Minimum

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą i niech \(\displaystyle{ <x> = \min( \{x \} , \{1-x \})}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą niewymierną, i \(\displaystyle{ \alpha >0}\), to istnieje liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) taka, że \(\displaystyle{ <n^2x> \ < \alpha}\).
gdzie \(\displaystyle{ \{ x \}}\) jest częścią ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\).

[azanus111]

Coś mi się wydaje , że różnica czy tam jest \(\displaystyle{ nx}\) czy \(\displaystyle{ n^2x}\) jest żadna i , że trzeba zastosować

kryterium Weyla dla rozkładu jednostajnego...

[azanus111]

\(\displaystyle{ \min\left( \left\{ x\right\} , 1-\left\{ x\right\} \right) = \frac{1-\left| 2\left\{ x\right\}-1 \right| }{2} }\)

\(\displaystyle{ \left\langle n^2x\right\rangle= \frac{1-\left| 2\left\{ n^2x\right\}-1 \right| }{2} }\)

jak widać ten ułamek będzie równy:

\(\displaystyle{ \left\{ n^2x\right\} \vee \left\{ 1-n^2x\right\} }\)

ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierną, więc układ ten zagęści cały przedział: \(\displaystyle{ (0;1)}\)

więc zawsze znajdzie się takie:\(\displaystyle{ n}\) , że dla każdego: \(\displaystyle{ \alpha>0}\):

\(\displaystyle{ \left\langle n^2x\right\rangle < \alpha}\)

zresztą nie ma to znaczenia dla takich rozkładów czy będzie tam: \(\displaystyle{ n}\) czy: \(\displaystyle{ n^2}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \left\{ n^2x\right\} \vee \left\{ 1-n^2x\right\} }\)

ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierną, więc układ ten zagęści cały przedział: \(\displaystyle{ (0;1)}\)

W zadaniu chodzi właśnie o to żeby ten fakt udowodnić

[azanus111]

A nie można by zastosować tego twierdzenia:

Twierdzenie Weyla o równomiernym rozkładzie Zgodnie z kryterium Weyla, ciąg wielomianowy postaci

\(\displaystyle{ \{P(n)\}}\), gdzie:

\(\displaystyle{ P(n)=\alpha _{k}n^{k}+\alpha _{k-1}n^{k-1}+\dots +\alpha _{1}n+\alpha _{0}}\)

jest jednostajnie rozłożony w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden ze współczynników

\(\displaystyle{ \alpha _{i}}\) dla \(\displaystyle{ i\ge 1}\) jest liczbą niewymierną. 

u nas:

\(\displaystyle{ x=\alpha_{k}}\) , pozostałe się zerują , \(\displaystyle{ k=2}\)

[a4karo]

Pewnie wystarczy, tylko czy to nie jest za duża armata?

[azanus111]

Tak tylko sama formuła zadania jest do niczego...