ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki

[Grzechu1616]

\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|=3cos \frac{1}{2}x-3}\)

Po lewej mamy wartość bezwzględną, więc wartość prawej strony równania musi być większa od lub równa zeru.

można w taki sposób to rozegrać?

[kocz]

no czemu by nie

Skoro mają mieć punkt wspólny to znaczy, że x1 = x2 oraz y1=y2 ,(chodzi o współrzędne punktu wspólnego )
Czyli mniej więcej, że dany x daje takie samo rozwiązanie w obu równaniach.

A z wartością bezwzględną, no to wymagana dziedzina do postawienia.

[Grzechu1616]

\(\displaystyle{ 3cos \frac{1}{2}x-3 \ge 0}\)

tzn. o to mi chodziło, że rozważamy tylko większe równe, a mniejszego nie?

[KrzyseX]

Hym no jeśli |wartość bezwględna| < 0 to jest to równanie sprzeczne i nie ma rozwiązań.

[Grzechu1616]

myślałem, że cos takiego:
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|=3cos \frac{1}{2}x - 3}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow 2 ^{x-m}-1=3cos \frac{1}{2}x - 3}\) dla \(\displaystyle{ x \ge m}\)

\(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ 2 ^{x-m}-1=-3cos \frac{1}{2}x + 3}\) dla \(\displaystyle{ x<m}\)

[math questions]

brawo!!! KrzyseX, namęczyłes się ale dobrze ci wyszło te zadanie jest tak piękne w swej prostocie że wystarczyło rozwiazać tylko takie równanie :
\(\displaystyle{ 3cos \frac{1}{2}x=3 \Rightarrow x=4k \pi \Rightarrow m=4k \pi ,\ k \in C}\)

dla m=0 mamy jedno rozwiązanie jak zauważył karol123 ale nie podją dalej tematu trzeba było zauwazyc co ile powtarzaja się się wierzchołki wykresu \(\displaystyle{ 3cos \frac{1}{2}x}\) lub zbadać okresowośc tej funkcji bo właśnie o okres tej funkcji trzeba przesunąć wykres funkcji \(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|+3}\) względem osi OX aby funkcje się przecinały w jednym punkcie

zadanie proste ale może sporo czasu zając na maturze a tego jest niewiele zauwazyłem że prawie wszystkie zadania na rozszerzeniu z pozoru wydają się trudne ale ich rozwiazanie jest proste wystarczy pomysleć wpaść na jakis błyskotliwy pomysł i od razu zadanie samo sie rozwiazuje

jeśli chcecie jakieś jeszcze trudene "proste" zadanko to pisać

[kocz]

myślałem, że cos takiego:
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|=3cos \frac{1}{2}x - 3}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow 2 ^{x-m}-1=3cos \frac{1}{2}x - 3}\) dla \(\displaystyle{ x \ge m}\)

\(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ 2 ^{x-m}-1=-3cos \frac{1}{2}x + 3}\) dla \(\displaystyle{ x<m}\)

Sprytniejsza[bardziej trickowa] metoda jest tam w wyznaczeniu dziedziny tego cosinusa, korzystając z faktu, że jest przyrównany do modułu. Zadanie było robione raczej pod to, bo wychodzi ładnie jedna wartość z nierówności później.(x=4kpi, bo max wartosc cos = 1)

Mądrze, to napisałeś, ale zastanawiam się co by się stało, jeżeli x = -1, a m=-2, x>=m, niezaprzeczalnie, a wtedy,

\(\displaystyle{ 2 ^{-3}-1 = \frac{1}{8} -1 < 0}\), a więc nie jest to poprawny warunek na dodatniość wyrażenia podmodułowego.
Także te warunki wcale nie są takie oczywiste tutaj coś mi się zdaje.

@math questions: ja chętnie zadanka !! dobrze korzystać z różnych źródeł zadań i próbować swoich sił

[math questions]

z innej beczki planimetria;

wyznacz zbiór srodków wszystkich cieciw okręgu, które przechodzą przez ustalony punkt tego okręgu

[Grzechu1616]

czyżby był to okrąg o promieniu równym połowie promienia dużego okręgu, o środku w połowie odległości między środkiem danego okręgu a ustalonym punktem?

[math questions]

brawo!!! Grzechu1616

czyżby był to okrąg o promieniu równym połowie promienia dużego okręgu, o środku w połowie odległości między środkiem danego okręgu a ustalonym punktem?

z małym ale to własnie bedzie taki okrąg ale bez ustalonego tego punktu

-- 7 kwi 2010, o 20:54 --

next:

Czworiokąt ABCD jest wpisany w okrąg. W czworokacie tym \(\displaystyle{ |AD|=a,\ |CD|=b,\ | \sphericalangle ABD|=2 \alpha ,\ | \sphericalangle CBD|= \alpha .}\) Wykaż,ze \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=2cos \alpha}\)

[Grzechu1616]

coraz łatwiejsze dajesz:P
Z rysunku widać, że BD dzieli czworokąt na dwa trójkąty, na których jest opisany ten sam okrąg, czyli promień okręgu opisanego na ABD równa się promieniowi okręgu opisanego na BCD, tw. sinusów i zależność jest wykazana

[math questions]

na rozgrzewkę zadanko:
Dla jakiej wartości a pole obszaru opisanego nierównościami \(\displaystyle{ (x-a) ^{2}+(y-a) ^{2} \ge a ^{2}\ i\ \left|x-a \right| \le a\ i\ \left|y-a \right| \le a}\) jest większe niż \(\displaystyle{ 4- \pi}\)

[Grzechu1616]

\(\displaystyle{ |x - a| \le a \Rightarrow 0 \le x \le 2a}\)

\(\displaystyle{ |y - a| \le a \Rightarrow 0 \le y \le 2a}\)

z tego wynika, że\(\displaystyle{ a > 0}\)

\(\displaystyle{ (x-a) ^{2}+(y-a) ^{2} \ge a ^{2}}\) to część zewnętrzna koła wraz z krawędzią o środku \(\displaystyle{ S (a;a)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = a}\)

Pole opisanego obszaru to różnica pól kwadratu o krawędzi 2a oraz okręgu \(\displaystyle{ S (a;a)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = a}\)

Powstaje równanie \(\displaystyle{ 4a ^{2} - \pi a ^{2} > 4 - \pi}\)

Odp: \(\displaystyle{ a \in (1 ; + \infty )}\)

[math questions]

brawo Grzechu1616,

a teraz coś do policzenia :

Oblicz:
\(\displaystyle{ 1999 ^{2} -1998 ^{2}+1997 ^{2}-1996 ^{2} +\ ...\ +3 ^{2} -2 ^{2} +1 ^{2}}\)

[Grzechu1616]

Odp: 1 999 000 ?