ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[Grzechu1616]

dziękówka

[4444]

Nanami, dokąd się wybierasz?

Za nic nie mogę wpaść na żaden pomysł : 'W pewny trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary x oraz 90'+x. Jedno z ramion tego trapezu ma długość p. Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.'

[Arst]

Tam gdzie masz kąt 90+x dorysuj wysokość i dostaniesz z tego 2 kąty: 90 oraz x (tak na oko x=45st) i masz trapez równoramienny. Robię w pamięci ale wydaje się, że ta różnica to \(\displaystyle{ \sqrt{2}p}\)

[Grzechu1616]

to jest zadanie z informatora cke, nawet dzis na lekcji robiłem, z tego co pamiętam to \(\displaystyle{ a - b = \frac{p}{sin \alpha } \vee a - b = \frac{p}{cos \alpha }}\) w zależności które ramie weźmiesz

[Arst]

A no to przepraszam zapędziłem się w takim razie;p Późno już, lepiej odłożyć matmę na jutro.

[4444]

możliwe,że z informatora,mam je po prostu wydrukowane, a zaraz za nim kolejne, którego odpowiedź chętnie skonfrontuję:

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM.

[Grzechu1616]

narysuj to i zauważ, że CB || MN i jest to trapez prostokątnych o podstawach BC i MN oraz wysokości CM. Wysokość policzysz z Pitagorasa, no i podstawiasz do wzoru na pole trapezu. Odp. 15

[Nanami]

Nanami, dokąd się wybierasz?

UP w Krakowie, na matematykę stosowaną.

[Arst]

Żeby zachować ciągłość tematu:

Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ x^5+8x^2+x+1=0}\) nie ma rozwiązań w przedziale \(\displaystyle{ [-1;1]}\)

Pozdrawiam

[?widerski]

mam takie zadanko, może nie o najwyższym stopniu trudność, ale jest. Coś w stylu udowodnij :

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \left(1;3 \right)}\) istnieje trójkąt o bokach długości: \(\displaystyle{ 1, \frac{1}{x} , \frac{2}{x}}\)

[math questions]

wystarczy skorzystac z tw o tym że kiedy konstrukcja trójkata jest mozliwa z trzech odcinków:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1+ \frac{1}{x}> \frac{2}{x} \\ \frac{1}{2}+ \frac{2}{x}>1 \\ 1+ \frac{2}{x} > \frac{1}{x} \end{cases} \Rightarrow x \in (1;\ 3)}\)-- 13 kwi 2010, o 18:29 --\(\displaystyle{ W(x)=x^5+8x^2+x+1}\)
\(\displaystyle{ W(-1);\ W(1);\ W(0)}\) jest rózne od zera co widać
gdy \(\displaystyle{ x \in (0;\ 1)}\) to W(x) przyjmuje tylko wartości dodatnie i wykres W(x) nie przecina osi OX bo podstawiamy za x liczby dodatnie i wszystkie wspólczynniki wielomianu sa dodatnie
Gdy \(\displaystyle{ x \in (-1;\ 0)}\) to W(x) też bedzie przyjnował wartosci dodatnie bo \(\displaystyle{ x^5<8x^2}\) i \(\displaystyle{ x<1}\)

[Arst]

Można też w taki sposób:
\(\displaystyle{ w(x)=x^5+8x^2+x+1=0 \Rightarrow f(x)=g(x), \ gdzie \ f(x)=8x^2+x+1 \ i \ g(x)=-x^5}\)
Szkicując oba te wykresy widać, że przecinają się tylko raz poza danym przedziałem (jako, że w(x) zmienia znak w przedziale \(\displaystyle{ [-2;-1]}\), tzn. \(\displaystyle{ w(-2)<0}\), a \(\displaystyle{ w(-1)>0}\) zatem pierwiastek znajduje się w tym przedziale więc wystarczy zapisać, że \(\displaystyle{ f(-1)>g(-1)}\) i sprawa załatwiona)

[Grzechu1616]

Proste \(\displaystyle{ k,l,m}\) są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór \(\displaystyle{ S}\) składający się z \(\displaystyle{ 3n}\) punktów \(\displaystyle{ (n \ge 3 )}\), przy czym na każdej z prostych wybrano \(\displaystyle{ n}\) punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednej prostej, to prostą tą jest \(\displaystyle{ k ,l}\) lub \(\displaystyle{ m}\) . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru \(\displaystyle{ S}\).

[xanowron]

Ukryta treść:    

Dwie sytuacje: albo jeden odcinek trójkąta zawiera się w którejś z prostych, albo każdy punkt należy do innej prostej.
\(\displaystyle{ 1^{o}}\)Na pierwszej prostej możemy wybrać odcinek na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów i dobierając inny punkt (z pozostałych prostych) mamy \(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot 2n}\) trójkątów. Proste są trzy zatem trójkątów będzie \(\displaystyle{ 3 \cdot {n \choose 2} \cdot 2n}\)

\(\displaystyle{ 2^{o}}\)Na pierwszej prostej wybieramy jeden z \(\displaystyle{ n}\) punktów, na drugiej jeden z \(\displaystyle{ n}\) i na trzeciej jeden z \(\displaystyle{ n}\) zatem mamy \(\displaystyle{ n^3}\) trójkątów.

[Arst]

Proste \(\displaystyle{ k,l,m}\) są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór \(\displaystyle{ S}\) składający się z \(\displaystyle{ 3n}\) punktów \(\displaystyle{ (n \ge 3 )}\), przy czym na każdej z prostych wybrano \(\displaystyle{ n}\) punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednej prostej, to prostą tą jest \(\displaystyle{ k ,l}\) lub \(\displaystyle{ m}\) . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru \(\displaystyle{ S}\).

\(\displaystyle{ N=n^3+6n{n \choose 2}}\)

edit: lol nie zauważyłem, że kolega wyżej ukrył rozwiązanie. Można usunąć tego posta