granica związana z ciągiem 1/n

[wielkireturner]

Dobry dzionek. Proszę o wsparcie w zadaniu:
Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \right)}\)

[bartek118]

Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) na odcinku \(\displaystyle{ [1,2]}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ldots \frac{1}{1 + \frac{n}{n}} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right)}\)
Stąd już widać granicę.

[wielkireturner]

Próbuję zrozumieć, ale średnio mi to wychodzi. Dlaczego \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right]}\) , a nie np. \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\) ?

[bartek118]

Ponieważ mamy \(\displaystyle{ f \left( 1 + \frac{k}{n} \right)}\), a punkty \(\displaystyle{ 1 + \frac{k}{n}}\) dzielą odcinek \(\displaystyle{ [1,2]}\) na \(\displaystyle{ n}\) równy części długości \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Zatem mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right) \to \int_1^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)}\)

[mol_ksiazkowy]

już widać granicę.

Czy istnieje inny (elementarny) sposób...?

Ukryta treść:    

tj. bez całek

[Marcinek665]

Istnieje.

Poprzekształcać prawdziwą nierówność

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln(1+x) \le x}\)

Najpierw podstawiając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), potem przekształcić tak, zeby otrzymać \(\displaystyle{  (...)-(...) > \frac{1}{n} > (...) - (...)}\) i wysumowac stronami.

[czekoladowy]

Alternatywnie możemy skorzystać z tego, że:

\(\displaystyle{ \gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)}\)

[PiotrowskiW]

Ciągi
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n+1} \right)_{n \in N},\left( \frac{1}{n+2} \right)_{n \in N},\dots, \left( \frac{1}{2n} \right)_{n \in N}}\) są ciągami zbieżnymi do zera. Zatem na mocy twierdzenia o granicy sumy...
granica sumy to suma granic.
Co Wam się w tym nie podoba?

[Nakahed90]

Twierdzenia prawdziwe tylko dla sum skończonych.

[mol_ksiazkowy]

Istnieje.

Ukryta treść:    

Jest i interpretacja fizyczna:
Problem
Pojazd jedzie, ze zmienną prędkością, a cała droga to \(\displaystyle{ a}\). Będąc \(\displaystyle{ x}\) (m) do końca drogi: ma prędkość \(\displaystyle{ x}\) (m/s).
Po jakim czasie będzie w połowie drogi ?

tj. ruch opisuje funkcja \(\displaystyle{ x()}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime } (t) =-x \\ x(0)=a \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x(t)}\) to położenie pojazdu fako funkcja czasu \(\displaystyle{ t}\);
co ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x(t)= a e^{-t}}\) albo czas \(\displaystyle{ t = \ln(\frac{a}{x})}\),
tj. \(\displaystyle{ t(\frac{a}{2})= \ln(2)}\)

[mol_ksiazkowy]

tj.: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =\ln(2)}\)

Ukryta treść:    

przeksztalcenia-algebraiczne-f135/wlasn ... l#p5370595

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \ln(k)}\) gdy \(\displaystyle{ (k-1)n }\) skłądników sumy;

Ukryta treść:    

https://math.stackexchange.com/questions/285308/limit-of-the-sum-frac1n1-frac1n2-cdots-frac12n

Dodano po 8 dniach 14 godzinach 5 minutach 18 sekundach:
Ten ciąg to \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1}- \frac{1}{2}\right)+ ...+ \left( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}\right).}\)

[mol_ksiazkowy]

lub jako \(\displaystyle{ H_{2n} - H_n }\) gdy \(\displaystyle{ \lim (H_n -\ln(n)) = \gamma}\).

[mol_ksiazkowy]

intuicje \(\displaystyle{ H_{2n}- H_n > \frac{n}{n+ \frac{n}{2} } }\) i \(\displaystyle{ \int_{1}^{n} \frac{dx}{x} = \ln(n) }\).

[a4karo]

Dla dowolnego `m>1` mamy \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}<e<\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m}}\), zatem

\(\displaystyle{ \frac{m+1}{m}<e^{\frac{1}{m}}<\frac{m}{m-1}}\)

W tej nierówności podstawiamy \(\displaystyle{ m=n+1, n+2,...,2n}\), wymnażamy nierówności (prawe i lewe strony się pięknie teleskopują) i dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n+1}<\exp\left(\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\right)<2}\)

Pozostaje tylko zlogarytmować.