Świderski, to tylko moje subiektywne odczucia, ale np.
Do obszaru kąta ostrego o mierze α należy punkt P , którego odległości od ramion kąta są równe a i b . Oblicz odległość punktu P od wierzchołka kąta.
Ed. Oczywiście może nie stoją one na nadziemskim poziomie, aczkolwiek trzeba 'trochę' pogłówkować, tym bardziej przy zadaniach typu udowodnij, szczególnie z działów planimetria, stereometria.
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
Robimy rysunek, kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , dowolny punkt wewnątrz, rysujemy odległości od boków, oraz odległość od wierzchołka. Odległość od wierzchołka dzieli nam kąt na dwa różne kąty. Otrzymujemy dwa trójąty prostokątne. Wprowadzamy oznaczenia :
(u mnie) a,b, \(\displaystyle{ \alpha}\) dane, c-główna szukana
pierwszy trójkąt : boki : x,b,c, kąt \(\displaystyle{ \beta}\) naprzeciwko boku b.
drugi trójkąt : boki : y,a,c, kąt \(\displaystyle{ \gamma}\)
c to innymi słowy przeciwprostokątna w obydwu trójkątach.
z wzoru na sinus sumy:
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = sin(\(\displaystyle{ \gamma}\)+\(\displaystyle{ \beta}\)) = sin\(\displaystyle{ \beta}\) * cos\(\displaystyle{ \gamma}\) + sin\(\displaystyle{ \gamma}\) * cos\(\displaystyle{ \beta}\)
a więc:
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{a}{c}}\) * \(\displaystyle{ \frac{x}{c}}\) + \(\displaystyle{ \frac{y}{c}}\) * \(\displaystyle{ \frac{b}{c}}\)
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{ax+by}{ c^{2} }}\)
z twierdzenia Pitagorasa dla jednego z trójkątów: \(\displaystyle{ c^{2} = x^{2} + b^{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{ax+by}{x^{2} + b^{2}}}\) / mnozymy przez mianownik
\(\displaystyle{ x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha = ax+by}\) ,z tego wyliczamy łatwo y:
\(\displaystyle{ y = \frac{x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha-ax}{b}}\)
Noto możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ cos\alpha = cos(\beta+\gamma)}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = cos\beta * cos\gamma - sin\beta * sin\gamma}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{x}{c}* \frac{y}{c} - \frac{a}{c}* \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{xy-ab}{c^{2}}}\)
Znowu, z twierdzenia Pitagorasa...o, podstawmy odrazu wyliczone 4 linijki wyżej "y"...
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{x*\frac{x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha-ax}{b} - ab}{x^{2} + b^{2}}}\)
Efekt? - fajny wieżowiec ...
\(\displaystyle{ x^{2}cos\alpha + b^{2}cos\alpha = \frac{x^{3}sin\alpha+xb^{2}sin\alpha - ax^{2}}{b}-ab}\)
Po pomnożeniu przez "b" i uporządkowaniu...
\(\displaystyle{ x^{3}sin\alpha - x^{2}cos\alpha - ax^{2} + xb^{2}sin\alpha - ab^{2} - b^{3}cos\alpha = 0}\)
teraz, wielomiany... a więc łatwo widać
\(\displaystyle{ xsin\alpha(x^{2} + b^{2}) - x^{2}(bcos\alpha+a) - b^{2}(a+bcos\alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ xsin\alpha(x^{2} + b^{2}) - (x^{2}+b^{2})(bcos\alpha+a)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2} + b^{2})*(xsin\alpha - bcos\alpha - a) = 0}\)
pierwszy nawias to x nalezacy do pustego...,
drugi to osatecznie \(\displaystyle{ x = \frac{a+bcos\alpha}{sin\alpha}}\)
no to moze tw pitagorasa, bo dawno nie było...
c = sqrt{x^{2}+b^{2}}
zostaje jeszcze standardowa metoda tw sin + tw cos.
A, no i moje zadanie:
Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb. Wyznacz te liczby pierwsze.
(u mnie) a,b, \(\displaystyle{ \alpha}\) dane, c-główna szukana
pierwszy trójkąt : boki : x,b,c, kąt \(\displaystyle{ \beta}\) naprzeciwko boku b.
drugi trójkąt : boki : y,a,c, kąt \(\displaystyle{ \gamma}\)
c to innymi słowy przeciwprostokątna w obydwu trójkątach.
z wzoru na sinus sumy:
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = sin(\(\displaystyle{ \gamma}\)+\(\displaystyle{ \beta}\)) = sin\(\displaystyle{ \beta}\) * cos\(\displaystyle{ \gamma}\) + sin\(\displaystyle{ \gamma}\) * cos\(\displaystyle{ \beta}\)
a więc:
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{a}{c}}\) * \(\displaystyle{ \frac{x}{c}}\) + \(\displaystyle{ \frac{y}{c}}\) * \(\displaystyle{ \frac{b}{c}}\)
sin\(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{ax+by}{ c^{2} }}\)
z twierdzenia Pitagorasa dla jednego z trójkątów: \(\displaystyle{ c^{2} = x^{2} + b^{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{ax+by}{x^{2} + b^{2}}}\) / mnozymy przez mianownik
\(\displaystyle{ x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha = ax+by}\) ,z tego wyliczamy łatwo y:
\(\displaystyle{ y = \frac{x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha-ax}{b}}\)
Noto możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ cos\alpha = cos(\beta+\gamma)}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = cos\beta * cos\gamma - sin\beta * sin\gamma}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{x}{c}* \frac{y}{c} - \frac{a}{c}* \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{xy-ab}{c^{2}}}\)
Znowu, z twierdzenia Pitagorasa...o, podstawmy odrazu wyliczone 4 linijki wyżej "y"...
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{x*\frac{x^{2} sin\alpha + b^{2} sin\alpha-ax}{b} - ab}{x^{2} + b^{2}}}\)
Efekt? - fajny wieżowiec ...
\(\displaystyle{ x^{2}cos\alpha + b^{2}cos\alpha = \frac{x^{3}sin\alpha+xb^{2}sin\alpha - ax^{2}}{b}-ab}\)
Po pomnożeniu przez "b" i uporządkowaniu...
\(\displaystyle{ x^{3}sin\alpha - x^{2}cos\alpha - ax^{2} + xb^{2}sin\alpha - ab^{2} - b^{3}cos\alpha = 0}\)
teraz, wielomiany... a więc łatwo widać
\(\displaystyle{ xsin\alpha(x^{2} + b^{2}) - x^{2}(bcos\alpha+a) - b^{2}(a+bcos\alpha) = 0}\)
\(\displaystyle{ xsin\alpha(x^{2} + b^{2}) - (x^{2}+b^{2})(bcos\alpha+a)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2} + b^{2})*(xsin\alpha - bcos\alpha - a) = 0}\)
pierwszy nawias to x nalezacy do pustego...,
drugi to osatecznie \(\displaystyle{ x = \frac{a+bcos\alpha}{sin\alpha}}\)
no to moze tw pitagorasa, bo dawno nie było...
c = sqrt{x^{2}+b^{2}}
zostaje jeszcze standardowa metoda tw sin + tw cos.
A, no i moje zadanie:
Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb. Wyznacz te liczby pierwsze.
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2010, o 16:42 przez kocz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Grzechu1616
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 5 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
wiadomo, że jedną z nich musi być 11, więc pozostaje równanie z dwiema niewiadomymi. Trochę kombinując doprowadzamy je do postaci \(\displaystyle{ 12 = (c - 1)(b - 1)}\). Muszą to być liczby całkowite więc może być \(\displaystyle{ 12 \cdot 1 \vee 6 \cdot 2 \vee 4 \cdot 3}\)
No to ode mnie:
Jedną z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnica okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 3 : 2. Oblicz cosinus kąta ostrego przy podstawie trapezu.
No to ode mnie:
Jedną z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnica okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 3 : 2. Oblicz cosinus kąta ostrego przy podstawie trapezu.
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
co do mojego zadania: to są liczby pierwsze, więc pisząc \(\displaystyle{ c-1=12 \wedge b-1=1}\) i pozostałe możliwości analogicznie, trzeba sprawdzić, czy wynikami są liczby pierwsze. Okej.
znowu nie widze łatwego rozwiązania, tylko się męczę...
Trapez musi być równoramienny, ponieważ skoro można na nim opisac okrąg to przeciwległe kąty są sobie równe=180. Jednocześnie wiemy, że suma kątów przy danym ramieniu jest równa 180.
w takim razie obw = a+b+2c
\(\displaystyle{ \frac{a+b+2c}{a+b} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2c}{a+b} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2c}{a+b} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{4}}\)
możemy teraz narysować trójkąty prostokątne, prowadząc wysokość i prowadząc przekątną trapezu.
Obydwa zawierają kąt alfa i ramię c:
niech x bedzie odcinkiem odciętym przez wysokość trapezu.
Z jednego trójkąta: \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{c}{a} = \frac{a+b }{4a}}\)
Z drugiego : \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{c} = \frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{a+b}{4}} = \frac{2(a-b)}{a+b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2(a-b)}{a+b} = \frac{a+b }{4a}}\) /* 4a(a+b)
po wymnozeniu i uporzadkowaniu:
\(\displaystyle{ 7a^{2} - 10ab - b^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ a_{1} < 0}\) \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{5b+4b \sqrt{2}}{7}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a+b}{4a}}\)
po obliczeniach cos takiego : \(\displaystyle{ \frac{3+ \sqrt{2}}{5+4 \sqrt{2}}}\)
Jesli ktos moglby mnie olsnic tutaj latwiejsza metodą, to byłbym bardzo wdzięczny...
Staram się podążać za przysłowiem jakiegoś słynnego matematyka "...znacznie lepiej zrobić jedno zadanie na kilka sposobów, niż kilka jednym sposobem."
już myśle nad kolejnym zadaniem ; o
znowu nie widze łatwego rozwiązania, tylko się męczę...
Trapez musi być równoramienny, ponieważ skoro można na nim opisac okrąg to przeciwległe kąty są sobie równe=180. Jednocześnie wiemy, że suma kątów przy danym ramieniu jest równa 180.
w takim razie obw = a+b+2c
\(\displaystyle{ \frac{a+b+2c}{a+b} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2c}{a+b} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2c}{a+b} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{4}}\)
możemy teraz narysować trójkąty prostokątne, prowadząc wysokość i prowadząc przekątną trapezu.
Obydwa zawierają kąt alfa i ramię c:
niech x bedzie odcinkiem odciętym przez wysokość trapezu.
Z jednego trójkąta: \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{c}{a} = \frac{a+b }{4a}}\)
Z drugiego : \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{c} = \frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{a+b}{4}} = \frac{2(a-b)}{a+b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2(a-b)}{a+b} = \frac{a+b }{4a}}\) /* 4a(a+b)
po wymnozeniu i uporzadkowaniu:
\(\displaystyle{ 7a^{2} - 10ab - b^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ a_{1} < 0}\) \(\displaystyle{ a_{2} = \frac{5b+4b \sqrt{2}}{7}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a+b}{4a}}\)
po obliczeniach cos takiego : \(\displaystyle{ \frac{3+ \sqrt{2}}{5+4 \sqrt{2}}}\)
Jesli ktos moglby mnie olsnic tutaj latwiejsza metodą, to byłbym bardzo wdzięczny...
Staram się podążać za przysłowiem jakiegoś słynnego matematyka "...znacznie lepiej zrobić jedno zadanie na kilka sposobów, niż kilka jednym sposobem."
już myśle nad kolejnym zadaniem ; o
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2010, o 18:03 przez kocz, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Grzechu1616
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 5 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
po uproszczeniu \(\displaystyle{ \sqrt{2} - 1}\), więc dobrze zrobione
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
Noto czas na jakiś dowód(robiąc zadania zaznaczyłem go kiedyś kółeczkiem, więc sprawiało mi trudność, ostatecznie niezrobione).
Kiełbasa cz2. matura 2009/2010 zad.168
Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta przechodząca przez punkty A i W przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie D. Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.
Prosze o opis wmiare możliwości, skoro nie ma warunków do rysunku . A trzeba tu coś zauważyć...
Kiełbasa cz2. matura 2009/2010 zad.168
Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta przechodząca przez punkty A i W przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie D. Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.
Prosze o opis wmiare możliwości, skoro nie ma warunków do rysunku . A trzeba tu coś zauważyć...
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1675
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
Niech \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB=\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=\beta}\), zauważmy, że \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB= \sphericalangle ADB=\alpha}\) (wpisane oparte na tym samym łuku), teraz zabawa z kątami \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=180-(\alpha+\beta)}\), pólproste AW i BW są dwusiecznymi kątów przy wierzchołkach A i B czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle BAW=\frac{1}{2}\beta}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle ABW=\frac{1}{2}(180-(\alpha+\beta))}\), zatem
\(\displaystyle{ \sphericalangle BWD= \sphericalangle BAW+ \sphericalangle ABW=90-\frac{1}{2}\alpha}\) i łatwo dostajemy równiez, że \(\displaystyle{ \sphericalangle WBD=90-\frac{1}{2}\alpha}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle BWD= \sphericalangle WBD}\), co jest równoważne tezie.
\(\displaystyle{ \sphericalangle BWD= \sphericalangle BAW+ \sphericalangle ABW=90-\frac{1}{2}\alpha}\) i łatwo dostajemy równiez, że \(\displaystyle{ \sphericalangle WBD=90-\frac{1}{2}\alpha}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle BWD= \sphericalangle WBD}\), co jest równoważne tezie.
-
Grzechu1616
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 5 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
offline, wiec ja podtrzymam tok.
(kolejne typowo kiełbasiane), z tym także miałem problem. Ostatecznie, rozwiązanie tego jednak mam gdzieś na kompie .JPG. Niech sie ktoś sprawdzi
(kolejne typowo kiełbasiane), z tym także miałem problem. Ostatecznie, rozwiązanie tego jednak mam gdzieś na kompie .JPG. Niech sie ktoś sprawdzi
Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone do przyprostokątnych.
-
Grzechu1616
- Użytkownik
- Posty: 171
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 5 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
myślę ze trzeba uzależnić te środkowe od przyprostokątnych i korzystając z własności ze środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1, z tw. cosinusów policzyć dany kąt
-
stan1906
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 11 wrz 2007, o 18:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Alabastia
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 5 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
dołączę się do tematu. jestem w podobnej sytuacji jak autor tematu i userzy z początku 1 strony. podstawę zdałem w listopadzie na 84% ;/ w czerwcu tamtego roku w próbnej takiej szkolnej miałem 96%.
na maturze zdecydowałem się na rozszerzenie, w środę przed świętami pisaliśmy próbną znowu, ja już rozszerzoną. niedługo wyniki.
w maju muszę pocisnąć podstawę jak najwięcej się da. rozszerzenie wziąłem tak dla własnej satysfakcji i ambicji. zobaczymy co z tego będzie
co do planów na studia to nic związanego z matematyką, fizyką. coś innego. a co to powiem jeśli się dostane ;p
powodzenia!
na maturze zdecydowałem się na rozszerzenie, w środę przed świętami pisaliśmy próbną znowu, ja już rozszerzoną. niedługo wyniki.
w maju muszę pocisnąć podstawę jak najwięcej się da. rozszerzenie wziąłem tak dla własnej satysfakcji i ambicji. zobaczymy co z tego będzie
co do planów na studia to nic związanego z matematyką, fizyką. coś innego. a co to powiem jeśli się dostane ;p
powodzenia!
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
zadanko z rozszerzenia:
Dane są funkcje \(\displaystyle{ f(x)=|2 ^{x-m}-1|+3}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=3cos \frac{1}{2}x}\). Dla jakich wartości marametru m wykresy funkcji f i g maja jeden punkt wspólny?
Dane są funkcje \(\displaystyle{ f(x)=|2 ^{x-m}-1|+3}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=3cos \frac{1}{2}x}\). Dla jakich wartości marametru m wykresy funkcji f i g maja jeden punkt wspólny?
-
karol123
- Użytkownik
- Posty: 297
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 00:47
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 102 razy
- Pomógł: 13 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
To zadanie math questions jest o tyle łatwe, że jak narysujesz \(\displaystyle{ f(x)=|2^x -1|}\) oraz\(\displaystyle{ g(x)=3cos \frac{1}{2}x}\) to wychodzi z rysunku, że mają 1 punkt wspólny bez żadnej wartości przesunięcia w prawo bądź w lewo funkcji o wartośc m , tzn dla m=0.
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
karol123 jest o tyle łatwe że odp. to nie na pewno m = 0
ostatnia powtorka przed matura rozszerzona z matematyki
Na mój gust(po godzinach kombinowania ;D):
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=|2 ^{x-m}-1|+3
\\ y=3cos \frac{1}{2}x \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|+3=3cos \frac{1}{2}x}\)
Fajno, przenosimy 3 na drugą stronę
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|=3cos \frac{1}{2}x-3}\)
Po lewej mamy wartość bezwzględną, więc wartość prawej strony równania musi być większa od lub równa zeru.
\(\displaystyle{ 3cos \frac{1}{2}x-3 \ge 0}\)
Po przeniesieniu trójki, podzieleniu na 3 i wyliczeniach wychodzi nam:
\(\displaystyle{ cos \frac{1}{2}x \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x=4k \pi , k \in C}\)
Bo cosinus tego kąta nie może być większy od 1 jedynie równy,a 1 przyjmuje tylko dla tych wartości x. Mamy więc x. Wstawiamy go do drugiego równania, obliczamy y:
\(\displaystyle{ y=3cos \left( \frac{1}{2}*4k \pi\right)}\)
\(\displaystyle{ y=3cos 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ y=3*1}\)
Wstawiamy nasze x i y do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 3=|2 ^{4k \pi-m}-1|+3}\)
\(\displaystyle{ |2 ^{4k \pi-m}-1|=0}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-m}-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-m}=1}\)
Stąd wniosek, że
\(\displaystyle{ m=4k \pi , k \in C}\)
Gdyż
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-4k \pi}=2 ^{0}=1}\)
Bardzo ciekawe i dobre zadanie. Na początku myślałem tak jak karol123, ("po co przesuwać jak akurat mają punkt wspólny(0,3) dla m=0) ale cały czas nie grało mi z wykazaniem algebraicznym - jak mówi mój nauczyciel - wykazanie na płaszczyźnie geometrycznej 1 przypadku nie jest żadnym wykazaniem.
Dość długo siedziałem nad wykombinowaniem, dochodziły nawet jakieś logarytmy, ale dobrze że się przewietrzyłem i wpadłem na inny pomysł(w sumie też dzięki karolowi123).
I tak a propo to witam, nowy jestem
PS.
I z tego właśnie powodu nie wiem (jeszcze P) jak się robi entery w LaTeXie tak więc przepraszam, wszystko szło w osobną linijkę i osobne\(\displaystyle{ [/.tex]
EDIT
Teraz widzę, że nawet nie trzeba liczyć y tylko wstawić od razu wyliczone x do czwartego równania licząc od początku i szybciej dojdziemy do wyniku. Ale i tak jest fajnie.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=|2 ^{x-m}-1|+3
\\ y=3cos \frac{1}{2}x \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|+3=3cos \frac{1}{2}x}\)
Fajno, przenosimy 3 na drugą stronę
\(\displaystyle{ |2 ^{x-m}-1|=3cos \frac{1}{2}x-3}\)
Po lewej mamy wartość bezwzględną, więc wartość prawej strony równania musi być większa od lub równa zeru.
\(\displaystyle{ 3cos \frac{1}{2}x-3 \ge 0}\)
Po przeniesieniu trójki, podzieleniu na 3 i wyliczeniach wychodzi nam:
\(\displaystyle{ cos \frac{1}{2}x \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x=4k \pi , k \in C}\)
Bo cosinus tego kąta nie może być większy od 1 jedynie równy,a 1 przyjmuje tylko dla tych wartości x. Mamy więc x. Wstawiamy go do drugiego równania, obliczamy y:
\(\displaystyle{ y=3cos \left( \frac{1}{2}*4k \pi\right)}\)
\(\displaystyle{ y=3cos 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ y=3*1}\)
Wstawiamy nasze x i y do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 3=|2 ^{4k \pi-m}-1|+3}\)
\(\displaystyle{ |2 ^{4k \pi-m}-1|=0}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-m}-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-m}=1}\)
Stąd wniosek, że
\(\displaystyle{ m=4k \pi , k \in C}\)
Gdyż
\(\displaystyle{ 2 ^{4k \pi-4k \pi}=2 ^{0}=1}\)
Bardzo ciekawe i dobre zadanie. Na początku myślałem tak jak karol123, ("po co przesuwać jak akurat mają punkt wspólny(0,3) dla m=0) ale cały czas nie grało mi z wykazaniem algebraicznym - jak mówi mój nauczyciel - wykazanie na płaszczyźnie geometrycznej 1 przypadku nie jest żadnym wykazaniem.
Dość długo siedziałem nad wykombinowaniem, dochodziły nawet jakieś logarytmy, ale dobrze że się przewietrzyłem i wpadłem na inny pomysł(w sumie też dzięki karolowi123).
I tak a propo to witam, nowy jestem
PS.
I z tego właśnie powodu nie wiem (jeszcze P) jak się robi entery w LaTeXie tak więc przepraszam, wszystko szło w osobną linijkę i osobne\(\displaystyle{ [/.tex]
EDIT
Teraz widzę, że nawet nie trzeba liczyć y tylko wstawić od razu wyliczone x do czwartego równania licząc od początku i szybciej dojdziemy do wyniku. Ale i tak jest fajnie.}\)