XXVI Konkurs Matematyczny im. prof. Jana Marszała

[kooter]

Jak w temacie brał ktoś udział, jak wam poszło? Podzielcie się wrażeniami oraz zadaniami/rozwiązaniami.

[rutra]

Rozwiązaniami się nie podzielę, bo nie pamiętam, wiem, że 1. zadania wogóle nie zrobiłem. Mogę wrzucić treść dla II klas.

1. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych (x,y) spełniających równanie \(\displaystyle{ (x+y)(x ^{x} +y ^{y} )=2009}\)

2. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ xyz=1}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{a} = \frac{x}{x ^{2}+1}}\) , \(\displaystyle{ \frac{1}{b}= \frac{y}{y ^{2}+1}}\) , \(\displaystyle{ \frac{1}{c}=\frac{z}{z ^{2}+1}}\) i \(\displaystyle{ abc}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}}\) jest liczbą całkowitą.

3. W trójkącie prostokątnym ABC dane są długości środkowych poprowadzonych z wierzchołków kątów ostrych. Obliczyć długości przyprostokątnych.

[kooter]

Zadania dla uczniów klas trzecich.

Zadanie 1.
Udowodnić, że równania \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\) i \(\displaystyle{ cx ^{2}+bx+a=0}\) , gdzie \(\displaystyle{ a \neq c}\) , mają wspólny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left| a+c\right|=\left| b\right|}\).

Zadanie 2.
Udowodnij, że jeżeli jeden z pierwiastków równania \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx+c=0}\) o współczynnikach wymiernych jest iloczynem pozostałych pierwiastków, to jest on liczbą wymierną.

Zadanie 3.
Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są nierówności
\(\displaystyle{ \frac{ (a-b) ^{2} }{8a} \le \frac{a+b}{2}- \sqrt{ab} \le \frac{(a-b) ^{2} }{8b}}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a \ge b>0}\).

[krystian8207]

W pierwszym klas drugich brak rozwiazan?? Jak tak to 3/3 xD

[ania_129]

Zadania dla klas pierwszych:

Zadanie 1.
Wyznacz wszystkie liczby abcde (e - cyfra jedności, d - cyfra dziesiątek, ...) podzielne przez 36, których cyfry spełniają warunki: a<b<c<d<e.

Zadania 2.
Dodając sumę, różnicę, iloczyn i iloraz dwóch liczb całkowitych otrzymamy liczbę 450. Znajdź te liczby.

Zadanie 3.
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie.

[JakuP]

dla drugich klas wyszło mi

1. brak rozwiązań
2. udowodniłem ;p trzeba było rozpisać to \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2}\) jako x y i z i się wiele poskraca następnie rozpisać abc i podstawić to 2 do pierwszego jako liczbę całkowitą i zrobione
3. wyszło mi \(\displaystyle{ 2\sqrt{\frac{|4a^2-b^2|}{15}}}\) oraz \(\displaystyle{ 2\sqrt{\frac{|4b^2-a^2|}{15}}}\) mówić jak wam wyszło ;D

[Aerosmith]

Czekam na odpowiedzi dla klas 3.

[TonySnk]

w pierwszym zadaniu dla klas trzecich sprawdziłem równania dla \(\displaystyle{ a=0}\) po podstawieniu do wzorów \(\displaystyle{ c=0}\) sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ x=1 \Rightarrow c=-b \Rightarrow a+c=-b \vee x=-1 \Rightarrow c=b \Rightarrow a+c=b}\) czyli \(\displaystyle{ \left| a+c\right|=\left|b\right|}\) analogicznie dla \(\displaystyle{ c=0}\) i \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge c \neq 0}\)
w drugim mi to wyszło ze wzorów Vietea dla wielomianów 3 stopnia, a w ostatnim rozdzielamy na 2 nierówności mnożymy przez 2a zauważamy wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ ( \sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}\) potem obustronnie pierwiastkujemy i już łatwo wychodzi nieoficjalnie wiem że nie mam tymi sposobami 18 pkt więc coś jest źle, ale jestem bodajże 2

[Aerosmith]

Już widzę to 0 punktów.
Drugie wiedziałem jak zrobić tylko zapomniałem jak się wzory Viete'a wyprowadza.

[dszczygiel]

zadanie 2 dla klas II:
Przekształcamy nasze założenia i mamy:
\(\displaystyle{ a= \frac{x^{2}+1}{x},\ b=\frac{y^{2}+1}{y},\ c=\frac{z^{2}+1}{z} \\}\)
wyliczamy teraz \(\displaystyle{ a*b*c=( x^{2}+1)(y^{2}+1)(z^{2}+1) \ = \ x^{2} + y^{2}+z^{2}+(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}+2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a*b*c \in C}\) stąd: \(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2}+z^{2}+(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}+2) \in C}\)
Mając już wyliczone a,b,c obliczamy \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}\),
mianownik oczywiście =1, odpowiednio przekształcamy i dochodzimy do: \(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2}+z^{2}+(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}+6) \ = \ ((x^{2} + y^{2}+z^{2}+(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}+2)+4) \in C}\)


dla klas I zadanie 3:
a,b - przyprostokątne , c-przeciw...
porównujemy wzory na pole trójkątów \(\displaystyle{ 1/2*a*b \ = \ 1/2*(a+b+c)r}\) z przekształceń wyliczamy \(\displaystyle{ r}\), mnożymy przez 2 mamy średnicę wpisanego. Średnica opisanego to długość przeciwprostokątnej. Sumujemy średnice, korzystamy z tw. Pitagorasa i dochodzimy do tezy

jak wam poszło z zadaniami dla klas III ?

[JakuP]

ok już widzę mój błąd XD-- 7 lis 2010, o 20:55 --napisałby ktoś rozw do zadania 3 klasa 2 ?

[smigol]

Środek nierówności - tam jest wzór skróconego mnożenia, dalej łatwo.

[kaszubki]

Gdybyś wolał zadanie 2 z klasy 3:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) będą pierwiastkami.
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3+ \frac{b}{a} x+ \frac{c}{a}}\), czyli:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=0}\), \(\displaystyle{ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{b}{a}}\), \(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3 = \frac{-c}{a}}\).
Niech \(\displaystyle{ x_3=x_1 x_2}\). Dzięki temu orzymujemy:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=0}\), \(\displaystyle{ x_3 ^2 = \frac{-c}{a}}\), \(\displaystyle{ x_3 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = x_3 (x_1 + x_2 +1) = x_3 (1-x_3)=x_3 - x_3 ^2 = x_3 + \frac{c}{a} = \frac{b}{a}}\), zatem \(\displaystyle{ x_3= \frac{b-c}{a}}\), a to jest oczywiście liczba wymierna.

[robocop1992]

TonySnk, zupełnie inaczej zrobiłem 1 i 2
w 1 wyliczyłem miejsca zerowe, i porównałem pierwsze z pierwszego równania i pierwsze z drugiego i analogicznie drugie z pierwszego i drugie z drugiego, i wyszło mi sprzecznie bo a=c, więc porównałem pierwsze miejsce zerowe z pierwszego z drugim z drugiego i po wielu obliczeniach wsyzło mi
\(\displaystyle{ \sqrt{a+c}=\sqrt{b}}\)

a w 2 podzieliłem przez x+p/q opisując odpowiednio p i q, na końcu wyszło mi że wymierny pierwiastek to -c/a

BTW. na drugi etap przechodzi się, jeśli ma się full pkt??

[JakuP]

i ile wyszlo ? :d