Bazy Jordana

[corax]

czyli jeżeli dobrze rozumiem:
jeżeli mam jedną klatkę to biorę z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)}\) wektor, jeżeli mam dwie klatki to biorę z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)^2}\), jeżeli mam trzy klatki to wybieram z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)^3}\)

Liczba wektorów zależy od ilości klatek zawierających określony pierwiastek

Czy dobrze myślę?
Jak źle to może nie marnuj czasu a odeślij mnie do jakiejś literatury, bo niestety nie wiem gdzie to znaleźć

Także mnie zastanawia co to jest ten schemat kropkowy

[Zordon]

metodę w zasadzie znam tylko z wykładu, ale podejrzewam, że można coś o tym znaleźć w książce Kostrykina:

Kod: Zaznacz cały

http://remik.osdw.pl/ksiazka/Kostrykin-

... 74200100KS

można powiedzieć tak, że z \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{k}}\) bierzemy tyle wektorów ile jest klatek z \(\displaystyle{ \lambda}\) o rozmiarze większym bądź równym k, z takim zastrzeżeniem, że nie wszystkie wektory są "dobre" ; nie bierzemy wektorów z
\(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{k-1}}\) (bo mamy \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{k-1} \subseteq ker(\phi-\lambda)^{k}}\). Zatem wybieramy je z \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{k}\ \backslash \ ker(\phi-\lambda)^{k-1}}\)

Procedura jest taka, że wybieramy najpierw największą klatkę/i i dobieramy wektory do niej/nich.
Przykładowo, mamy dwie klatki rozmiaru 3 i jedną rozmiaru 2. To robimy tak:
- wybieramy 2 lnz wektory z \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{3}\ \backslash \ ker(\phi-\lambda)^{2}}\) \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_4}\)
- liczymy:
\(\displaystyle{ b_2=(\phi-\lambda)(b_1)}\)
\(\displaystyle{ b_5=(\phi-\lambda)(b_1)}\)
można zauważyć, że te dwa wektory należą do \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (*)}\)teraz trzeba dobrać jeszcze jeden wektor z tej przestrzeni (dla klatki o wielkości 2), a dokładniej, trzeba ten wektor wybrać z \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda)^{2}\ \backslash \ ker(\phi-\lambda)}\). Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ b_7}\)
-ostatni krok:
\(\displaystyle{ b_3=(\phi-\lambda)(b_2)}\)
\(\displaystyle{ b_6=(\phi-\lambda)(b_5)}\)
\(\displaystyle{ b_8=(\phi-\lambda)(b_7)}\)
wszystkie powyższe (są wektorami własnymi) należą do \(\displaystyle{ \ ker(\phi-\lambda)}\)

\(\displaystyle{ (*)}\): W tym kroku trzeba dobrać ten wektor w ten sposob aby byl lnz z pozostalymi, ktore juz znalezlismy.

[corax]

Wszystko pięknie, tylko, ze mam problem dalej z tym przykładem (dlatego go przytoczę)

Skoro tak, to dam inny przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-3&4&0\\2&-1&0\\1&3&1\end{array}\right]}\)
To teraz znajduje wartości włsne i są nimi 1, -5 i:
\(\displaystyle{ M(\phi-1)=\left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]}\)
Rząd macierzy wyjściowej jest równy 3, tej macierz 2, więc mamy jedną klatkę Jordana o rozmiarze równym lub większym 1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}-24&-24&0\\-12&12&0\\2&-2&0\end{array}\right]}\)
Więc mamy 2-1 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right]}\)
mamy 3-2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right ]= \left[\begin{array}{ccc}24&24&0\\24&24&0\\14&25&36\end{array}\right]}\)
No i mamy 2-2= 0 klatek Jordana o większym rozmiarze niż 1
Więc macierze w postaci Jordana jest równa:
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]}\)

Nie ma problemu ze znalezieniem wektora dla wartości własnej -5
Z tego co zrozumiałem, mam znaleźć jeden wektor lnz z \(\displaystyle{ ker(\phi - I)^2}\), nie należący do \(\displaystyle{ ker(\phi - 1)}\), tylko problem jest taki:
Że znajduje \(\displaystyle{ im(\phi-I)^2}\) i wynosi ono lin([1,1,0], [0,0,1]), więc muszę wybrać wektor któryś spoza tych wektorów, ale nie może on należeć do \(\displaystyle{ ker(\phi - I)}\), więc znowu obliczam \(\displaystyle{ im(\phi-I)}\) i wynosi ono lin([0,0,1]), więc mogę wybrać wektor który jest różny od lin([1,1,0], [0,0,1]), ale także nie należy do wektorów różnych od lin([0,0,1]), no i tutaj chyba nie ma takiego wektora. Pewnie coś źle zrobiłem, a może pomyliłem się w obliczeniach (dodawanie i odejmowanie to nie moja najmocniejsza strona :-D ), ale niestety nie widzę tego..

[Zordon]

nie wiem czy to w tym leży problem, ale:
\(\displaystyle{ (\phi-I)^2=\begin{pmatrix}24 & -24 & 0 \\ -12 & 12 & 0 \\ 2 & -2 & 0\end{pmatrix}}\)

wtedy wymiar \(\displaystyle{ ker(\phi-I)^2}\) wynosi 2
a wymiar \(\displaystyle{ ker(\phi-I)}\) wynosi 1, więc nie ma kłopotu.

[corax]

Tak, masz racje, coś mi się pomyliło, głupia rzecz, źle po prostu obliczyłem ker. Tylko znowu pojawia się problem,bo wychodzi macierz odwracalna, ale nie daje tej macierzy wyjściowej, napisze wszystkie kroki jakie zrobiłem, to może znajdziesz błąd
\(\displaystyle{ ker(\phi-I)^2}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-24&-24&0\\-12&12&0\\2&-2&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi mi, że :
\(\displaystyle{ x_1-x_2=0}\)
Więc wektory mamy dwa : [1,1,0] i [0,0,1]
Sprawdzam teraz \(\displaystyle{ ker(\phi-I)}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Z tego więc wychodzi mi, że:
\(\displaystyle{ x_1=0,x_2=0}\)
Więc do tego zbioru należy tylko (0,0,1)
Mogę wziąć wektor \(\displaystyle{ b_1=(1,1,0)}\), obliczam:
\(\displaystyle{ b_2=\left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right]}\)
Już mam dwa wektory a ostatni wyliczam z wartości własnej -5:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi mi, że do ker należy tylko jeden wektor [12,-6,1]
Więc teoretycznie ta macierz powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-12\\1&0&-6\\0&4&1\end{array}\right]}\)
Ale niestety takie coś mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-12\\1&0&-6\\0&4&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-12\\1&0&-6\\0&4&1\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}&0&-2\\-\frac{1}{72}&-5&\frac{-17}{12}\\\frac{1}{18}&0&\frac{2}{3}\end{array}\right]}\)

Coś jest nie tak.. może po prostu jakaś zła kolejność działań , albo coś innego?

[Zordon]

po pierwsze, zły wektor własny dla -5, powinno być: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
-12\\6\\-1
\end{pmatrix}}\)

po drugie, zła kolejność wektorów w bazie Chodzi o to, że muszą być w odwrotnej kolejności w obrębie jednej klatki (dlatego wcześniej tak dziwnie je oznaczałem)

Dobra macierz przejścia wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
0 & 1 & -12\\0 & 1 & 6\\4 & 0 & -1
\end{pmatrix}}\)

[corax]

Tak ,z tym wektorem to masz racje, sprawdziłem i źle przepisałem z kartki
Teraz wszystko się zgadza .
Bardzo Tobie jestem wdzięczny

[Tordek]

Chciałbym odświeżyc wątek iż mimo rozwiązywania równolegle z przykładami rozwiązanymi tutaj wciąż mam problem z pewnym przykładem:

\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{cccc}4&-1&0&0\\6&-1&0&0\\1&1&2&1\\-1&-1&-1&0\end{array}\right]}\)

Jest to oczywiście macierz jakiegoś tam przekształcenia w bazie standardowej i interesuje mnie oczywiście baza Jordana czyli baza w której przekształcenie będzie miało macierz w postaci Jordana.

Obliczyłem wielomian charakterystyczny : \(\displaystyle{ (x-2)(x-1)^{3}}\)

Policzyłem też oczywiście przestrzenie wartości własnych :

dla \(\displaystyle{ 2 = lin{ ( -1, -2, -3, 3 ) }}\)
dla \(\displaystyle{ 1 = lin{ ( -1, -3, 4, 0) , ( -1, -3, 0, 4) }}\)

Z tego już widac ze postac Jordana bedzie wygladała tak:


\(\displaystyle{ J = \left[\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Teraz zaczynam zbierac wektory do bazy Jordana:

pierwszy wektor jest oczywisty bedzie to wektor z przestrzeni wartosci wlasnej \(\displaystyle{ 2}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha_{1} = ( -1, -2, -3, 3)}\)

Drugim wektorem będzie obojętnie który wektor przestrzenii wartosci własnej \(\displaystyle{ 1}\) czyli np. \(\displaystyle{ \alpha_{2}= (-1, -3, 4, 0 )}\) (z racji faktu ze druga jest ustawiona klatka rozmiaru 1)

Trzecim wektorem powinien byc wektor przechodzacy na wektor ktorego obrazem jest wektor zerowy?

czyli szukamy tak jak było tutaj wcześniej wspomniane , wektora który należy do jądra przestrzeni \(\displaystyle{ (A-I)^{2}}\) ale nie należy do \(\displaystyle{ (A-I)}\) i patrzymy na jaki wektor on przechodzi i to kolejne wektory naszej bazy ?

baza \(\displaystyle{ (A-I)^{2} = lin { (1, 3, 0, 0) , (0, 0, 1, 0 ) , (0, 0, 0, 1) }}\)

biorę sobie wobec tego wektor \(\displaystyle{ \alpha_{3} = (1, 3, 0, 0)}\) i wektor \(\displaystyle{ \alpha_{4}=( 0, 0, 4, -4 )}\) (bo na taki przechodzi )

czyli nasza szukana macierz \(\displaystyle{ C}\)

będzie wyglądała : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&-1&1&0\\-2&-3&3&0\\-3&4&0&4\\3&0&0&-4\end{array}\right]}\)

Jednak gdy mnoże \(\displaystyle{ C \cdot J \cdot C^{-1}}\) to niestety nie wychodzi mi A

gdzie jest błąd w moim rozumowaniu ?

Bardzo proszę o pomoc.

-- 15 czerwca 2010, 02:32 --