Dziedzina równania niewymiernego

[41421356]

Dziedziną równania \(\displaystyle{ \sqrt{x-\sqrt{x+2}}=2}\) jest przedział:

a) \(\displaystyle{ \left(2,+\infty\right)}\)
b) \(\displaystyle{ \left[2,+\infty\right)}\)
c) \(\displaystyle{ \left[4,+\infty\right)}\)

?

[kerajs]

Jeśli lewa strona dla \(\displaystyle{ x=2}\) nie jest ujemna to odpowiedzią będzie b).
Jeśli będzie ujemna, to jej nieujemność dla \(\displaystyle{ x=3}\) wskaże odpowiedź a), a w przeciwnym wypadku będzie to c).

Oczywiście można tę dziedzinę wyliczyć z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x- \sqrt{x+2} \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} }\)
co da odpowiedź b).

[41421356]

Przy założeniu odpowiedzi b) otrzymujesz dwa rozwiązania, co oczywiście prawdą nie jest.

[Jan Kraszewski]

Nie sądzę, żeby kerajs otrzymywał dwa rozwiązania, a jak Ty otrzymujesz dwa rozwiązania, to znaczy, że popełniłeś błąd, bo powinieneś otrzymać tylko jedno.

[41421356]

Rozwiązując równanie otrzymujemy \(\displaystyle{ x=2}\) oraz \(\displaystyle{ x=7}\).

[Jan Kraszewski]

No to źle je rozwiązujesz...

Wskazówka: obustronne podnoszenie równości do kwadratu nie jest przejściem równoważnym i może generować "fałszywe" pierwiastki.

JK

[41421356]

Ok, to dlaczego rozwiązując tym sposobem (uznając po drodze założenie, że \(\displaystyle{ x≥4}\)) nie uznamy, że dziedziną będzie podpunkt c) jednak?

[Jan Kraszewski]

Bo dziedziną równania nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których to równanie ma sens liczbowy. Rozwiązania (bądź ich brak) nie mają tu nic do rzeczy.

JK

[41421356]

Ok, idąc tą definicją dziedziny sens liczbowy dla równania:

\(\displaystyle{ x-\sqrt{x+2}=4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x+2}=x-4}\)

To przedział \(\displaystyle{ \left[ -2,+\infty\right)}\)

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[41421356]

Ok, podnoszę teraz obustronnie do kwadratu (specjalnie pomijam założenie, że \(\displaystyle{ x≥4}\)) i otrzymuje dwa rozwiązania.

[Jan Kraszewski]

Wskazówka: obustronne podnoszenie równości do kwadratu nie jest przejściem równoważnym i może generować "fałszywe" pierwiastki.

[41421356]

Rozumiem, nikt mi karze wybierać akurat takiego sposobu rozwiązania. Moje wątpliwości budzi to, że jeśli już raz została wyznaczona dziedzina, to po co kolejne założenia podczas rozwiązania? Zaczynam już chyba powoli łapać, ale do końca nie czuje się przekonany.

[Jan Kraszewski]

Dziedzina to punkt wyjścia (do którego wracasz na samym końcu, sprawdzając, czy otrzymane rozwiązania do niej należą). Rozwiązanie równania to zupełnie inna, niezależna bajka - jeżeli wymaga czegoś dodatkowo, to trzeba to zrobić. Akurat w tym wypadku trzeba albo rozważyć przypadki, albo skorzystać z analizy starożytnych.

[kerajs]

Nie sądzę, żeby kerajs otrzymywał dwa rozwiązania(...)

Istotnie, nie miałem dwóch rozwiązań.

\(\displaystyle{ x-\sqrt{x+2}=4\\
(x+2)-\sqrt{x+2}-6=0\\
(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+2)=0\\
\sqrt{x+2}=3\\
x=7
}\)

PS
Przy równaniu można pominąć dziedzinę, rozwiązać je i sprawdzić czy wszystkie rozwiązania spełniają pierwotne równanie.