Udowodnić, że dwa różne wielomiany, których suma nie jest tożsamościowo równa zeru, i które mają wartości całkowite w tych samych punktach nie mają wspólnych miejsc zerowych.Mały lemat
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13372
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Mały lemat
Udowodnić, że dwa różne wielomiany, których suma nie jest tożsamościowo równa zeru, i które mają wartości całkowite w tych samych punktach nie mają wspólnych miejsc zerowych.-
azanus111
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 25 gru 2025, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 11
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Re: Mały lemat
Bo jak widać są między sobą przesunięte o wektor: \(\displaystyle{ \left[ n , 0\right] , n \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\} }\)
Choć może być i nawet jeszcze szersza klasa wielomianów spełniających warunki zadania...
Choć może być i nawet jeszcze szersza klasa wielomianów spełniających warunki zadania...
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36038
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5340 razy
Re: Mały lemat
Klasyczny przykład "dowodu przez ogląd"...azanus111 pisze: 3 sty 2026, o 12:59 Bo jak widać są między sobą przesunięte o wektor: \(\displaystyle{ \left[ n , 0\right] , n \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\} }\)
JK
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13372
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: Mały lemat
np. \(\displaystyle{ x+1}\) i \(\displaystyle{ -x+1}\) ?i nawet jeszcze szersza klasa
-
azanus111
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 25 gru 2025, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 11
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Re: Mały lemat
Czy ja coś udowadniałem? Mówiłem tylko o wielomianach spełniających warunek...Klasyczny przykład "dowodu przez ogląd"...
Ty coś ostatnio próbujesz udowodnić lecz coś nie bardzo to ci wychodzi... Klasyczny przykład belferskiej nadinterpretacji...
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36038
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5340 razy
Re: Mały lemat
Użyte sformułowanie sugerowało co innego (czego być może nie zauważyłeś).azanus111 pisze: 4 sty 2026, o 00:52Czy ja coś udowadniałem? Mówiłem tylko o wielomianach spełniających warunek...
To jest zawsze możliwe, ale wyjaśnię Ci: "dowód przez ogląd" to nie jest dowód (więc istotnie nic nie udowadniałeś), to jest stwierdzenie w stylu "bo jak widać SĄ" (bez żadnego uzasadnienia).azanus111 pisze: 4 sty 2026, o 00:52 Ty coś ostatnio próbujesz udowodnić lecz coś nie bardzo to ci wychodzi... Klasyczny przykład belferskiej nadinterpretacji...
No właśnie nie widać i nie SĄ, co najwyżej MOGĄ BYĆ (a to bardzo duża różnica - tak naprawdę pomyliłeś zwrot implikacji). Ja wiem, że to tylko Twoja kolejna niestaranność wypowiedzi, a intencje miałeś dobre, no ale ponieważ od lat uczę studentów staranności wypowiedzi właśnie, więc nie mogłem się powstrzymać.
JK
-
azanus111
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 25 gru 2025, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 11
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Re: Mały lemat
w sumie każdy sobie niech interpretuje po swojemu , ja wypowiedziałem tylko pewną myśl a jak ty ją odbierasz jak dogmat to trudno...Użyte sformułowanie sugerowało co innego (czego być może nie zauważyłeś).
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: Mały lemat
Lemat: załóżmy, że
\(\displaystyle{ u(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ n > 0}\) i \(\displaystyle{ a_n > 0}\),
jest funkcją wielomianową przyjmującą wartości całkowite dokładnie na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) (tj. \(\displaystyle{ X = u^{-1}[\mathbb{Z}]}\)). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ |X \cap [0, t]| \sim a_n t^n}\), lub ściślej: \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{|X \cap [0, t]|}{t^n} = a_n}\).
Dowód: niech \(\displaystyle{ s \in \mathbb{R}}\) będzie takim miejscem, że \(\displaystyle{ u}\) jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ [s, \infty)}\). Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ |X \cap [s, t]| \sim a_n t^n}\), gdyż \(\displaystyle{ |X \cap [s, t]|}\) i \(\displaystyle{ |X \cap [0, t]|}\), jako funkcje zmiennej \(\displaystyle{ t}\), różnią się o stałą.
Niech \(\displaystyle{ t > s}\) będzie tak duże, że \(\displaystyle{ X \cap [s, t] \neq \varnothing}\), i niech
\(\displaystyle{ X \cap [s, t] = \{ x_0, \ldots, x_k \}}\), gdzie \(\displaystyle{ s \le x_0 < \ldots < x_k \le t}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le u(x_0) - u(s) \le 1}\) (gdyż \(\displaystyle{ u}\) jest ściśle rosnąca i ciągła na \(\displaystyle{ [s, x_0]}\) i nie przyjmuje w jego wnętrzu wartości całkowitych);
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le u(t) - u(x_k) \le 1}\) (z analogicznego powodu).
Ponadto \(\displaystyle{ u(x_k) - u(x_0) = k}\). Dodając to wszystko stronami, dostajemy
\(\displaystyle{ k \le u(t) - u(s) \le k+2}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ u(t) - u(s) - 1 \le |X \cap [s, t]| \le u(t) - u(s) + 1}\).
Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ t^n}\) i przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ t \to \infty}\), na mocy twierdzenia o trzech funkcjach otrzymujemy tezę. \(\displaystyle{ \square}\)
W prostych słowach wniosek stąd taki, że zliczając miejsca gdzie niestała funkcja wielomianowa przyjmuje wartości całkowite możemy odczytać jej stopień i współczynnik wiodący z dokładnością do znaku.
Niech teraz \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) będą funkcjami wielomianowymi jak w zadaniu. Jeśli jedna z nich jest stała, to druga też musi być i teza zachodzi w sposób trywialny; załóżmy zatem, że obie są niestałe. Na mocy lematu widzimy, że \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) mają równy stopień oraz współczynnik wiodący z dokładnością do znaku. Zatem ich suma lub różnica (oznaczmy ją \(\displaystyle{ w}\)) jest niezerowa i ma niższy stopień niż \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ w}\) jest funkcją stałą: w przeciwnym bowiem razie oznaczając przez \(\displaystyle{ X_u}\), \(\displaystyle{ X_v}\), \(\displaystyle{ X_w}\) zbiory na których odpowiednie funkcje przyjmują wartości całkowite, mamy \(\displaystyle{ X_w \supseteq X_u \cap X_v = X_u = X_v}\), co jest sprzeczne z lematem, na mocy którego asymptotycznie \(\displaystyle{ |X_w \cap [0, t]| < |X_u \cap [0, t]|}\) (z uwagi na \(\displaystyle{ \deg w < \deg u}\)).
Skoro zaś \(\displaystyle{ w}\) jest niezerową funkcją stałą, to nie ma miejsc zerowych, a stąd natychmiast wynika teza zadania.
\(\displaystyle{ u(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ n > 0}\) i \(\displaystyle{ a_n > 0}\),
jest funkcją wielomianową przyjmującą wartości całkowite dokładnie na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) (tj. \(\displaystyle{ X = u^{-1}[\mathbb{Z}]}\)). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ |X \cap [0, t]| \sim a_n t^n}\), lub ściślej: \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{|X \cap [0, t]|}{t^n} = a_n}\).
Dowód: niech \(\displaystyle{ s \in \mathbb{R}}\) będzie takim miejscem, że \(\displaystyle{ u}\) jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ [s, \infty)}\). Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ |X \cap [s, t]| \sim a_n t^n}\), gdyż \(\displaystyle{ |X \cap [s, t]|}\) i \(\displaystyle{ |X \cap [0, t]|}\), jako funkcje zmiennej \(\displaystyle{ t}\), różnią się o stałą.
Niech \(\displaystyle{ t > s}\) będzie tak duże, że \(\displaystyle{ X \cap [s, t] \neq \varnothing}\), i niech
\(\displaystyle{ X \cap [s, t] = \{ x_0, \ldots, x_k \}}\), gdzie \(\displaystyle{ s \le x_0 < \ldots < x_k \le t}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le u(x_0) - u(s) \le 1}\) (gdyż \(\displaystyle{ u}\) jest ściśle rosnąca i ciągła na \(\displaystyle{ [s, x_0]}\) i nie przyjmuje w jego wnętrzu wartości całkowitych);
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le u(t) - u(x_k) \le 1}\) (z analogicznego powodu).
Ponadto \(\displaystyle{ u(x_k) - u(x_0) = k}\). Dodając to wszystko stronami, dostajemy
\(\displaystyle{ k \le u(t) - u(s) \le k+2}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ u(t) - u(s) - 1 \le |X \cap [s, t]| \le u(t) - u(s) + 1}\).
Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ t^n}\) i przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ t \to \infty}\), na mocy twierdzenia o trzech funkcjach otrzymujemy tezę. \(\displaystyle{ \square}\)
W prostych słowach wniosek stąd taki, że zliczając miejsca gdzie niestała funkcja wielomianowa przyjmuje wartości całkowite możemy odczytać jej stopień i współczynnik wiodący z dokładnością do znaku.
Niech teraz \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) będą funkcjami wielomianowymi jak w zadaniu. Jeśli jedna z nich jest stała, to druga też musi być i teza zachodzi w sposób trywialny; załóżmy zatem, że obie są niestałe. Na mocy lematu widzimy, że \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) mają równy stopień oraz współczynnik wiodący z dokładnością do znaku. Zatem ich suma lub różnica (oznaczmy ją \(\displaystyle{ w}\)) jest niezerowa i ma niższy stopień niż \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ w}\) jest funkcją stałą: w przeciwnym bowiem razie oznaczając przez \(\displaystyle{ X_u}\), \(\displaystyle{ X_v}\), \(\displaystyle{ X_w}\) zbiory na których odpowiednie funkcje przyjmują wartości całkowite, mamy \(\displaystyle{ X_w \supseteq X_u \cap X_v = X_u = X_v}\), co jest sprzeczne z lematem, na mocy którego asymptotycznie \(\displaystyle{ |X_w \cap [0, t]| < |X_u \cap [0, t]|}\) (z uwagi na \(\displaystyle{ \deg w < \deg u}\)).
Skoro zaś \(\displaystyle{ w}\) jest niezerową funkcją stałą, to nie ma miejsc zerowych, a stąd natychmiast wynika teza zadania.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22458
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: Mały lemat
Jeżeli jeden z wielomianów jest stały, to drugi też musi i teza wynika trywialnie.
Zauważmy, że jeżeli `U,V` spełniają warunki zadania, to `-U,-V` też.
Ograniczmy nasz świat do półprostej `(s,\infty)`, na której oba wielomiany są ściśle monotoniczne.
Niech `U` będzie rosnący (możemy to założyć na mocy uwagi powyżej). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ U((s,\infty))}\) jest półprostą, więc zawiera ciąg liczb całkowitych `L, L+1, L+2,...`.
Niech `x_k=U^{-1}(k)` dla `k=L, L+1, L+2, ...`. Ciąg `(x_k)` jest rosnący i nieograniczony.
Na przedziale `[x_k, x_{k+1}]` funkcja `U` rośnie o `1` więc wewnątrz tego przedziału nie przyjmuje wartości całkowitych. Zatem `V` też nie przyjmuje wartości całkowitych, więc `V(x_{k+1})=V(x_k)\pm 1`, w zależności od tego, czy `V` rośnie, czy maleje. Stąd wniosek, że funkcja `U-V` (gdy `V` rośnie) lub `U+V` (gdy `V` maleje) jest stała na nieograniczonym zbiorze, zatem jeden z wielomianów `U\pm V` jest stały i niezerowy. A to wyklucza istnienie wspólnego pierwiastka.
Zauważmy, że jeżeli `U,V` spełniają warunki zadania, to `-U,-V` też.
Ograniczmy nasz świat do półprostej `(s,\infty)`, na której oba wielomiany są ściśle monotoniczne.
Niech `U` będzie rosnący (możemy to założyć na mocy uwagi powyżej). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ U((s,\infty))}\) jest półprostą, więc zawiera ciąg liczb całkowitych `L, L+1, L+2,...`.
Niech `x_k=U^{-1}(k)` dla `k=L, L+1, L+2, ...`. Ciąg `(x_k)` jest rosnący i nieograniczony.
Na przedziale `[x_k, x_{k+1}]` funkcja `U` rośnie o `1` więc wewnątrz tego przedziału nie przyjmuje wartości całkowitych. Zatem `V` też nie przyjmuje wartości całkowitych, więc `V(x_{k+1})=V(x_k)\pm 1`, w zależności od tego, czy `V` rośnie, czy maleje. Stąd wniosek, że funkcja `U-V` (gdy `V` rośnie) lub `U+V` (gdy `V` maleje) jest stała na nieograniczonym zbiorze, zatem jeden z wielomianów `U\pm V` jest stały i niezerowy. A to wyklucza istnienie wspólnego pierwiastka.