ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[kocz]

sporo sie dzialo w czasie mojej nieobecnosci!

rozwiąże:
wory skróconego mnożenia różnica kwadratów
(1999+1998)(1999-1998) + (1997+1996)(1997-1996) + .... + (3+2)(3-2) + 1

każda różnica w nawiasie to 1, więc

1999+1998+1997+1996+....+3+2+1.

ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ o a _{1} = 1}\), r=1 i n=1999 wyrazach

\(\displaystyle{ \frac{a _{1}+a_{1999}}{2} * 1999 = \frac{2000}{2}*1999}\)

także odpowiedź, ta
@ {w tym roku mogą dać \(\displaystyle{ 2010^{2} - 2009^{2}}\) ....}
math, wiecej zadan, musze nadrobic zaleglosci!

[karol123]

Dzięki za pokazanie błędu. Czasem zapominam o tym, że jak mamy funkcje trygonometryczną to powinno się podawać, z wielokrotnością czyli napisać z k.

Może ja wrzucę jakieś zadanko.

W prostokątnym układzie współrzędnych dana jest prosta k o równaniu \(\displaystyle{ y=x+1}\)
i punkty \(\displaystyle{ A=(3;1)}\), \(\displaystyle{ B=(5;2)}\), \(\displaystyle{ C=(3,m)}\).
Dla jakiego parametru m prosta k dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach?

[xanowron]

Ukryta treść:    

Zaznaczamy trójkąt i prostą w układzie współrzędnych, i jako \(\displaystyle{ D}\) oznaczy punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ k}\) z bokiem \(\displaystyle{ AC}\) i jako \(\displaystyle{ E}\) z bokiem \(\displaystyle{ CB}\).
Łatwo obliczymy, że \(\displaystyle{ D(3,4)}\). Teraz liczymy równanie prostej \(\displaystyle{ BC}\), wychodzi \(\displaystyle{ y=\frac{2-m}{2}x+\frac{5m-6}{2}}\)
Teraz punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ k}\), czyli \(\displaystyle{ E(\frac{5m-8}{m},\frac{6m-8}{m})}\).
Czyli mamy wszytko o tej figurze i teraz wystarczy musimy sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ P_{DEC}=P_{ABED}}\), a \(\displaystyle{ P_{ABED}=P_{ABD}+P_{BED}}\), pola trójkątów można policzyć np. ze wzoru korzystającego z wektora i wyznacznika i powinno wyjść. Nie cierpię takich zadań więc nie będę liczył do końca, jeżeli ktoś lubi się w takie obliczanki bawić to śmiało

[math questions]

dobrze wam idzie więc następne

Dla jakiej największej wartości liczby n liczba \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) dzieli liczbę 1000!

[xanowron]

Ukryta treść:    

Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n!}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem równym \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie

\(\displaystyle{ \alpha=[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+[\frac{n}{p^3}]+...}\)

Oczywiście od pewnego momentu mianowniki będą większe od licznika i składniki sumy zerują się, \(\displaystyle{ [x]}\) to część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\).

Odp. \(\displaystyle{ n=994}\)

[kocz]

dobre

[adek05]

Tylko, że tam masz 1000! - 1000 silnia.

[math questions]

xanowron, odpowiedz prawidłowa ale jak myslisz ile osób zna tw. "o Rrozkładzie n! na czynniki pierwsze" mślę że niewielu no chyba że ktoś jest na studiach i ma albo miał terie liczb a sporo osób jest takich które pisza rozszerzenie a sa na podstawie więc na bank mysle że pierwszy raz widzą i słysza takie tw. Ale to dobrze bo jak się trafi podobne zadanie na maturze to sobie poradza bez problemu

Czekam na jakieś inne propozycje rozwiązania tego zadanka
Jutro zapodam inne ciekawe zadanko

[xanowron]

Myślę, że warto wrzucać takie rozwiązania, które wykorzystują właśnie mniej znane, a przecież proste i przydatne, twierdzenia.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1000!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 999 \cdot 1000}\)
Żeby wyznaczyć największe \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^n|1000!}\) trzeba sprawdzić ile czynników dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), potem ile dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) itd. potem wszystko sumujemy i mamy szukane \(\displaystyle{ n}\).
Do sprawdzenia ile liczb z przedziału \(\displaystyle{ <1,1000>}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2,4,8...}\) można skorzystać z ciągu arytmetycznego.

[math questions]

Zgadzam sie w zupełności z xanowron, jak mawia mój nauczyciel tyle jest sposobów rozwiązania zadania ile osób je rozwiazuje.

a teraz takie zadanko
Dane są:
\(\displaystyle{ x=10 ^{ \frac{1}{1-logz} } \ i\ y=10 ^{ \frac{1}{1-logx} }}\)

wykaż, że:
\(\displaystyle{ z=10 ^{ \frac{1}{1-logy} }}\)

[xanowron]

Chyba powinno być \(\displaystyle{ x=10 ^{ \frac{1}{1-logz} } \ i\ y=10 ^{ \frac{1}{1-logx} }}\)

Ukryta treść:    

Jeżeli tak, to:
\(\displaystyle{ x=10 ^{ \frac{1}{1-logz} } \Leftrightarrow logx=\frac{1}{1-logz}}\)
\(\displaystyle{ y=10 ^{ \frac{1}{1-logx} } \Leftrightarrow logy=\frac{1}{1-logx}}\)

Zatem \(\displaystyle{ logy=\frac{1}{1-\frac{1}{1-logz}}}\)
\(\displaystyle{ logy=\frac{1}{1-\frac{1}{1-logz}}=\frac{1}{\frac{1-logz-1}{1-logz}}=
\frac{1}{1-\frac{-logz}{1-logz}}=\frac{1-logz}{-logz}=\frac{logz-1}{logz}=1-\frac{1}{logz}}\)
Czyli \(\displaystyle{ logy=1-\frac{1}{logz} \Leftrightarrow \frac{1}{logz}=1-logy \Leftrightarrow logz=\frac{1}{1-logy}}\) c.n.d.

Oczywiście we wszystkich przekształceniach trzeba pamiętać o dziedzinie.

[math questions]

xanowron, maturę rozsz. masz w kieszeni

no to nastepne:

Sporządź wykres funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= \left|2 ^{ \left|log _{ \frac{1}{2} }x \right| } -4 \right|}\).

oraz ustal liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\)

[xanowron]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(x)= \left|2 ^{ \left|log _{ \frac{1}{2} }x \right| } -4 \right|}\)

Dziedzina funkcji to oczywiście \(\displaystyle{ x>0}\)

Funkcję można zapisać jako:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \left|2 ^{ log _{ \frac{1}{2} }x} -4 \right| \ , \ log_{\frac{1}{2}}x \ge 0 \\ \left|2 ^{ -log _{ \frac{1}{2} }x} -4 \right| \ , \ log_{\frac{1}{2}}x < 0\end{cases}}\)

Czyli

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \left|\frac{1}{2} ^{ -log _{ \frac{1}{2} }x} -4 \right| \ , \ 0<x \le 1 \\ \left|\frac{1}{2} ^{ log _{ \frac{1}{2} }x} -4 \right| \ , \ x>1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \left|\frac{1}{x} -4 \right| \ , \ 0<x \le 1 \\ \left|x -4 \right| \ , \ x>1\end{cases}}\)

Wykres wygląda tak

Zatem liczba rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\) to:

0 rozwiązań dla \(\displaystyle{ m<0}\)
2 rozwiązania dla \(\displaystyle{ m>3 \vee m=0}\)
3 rozwiązania dla \(\displaystyle{ m=3}\)
4 rozwiązania dla \(\displaystyle{ 0<m<3}\)

[Grzechu1616]

To ja teraz zapodam zadanie:

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} - 2x ^{2} + mx(1 + x) - x = 0}\) ma 4 różne pierwiastki.

[xanowron]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
Dzielimy zgodnie z tw. Bezout i dostajemy jakiś trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ f(x)}\) w którym muszą być spełnione warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(0) \neq 0 \\ f(-1) \neq 0 \end{cases}}\)