arctgk-0)}\)
i mi wychodzi \(\displaystyle{ + \infty}\) ma byc \(\displaystyle{ 6 \pi}\) gdzie mam blad?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }{\arctan{x}}=\frac{\pi}{2}}\)

[kkkkkk13916]

a no tak. dzieki
jak mozesz to podpwiedz jescze jak sie zabrac za te
1)\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}5lnxdx}\)
2)\(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty } 6e ^{-x} sinxdx}\)
3) \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \frac{1}{x} dx}\)

[Mariusz M]

Pierwszą przez części
Drugą dwukrotnie przez części
(jeżeli chcesz żeby się zapętliła w obydwu całkach funkcje do całkowania przez części dobieraj tak samo)
(Możesz też dwukrotnie całkować przez części za każdym razem inaczej dobierając funkcje do całkowania przez części dostaniesz wtedy układ równań z którego obliczasz całkę )
Po obliczeniu nieoznaczonej przechodzisz na granice
Trzecią do logarytmu i przechodzisz na granice

\(\displaystyle{ \int{e^{-x}\sin{x} \mbox{d}x }=-e^{-x}\sin{x}+\int{e^{-x}\\cos{x} \mbox{d}x }\\
\int{e^{-x}\sin{x} \mbox{d}x }=-e^{-x}\cos{x}-\int{e^{-x}\cos{x} \mbox{d}x }\\
2\int{e^{-x}\sin{x} \mbox{d}x}=-e^{-x}\left( \cos{x}+\sin{x}\right)\\
6\int{e^{-x}\sin{x} \mbox{d}x}=-3e^{-x}\left( \cos{x}+\sin{x}\right)+C}\)

[kkkkkk13916]

prosze o sprawdzenie:
1\(\displaystyle{ \int_{5}^{+ \infty } \frac{lnx}{x}dx= \lim_{k \to + \infty } \int_{5}^{k} \frac{lnx}{x}dx}\)
\(\displaystyle{ t=lnx}\)
\(\displaystyle{ dt= \frac{dx}{x}}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{ k\to+ \infty } \int_{ln5}^{k} tdt}\) tu nie jestem pewny czy to t jest dobrze do calki podstawine
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \lim_{ k\to + \infty }(k ^{2}-ln5)=+ \infty}\) calka rozbiezna
2\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} 5lnxdx}\)
\(\displaystyle{ v=lnx u'=1}\)
\(\displaystyle{ v'= \frac{1}{x} u=x}\)
\(\displaystyle{ =5(ln1-ln0)-5 \int_{0}^{1}1=0-5(1-0)=-5}\)
3\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{+ \infty } \frac{-2x}{(x ^{2}+1) ^{2} } dx= \int_{- \infty }^{0}\frac{-2x}{(x ^{2}+1) ^{2} } dx+ \int_{0}^{+ \infty }\frac{-2x}{(x ^{2}+1) ^{2} } dx= \lim_{h \to- \infty } \int_{h}^{0} frac{-2x}{(x ^{2}+1) ^{2} } dx+ \lim_{k \to+ \infty } frac{-2x}{(x ^{2}+1) ^{2} } dx}\)
\(\displaystyle{ t=x ^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ - \lim_{h \to- \infty } \int_{h ^{2} +1}^{1} \frac{dt}{t ^{2} }- \lim_{k \to+ \infty } \int_{1}^{k ^{2}+1 } \frac{dt}{t}}\) tu tez nie wiem czy to t jest dobre...
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to- \infty }(1- \frac{1}{h ^{2} +1)} + \lim_{k \to+ \infty } ( \frac{1}{k ^{2}+1 }+1)=2}\)i mam gdzies blad bo wynik to 0-- 16 mar 2011, o 22:46 --i co zauwazyl ktos moze miejsce gdzie mam blad?