ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[kocz]

zadanie.

rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ y^{2} - 3xy + x^{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ y^{2} - 2xy - x^{2} = 8}\)

[Arst]

Oczywiste jest założenie, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ y \neq 0}\)
I przy tym założeniu można sobie przekształcić ten układ do dowolnej postaci, z której będzie łatwiej liczyć. Np. takiej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x^2-y^2=-16 \\ 2x^2-xy+4=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y=2(x+\frac{2}{x})}\)
\(\displaystyle{ 5x^2-4(x+\frac{2}{x})^2=-16}\)
z tego równania dostajemy \(\displaystyle{ x= \pm 2}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ y= \pm 6}\)-- 14 kwietnia 2010, 12:39 --

Wierzchołkami kwadratu ABCD są punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ A(0,0)}\), \(\displaystyle{ B(4,0)}\), \(\displaystyle{ C(4,4)}\), \(\displaystyle{ D(0,4)}\). Dla każdej liczby rzeczywstej \(\displaystyle{ m \in (-2,4)}\) rozważamy trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ P_m(m,0)}\), \(\displaystyle{ S_m(m+2,0)}\), \(\displaystyle{ R_m(m,4)}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których pole figury, która jest częścią wspólną kwadratu i trójkąta \(\displaystyle{ P_mS_mR_m}\) wynosi 2.

Enjoy!

[xanowron]

Wierzchołkami kwadratu ABCD są punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ A(0,0)}\), \(\displaystyle{ B(4,0)}\), \(\displaystyle{ C(4,4)}\), \(\displaystyle{ D(0,4)}\). Dla każdej liczby rzeczywstej \(\displaystyle{ m \in (-2,4)}\) rozważamy trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ P_m(m,0)}\), \(\displaystyle{ S_m(m+2,0)}\), \(\displaystyle{ R_m(m,4)}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których pole figury, która jest częścią wspólną kwadratu i trójkąta \(\displaystyle{ P_mS_mR_m}\) wynosi 2.

Ukryta treść:    

Najpierw zauważamy, że trójkąt \(\displaystyle{ P_mS_mR_m}\) jest prostokątny i jego pole wynosi \(\displaystyle{ 4}\) (bez względu na wartość \(\displaystyle{ m}\)).
Po zrobieniu rysunku widzimy, że zależnie od wartości parametru trójkąt przesuwa się po osi \(\displaystyle{ OX}\) w prawo i w lewo, zatem należy dobrać takie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) aby część wspólna była trójkątem prostokątnym \(\displaystyle{ ASK_1}\) o polu \(\displaystyle{ 2}\), gdzie \(\displaystyle{ K_1}\) jest punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ RS}\) z bokiem kwadratu \(\displaystyle{ AD}\), albo trapezem \(\displaystyle{ RPBK_2}\) o polu \(\displaystyle{ 2}\), gdzie \(\displaystyle{ K_2}\) jest punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ RS}\) z bokiem kwadratu \(\displaystyle{ BC}\), co jest równoważne temu, że trójkąt \(\displaystyle{ BSK_2}\) ma pole \(\displaystyle{ 2}\).

Równanie prostej \(\displaystyle{ RS: y=-2x+2m+4}\)
Zatem \(\displaystyle{ K_1(0,2m+4)}\), \(\displaystyle{ K_2(4,2m-4)}\)
Teraz wystarczy przyrównać pola trójkątów \(\displaystyle{ ASK_1}\) i \(\displaystyle{ BSK_2}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i mamy \(\displaystyle{ m}\). Oczywiście pamiętając o dziedzinie!

[kocz]

optymalizacja!

na stronicy przygotowanej do druku ksiazki tekst ma zajmowac 294 cm^2. Dolny margines ma miec 2cm, a pozostale marginesy po 1cm. Jakie powinny byc wymiary tej strony, aby na druk tej ksiazki zuzyc jak najmniej papieru.

[math questions]

wyszło mi 24 i 16 centów ale nie wiem czy dobrze może ktos ma odpowiedz

[Grzechu1616]

jak robiłes?

[math questions]

Kolejne zadanko:

Oblicz resztę zdzielenia wielomianu W(x) stopnia n \(\displaystyle{ (n \in N\ i\ n \ge 2)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}-3x+2}\) wiedząc,że W(1)=2 i W(2)=1.

[?widerski]

również ja coś wrzucam:

Funkcja f dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ax+b}{2x+c}}\) .

a) Wyznacz współczynniki a,b,c jeśli wiadomo, że wykres funkcji f można otrzymać, przesuwając wykres funkcji\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2x}}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{u} = \left[-1,2 \right]}\).

b) Uzasadnij, że do wykresu funkcji f nie należy żaden punkt o obu współrzędnych całkowitych.

[math questions]

\(\displaystyle{ g(x)=f(x-p)+q,}\) gdzie p = -1 a q = 2
\(\displaystyle{ g(x)=f(x+1)+2= \frac{1}{2(x+1)}+2= \frac{1+4x+4}{2(x+1)} = \frac{4x+5}{2x+2}= \frac{1}{2(x+1)} +2}\)

a=4 b=5 c=2

\(\displaystyle{ \frac{1}{2(x+1)}}\) to zawsz będzie ułamek dla \(\displaystyle{ x \in C}\)

[xanowron]

Kolejne zadanko:

Oblicz resztę zdzielenia wielomianu W(x) stopnia n \(\displaystyle{ (n \in N\ i\ n \ge 2)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}-3x+2}\) wiedząc,że W(1)=2 i W(2)=1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=2 \\ W(2)=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)}\)
Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian stopnia drugiego \(\displaystyle{ P(x)}\), może być stopnia co najwyżej pierwszego, zatem \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Czyli
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)+R(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest dowolnym wielomianem.

Korzystając z warunków zadania mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=P(1)Q(1)+R(1) \\ W(2)=P(2)Q(2)+R(2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2=0 \cdot Q(1)+a+b \\ 1=0 \cdot Q(2)+2a+b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2=a+b \\ 1=2a+b \end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ a=-1}\) i \(\displaystyle{ b=3}\), zatem \(\displaystyle{ R(x)=-x+3}\)

[math questions]

rozwiazać równanie

\(\displaystyle{ sin ^{48}x+cos ^{48}x =1}\)

[Arst]

Wyznacz wszystkie wartości parametrów a i b, dla których nierówność:
\(\displaystyle{ (x^2-x-2)(x^2-2ax+3bx-6ab) \ge 0}\)
Jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Zadanie z najnowszej matury zadania.info (). Możecie się wstrzymać z publikacją rozwiązań do jutra, żeby nie psuć innym zabawy;p

rozwiazać równanie

\(\displaystyle{ sin ^{48}x+cos ^{48}x =1}\)

Możesz wrzucić swoje rozwiązanie?

[niebieskooki]

Zauważ: \(\displaystyle{ x ^{2}-2ax+3bx-6ab=x(x-2a)+3b(x-2a)=(x+3b)(x-2a)}\)

[szymek]

Ukryta treść:    

Powinny to być pierwiastki stopnie drugiego, czyż nie? Więc do rozpatrzenia pozostaje tylko kwestia czy 2a będzie 1 czy 2 pierwiastkiem równania w pierwszym nawiasie, analogicznie sprawa ma się z 3b. Czy źle myślę?

[?widerski]

witam, jak tam udało wam się roztrzaskać maturkę wrzuconą przez użytkownika Arst (tzn. maturę która załączył w linku.)
może ktoś ma model odpowiedzi które mógłby wrzucić, najlepiej wraz z rozwiązaniami.

Pozdrawiam