Zadanie warunkowe stożka

[dzialka11o]

Zadanie warunkowe :
W stożek o objetości \(\displaystyle{ 12\, cm^3}\) jest wpisana kula o promieniu \(\displaystyle{ r =1\,cm}\) ( styczna do podstawy i powierzchni wewnętrznej tego stożka ). Obliczyć wymiary tego stożka : pole podstawy , powierzchnię boczną , tworzącą stożka oraz kąt wierzchołkowy tego stożka .
T. W.

[kerajs]

Niech kąt między promieniem podstawy (R) a tworzącą wynosi \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) . Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{R}{1} =\ctg \alpha \ \ \Rightarrow \ \ R=\ctg \alpha \\
\frac{H}{R} =\tg 2\alpha \ \ \Rightarrow \ \ H=\tg 2\alpha\ctg \alpha \\
V= \frac{1}{3} \pi R^2H \\
12= \frac{1}{3} \pi \tg 2\alpha\ctg^3 \alpha}\)
pozostaje wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha }\)

[dzialka11o]

OK " karajas"
Z podanego wyliczonego wzoru , aby wyliczyć kąt nachylenia tworzacej stożka względem podstawy
(przez wstawienie podstawnika dla tych funkcji trygonometrycznych w tym wzorze)
otrzymalem równanie czwartego stopnia , ( które jest prawdopodobnie równaniem dwukwadratowym ).
W takim razie jak rozwiązać to równanie czwartego stopnia .

Zadanie to ma prawdopodobnie ma dwa rozwiazania dla szukanego ( R ) i tworzącej stożka ( L ) w ( cm ),
Pozdrawiam .
T.W.

[JHN]

\(\displaystyle{ 12= \frac{1}{3} \pi \tg 2\alpha\ctg^3 \alpha}\)

Równanie to jest równoważne
\(12=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\cdot\dfrac{1}{\tg^3\alpha}\) dla \(\alpha\in\left(0;{\pi\over4}\right)\).

...W takim razie jak rozwiązać to równanie czwartego stopnia .

Po uporządkowaniu można je przekształcić do postaci
\[18t^2-18t+\pi=0\ \ \text{gdzie } t=\tg^2\alpha\in(0;1)\\ \ldots\\ t=\frac{3\mp\sqrt{9-2\pi}}{6},\]
skąd
\[\alpha=\arctg\sqrt{\frac{3\mp\sqrt{9-2\pi}}{6}}\\
\alpha\approx 26^\circ\vee\alpha\approx 41^\circ.\]
Dokończyć możesz po wartościach dokładnych (koszmarek) albo przybliżonych...

Pozdrawiam

[dzialka11o]

OK : Dla porównania
---
Zadanie podobne :
Obliczyć wymiary ostrosłupa o "podstawie kwadratowej " o objętości równej 12 ,
którego podstawa jak i jego boki są styczne do kuli o promieniu 1 (cm)
( podaj kąt nachylenia boków tego ostrosłupa , ).
( podana objętość jest większa od objętości kuli - to warunek konieczny )

Podaj równanie czwartego stopnia ,

wg którego obliczymy kąt nachylenia jego
czterech boków wzlędem podstawy :
uwzgledniając fakt , że objętość tego ostrosłupa jest sumą czterech objętości
( Vb) - o wysokości 1 (cm ) , prostopadłych do czterech powierzchni ( jego równych boków)
i jedej objetości (Vp ) - o wysokości 1 ( cm ) prostopadłej do powierzchni podstawy tego ostrosłupa .

Pozdrawiam .
T.W.

[dzialka11o]

Witam .
Zadanie warunkowe z ostrosłupem o podstawie kwadratowej
przeniosłem do nowego tematu "Objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej "
bo to jednak dwa rózne zadania warunkowe , " choć o podobnych wątkach "

Dotyczy stożka ;
JHN pisze ;
Po uporządkowaniu można je przekształcić do postaci itd . ....
Jak wygląda to równanie przed uporządkowaniem ?
Pozdrawiam
T.W.

[JHN]

Przeczytaj, proszę, mój post jeszcze raz.

Pozdrawiam

[dzialka11o]

JHN
Witam . JHN
Przeliczyłem ponownie
( wyróznik : delta tego równania kwadratowego jest dodatnia)
Jest dobrze .
Pozdrawiam .
T.W.