XXVI Konkurs Matematyczny im. prof. Jana Marszała

[TonySnk]

za 1 zad mam 5 pkt, w sumie 17, na 100 % nie trzeba było sprawdzać dla f liniowych, kolega też porównywał miejsca zerowe i ma za to 6 nie wiem jak to jest rok temu z mojego powiatu przeszły 2 osoby najlepsze które miały po 17 pkt, ja miałem coś 12 i 3 miejsce, przepaść czyli maksa nie trzeba mieć ^^

[cyberciq]

W zadaniu pierwszym dla klas drugich rozpisujemy \(\displaystyle{ 2009}\) na :

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2009}\) - sprzeczne bo obie są naturalne czyli jedna z nich \(\displaystyle{ =0}\) a wtedy nie wyjdzie

\(\displaystyle{ 2009=41 \cdot 7 \cdot 7}\) - po sprawdzeniu kilku wariantów (\(\displaystyle{ x+y=7 , x^{x}+y ^{y}=287}\) itd) do drugiego rozpisu otrzymujemy, że nie ma takich liczb.

[krystian8207]

18/18 widzimy się na finale

[JakuP]

14/18 ;[ bo rozpisałem w 2 zad z 2 klasy abc tak samo jak ma być tylko zamiast 2 dałem 1 rotfl ;D

[Kimon]

Wyniki są gdzieś publikowane? Od paru dni szukam i nie mogę niczego znaleźć.

[krystian8207]

w tym tygodniu powinny być na stronie: lo-lancut.pl ; a o punkty jakie uzyskałeś to pytaj nauczyciela.-- 19 lis 2010, o 19:22 --Jest już lista zakwalifikowanych na etap wojewódzki:

Kod: Zaznacz cały

http://lo-lancut.pl/

[Kimon]

Wie ktoś może czy/gdzie można znaleźć zadania finałowe z poprzednich edycji?

Zastanawia mnie także zapis w regulaminie:
,,Każdy powiat ma obligatoryjnie zagwarantowany udział w etapie wojewódzkim co najmniej trzech najlepszych uczestników konkursu powiatowego."

Gdzie na liście są pozostałe dwie osoby ze Stalowej Woli?

[JakuP]

może 1 osoba startowała xD do zobaczenia na finale x)

[Mario58]

Wie ktoś może czy/gdzie można znaleźć zadania finałowe z poprzednich edycji?

Zastanawia mnie także zapis w regulaminie:
,,Każdy powiat ma obligatoryjnie zagwarantowany udział w etapie wojewódzkim co najmniej trzech najlepszych uczestników konkursu powiatowego."

Gdzie na liście są pozostałe dwie osoby ze Stalowej Woli?

Co do zadań, to pytaj nauczycieli (jak chodzisz do I LO, to na pewno ktoś z nich ma).

Awans trzech osób z powiatu dotyczy wszystkich poziomów.

[Kimon]

Nie chodzę do I LO
Dotyczy wszystkich poziomów - też tak pomyślałem, jednak na żadnej z pozostałych dwóch list (klasy I, II) nie ma nikogo ze Stalowej.

[krystian8207]

I jak tam po finale, jak wam poszło?

Podaję zadania z klas drugich:
1.
Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych jest równy ich pięciokrotnej sumie. Znajdź te liczby.
2.
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|<1}\), to \(\displaystyle{ |x^{2}+y^{2}-2|<3}\).
3.
Wykazać, że jeżeli między długościami \(\displaystyle{ a, b, c}\) boków trójkąta zachodzi związek \(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+bc}\) to kąt wewnętrzny leżący naprzeciw boku o długości \(\displaystyle{ a}\) jest dwa razy większy od kąta wewnętrznego leżącego naprzeciw boku o długości \(\displaystyle{ b}\).

[misinho]

Zadania klas I:

Zadanie 1.
Znalezc wszystkie liczby pierwsze p takie, ze liczby \(\displaystyle{ p ^{2} + 2}\) i \(\displaystyle{ p ^{3}+2}\) sa jednoczesnie liczbami pierwszymi.

Zadanie 2.
Udowodnić, że jezeli liczbcy rzeczywiste a,b spelniaja warunekk \(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{b ^{2} }=1}\), to \(\displaystyle{ a^{4}+ b^{4} \ge (a+b) ^{2}}\).

Zadanie 3.
Liczby rzeczywiste x,y,z sa parami rozne i spelniaja rownosci: \(\displaystyle{ x + \frac{1}{y}=y + \frac{1}{z}=z + \frac{1}{x}}\). Wyznaczyc wartosc iloczynu xyz.

[TonySnk]

Klasy trzecie:

1. Dowieść, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 2^{-1+sinx} + 2^{-1+cosx} \ge 2^{- \frac{1}{ \sqrt{2} } }}\)

2. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m \ge 1}\) istnieje wielomian \(\displaystyle{ f}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach całkowitych taki, że \(\displaystyle{ f(2)=7}\) i \(\displaystyle{ f(5)=13}\) Podać wielomiany stopnia 2-go i 3-go spełniające warunki zadania.

3. Dany jest czworokąt wypukły, którego każdy bok ma długość mniejszą od 20. Wykazać, że dla każdego punkt O należącego do wnętrza czworokąta istnieje wierzchołek A tego czworokąta, taki że |OA|<15

[pietras877]

Witam społeczność matematyka.pl, to mój pierwszy wpis na forum. Konkurs poszedł przyzwoicie( jestem w drugiej kl.), 1 zadanko zrobione, nie było takie trudne, na 2 nie miałem pomysłu, przez ten błąd w zadaniu 3, straciłem ok. godziny czasu i zrobiłem je tak na "szybcioszka" i nie jestem pewien czy dobrze.

No to może napiszę moje rozwiązania zadań:
Zad 1
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - liczby pierwsze

\(\displaystyle{ abc = 5(a+b+c)}\) dzielę obustronnie przez 5
\(\displaystyle{ \frac{abc}{5} = a+b+c}\)
Ponieważ suma liczb z prawej strony jest całkowita, to ułamek musi nam dać liczbę całkowitą, czyli jedna z nich musi być 5.
np. niech \(\displaystyle{ c=5}\), wtedy
\(\displaystyle{ ab=a+b+5}\) mnożę obustronnie przez dwa i przenoszę 2a i 2b na drugą stronę
\(\displaystyle{ 10=ab-2a+ab-2b\\
10=a(b-2)+b(a-2)}\)

I teraz przedstawiam 10 jako dwie liczby naturalne np. 1 i 9, i przyrównuję je do tych dwóch wyrażeń.
Jako że jest trochę pisania podaję od razu liczby jakie otrzymałem:
2,5,7

Zad 3
Całego rozwiązania zamieszczać nie chcę, bo nie wiem czy jest poprawne, ale może je krótko opiszę. Więc ja skonstruowałem trójkąt zgodny z tezą. Poprowadziłem dwusieczną kąta \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) i z tw. Talesa przyrównałem stosunki konkretnych boków i dowiodłem założenie.. Czy jest to poprawne rozumowanie? Jeżeli nie, proszę o wskazanie błędu/luki.

[Addin]

Zadania klas I:

Zadanie 1.
p - liczba pierwsza
Liczba ta nie może być podzielna przez 3 (oprócz 3), więc daje resztę z dzielenia przez 3
\(\displaystyle{ p=3k+1}\) lub \(\displaystyle{ p=3k+2 k \in C}\)
1 \(\displaystyle{ p=3k+1 k \in c}\)
\(\displaystyle{ p ^{2} +2=(3k+1) ^{2} +2=9k ^{2} +6k+1+2=3(3k ^{2} +2k+1)}\) - jest podzielne przez 3 więc nie jest l. pierwszą
2\(\displaystyle{ p=3k+2 k \in c}\)
\(\displaystyle{ p ^{2} +2=(3k+2) ^{2} +2=9k ^{2} +12k+4+2=3(3k ^{2} +4+2)}\) - jest podzielna przez 3 więc nie jest pierwsza
Z 1 i 2 wynika, że jedyną l. spełniającą warynek jest 3

Zadanie 2
Z:\(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2} } + \frac{1}{b ^{2} }=1}\)
T:\(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} \ge (a+b) ^{2}}\)
D:\(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2} } + \frac{1}{b ^{2} }=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{b ^{2} +a ^{2} }{ a^{2} b ^{2} } =1}\)

\(\displaystyle{ b ^{2} +a ^{2} =a^{2} b ^{2}}\)

\(\displaystyle{ L-P=a ^{4} +b ^{4} - (a+b) ^{2}=a ^{4} +b ^{4}-(a ^{2} +2ab+ b ^{2})=a ^{4} +b ^{4} - a^{2} b^{2} - 2ab=a ^{4} -2a^{2} b^{2} +b^{4} +a^{2} b ^{2} -2ab=(a^{2} -b^{2}) ^{2} +a^{2} -2ab+ b ^{2}=(a^{2} -b^{2}) ^{2}+(a -b) ^{2} \ge 0}\)
ponieważ kwadraty liczb rzeczywistych są zawsze nieujemne
\(\displaystyle{ L-P \ge 0}\)
\(\displaystyle{ L \ge P}\)
c.n.d

proszę niech ktoś rozwiąże zadanie 3