ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[JakimPL]

Zadanie z równoległobokiem i utworzonymi kwadratami można było szybko rozwiązać z twierdzenia cosinusów.

Zadanie z wykresem funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\). Jestem ciekaw waszych sposobów, bo nie umiałem znaleźć elementarnej metody.

\(\displaystyle{ C=(3,-1)}\)

Jeżeli prosta \(\displaystyle{ y=a}\) przecina wykres w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ a}\) musi być zgodne ze zbiorem wartości tej funkcji, czyli: \(\displaystyle{ a>0}\).

Wyznaczmy punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)

\(\displaystyle{ y_A = \frac{1}{x^2} \wedge y_A = a}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1}{x^2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}}\)

Skoro odcinek \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) stanowi bok trójkąta, to jego długość to:

\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\right)^2 + (a-a)^2} = \frac{2}{\sqrt{a}}}\)

Wysokość tego trójkąta to oczywiście \(\displaystyle{ 1+a}\).

Stąd pole: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{a}}(1+a) = \frac{1+a}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}}\)

Znajdźmy minimum funkcji \(\displaystyle{ f(a)=\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}}\). Skorzystajmy z pochodnej i znajdźmy jej miejsca zerowe:

\(\displaystyle{ f'(a) = \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)' + \left(a^{\frac{1}{2}}\right)'}\)

\(\displaystyle{ f'(a) = -\frac{1}{2}\left(a^{-\frac{3}{2}}\right) + \frac{1}{2}\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)}\)

\(\displaystyle{ f'(a) = \frac{a^{-\frac{3}{2}}}{2}\left(a-1\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^{-\frac{3}{2}}}{2}\left(a-1\right) = 0 \Rightarrow a=1}\)

Minimum jest dla \(\displaystyle{ a=1}\) i wtedy pole wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

[xanowron]

O kurde, ładnie

Ja zrobiłem tak, że z parzystości funkcji mamy, że punkty mają współrzędne \(\displaystyle{ A(a,\frac{1}{a^2})}\) i \(\displaystyle{ B(-a,\frac{1}{a^2})}\) i do pola z wektorów i doszedłem do tego, że wynosi ono \(\displaystyle{ |a+\frac{1}{a}|}\)

[Arst]

O kurde, ładnie

Ja zrobiłem tak, że z parzystości funkcji mamy, że punkty mają współrzędne \(\displaystyle{ A(a,\frac{1}{a^2})}\) i \(\displaystyle{ B(-a,\frac{1}{a^2})}\) i do pola z wektorów i doszedłem do tego, że wynosi ono \(\displaystyle{ |a+\frac{1}{a}|}\)

Ja podobnie tyle, że pole policzyłem z wyznacznika i wyszło identycznie.
<--tu wzór na wyznacznik (tymi jedynkami pionowymi)

[rodzyn7773]

Jak Ci mogła wyjść objętość z \(\displaystyle{ a^2}\) Oo przekonany jestem, że \(\displaystyle{ a^3}\) powinno być.

Bardzo dobra uwaga Musiałem chyba źle przepisać na chusteczkę.
A to zadanie z tą funkcją \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^2}}\) można było bez pochodnej.
Pole od a jak ktoś już je tu zapisał wynosi:
\(\displaystyle{ P(a)= \frac{a+1}{ \sqrt{a} } \ \ \ \ a>0}\)

Teraz zapiszmy równanie:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{a} -1) ^2 \ge 0}\)
spełnione dla każdego a>0. Wtedy:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{a} -1) ^2 \ge 0 \\ a+1 \ge 2 \sqrt{a} \\ \frac{a+1}{ \sqrt{a} } \ge 2 \\ P(a) \ge 2}\)

[knrdk]

W 11 ma być:
\(\displaystyle{ \frac{ a^{3} cos\ \alpha }{12 \sqrt{4 sin^{2} \alpha - 1 } }}\)

[Lbubsazob]

Ta matura to jakieś przegięcie. 5 razy trudniejsza niż rok temu... Miało nie być pochodnych, a tu jakieś maksimum trzeba było wyliczać... Porażka.
Ktoś zrobił zad. 3?

[rodzyn7773]

Można było obyć się bez pochodnych. W 3 można było policzyć pole szukanego trójkąta odejmując od pola kwadratu pola 3 innych trójkątów. Wychodziła funkcja kwadratowa o współczynniku przy \(\displaystyle{ x^2}\) dodatnim i wierzchołku w przedziale (0,1). Odpowiedź: \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}}\)

[Lbubsazob]

Mi tam wychodziło, że jedyna możliwość, to \(\displaystyle{ DF= \frac{1}{3}}\) (no bo ten bok 1 się podzielił w stosunku 2:1). Oczywiście mam źle, ale moim zdaniem bez sensu było to zadanie. Jak można wyznaczyć pole trójkąta w zależności od boku, który do niego nie należy?!
Jak zwykle CKE wyobraźnia poniosła. Widzę, że cały rok siedziałam niepotrzebnie nad tą matmą, bo z rozszerzenia będę mieć góra 56%. Szkoda gadać...

[4444]

kosmos
w zadaniu z prawdopodobieństwem trzeba było zastosować (chyba) podzielność kwadratów tych liczb przez 3 i wtedy było to zadania na 2 linijki. Chodziło coś typu : A=2^3 + 4^3 i wyszło po podzieleniu tego z omegą 1/3 bodajże?

a zadanie ostatnie? mi też wyszedł wynik z jakimś cudem pod pierwiastkiem.


W ogóle nie ogarnęłam zadania z kwadratem-optymalizacja i dowodu z równoległobokiem- moje 2 pięty achillesa, niestety obydwie na jednej maturze;)

[rodzyn7773]

Dowód z równoległobokiem fajnie się robiło z tw. cosinusów. Trzeba było tylko popatrzeć na kąty.

[Grzechu1616]

dowód z kwadratami nie zdążyłem no i z tym prawdopodobieństwem, nie za wesoło, może jakiś punkt będzie za opisanie zdarzeń i próbę sprawdzenia, jakie warunki muszą spełnić liczby, liczę na 65 - 75 %

[Lbubsazob]

A to z równoległobokiem można było zrobić z podobieństwa bok-bok-bok?

[bossu01]

raczej nie, bo miałeś tam właśnie udowodnić że boki są równe (jeśli chodzi o powstałe trójkąty po połączeniu odpowiednich punktów), ja to zrobiłem bok-kąt-bok i nie z podobieństwa tylko przystawania

[Arst]

z przystawania prędzej - ale czy uznają? trudno powiedzieć

[xanowron]

Jeżeli poprawnie dowiodło się to, że są przystające to nie mają wyjścia - muszą uznać.