Dane są zbiory

[max123321]

Dane są zbiory \(\displaystyle{ A = \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} , B = \left\{ 1, 4, 9, 16\right\} }\). Zaznacz zdania prawdziwe:
a) Każda relacja liniowego porządku zdefiniowana na A jest dobrym porządkiem
b) Funkcja \(\displaystyle{ f : A → B; f(x) = x^2}\) jest suriekcją
c) Istnieje dokładnie jedna bijekcja \(\displaystyle{ A → B}\)
d) Każda iniekcja \(\displaystyle{ f : A → B}\) jest suriekcją

Proszę o sprawdzenie:
a) Prawda. Zbiór jest skończony, zatem porządek liniowy ma zawsze element najmniejszy.
b) Prawda. Dla każdego \(\displaystyle{ b \in B}\) istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), że \(\displaystyle{ b=a^2}\).
c) Fałsz. Istnieją co najmniej dwie bijekcje na przykład takie: \(\displaystyle{ \left\{ (1,1),(2,4),(3,9),(4,16)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ (1,16),(2,9),(3,4),(4,1)\right\} }\).
d) Prawda. Zbiory są równoliczne, zatem każda iniekcją z jednego zbioru w drugi jest suriekcją.

[Jan Kraszewski]

Dane są zbiory \(\displaystyle{ A = \left\{ 1, 2, 3, 4\right\} , B = \left\{ 1, 4, 9, 16\right\} }\). Zaznacz zdania prawdziwe:
a) Każda relacja liniowego porządku zdefiniowana na A jest dobrym porządkiem
b) Funkcja \(\displaystyle{ f : A → B; f(x) = x^2}\) jest suriekcją
c) Istnieje dokładnie jedna bijekcja \(\displaystyle{ A → B}\)
d) Każda iniekcja \(\displaystyle{ f : A → B}\) jest suriekcją

Proszę o sprawdzenie:
a) Prawda. Zbiór jest skończony, zatem porządek liniowy ma zawsze element najmniejszy.

Zgadza się, ale czerwony fragment nie jest argumentem - nie każdy porządek liniowy z najmniejszym elementem jest dobry.

b) Prawda. Dla każdego \(\displaystyle{ b \in B}\) istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), że \(\displaystyle{ b=a^2}\).
c) Fałsz. Istnieją co najmniej dwie bijekcje na przykład takie: \(\displaystyle{ \left\{ (1,1),(2,4),(3,9),(4,16)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ (1,16),(2,9),(3,4),(4,1)\right\} }\).

OK.

d) Prawda. Zbiory są równoliczne, zatem każda iniekcją z jednego zbioru w drugi jest suriekcją.

Prawda, ale argument znów nie działa, bo są zbiory równoliczne takie, że injekcje pomiędzy nimi nie są surjekcjami. Nie wystarczy równoliczność, ważna jest skończoność.

JK

[max123321]

Ok, ale w tym a) to czy to nie zależy od definicji? Bo w goglach znalazłem informację, że każdy porządek liniowy z najmniejszym elementem jest dobry.

W tym d) racja. Jak tak teraz myślę, to chyba przykładem może być zbiór liczb naturalnych i całkowitych i iniekcja \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ: f(n)=n}\). Iniekcja, ale nie suriekcja.

[Jan Kraszewski]

Ok, ale w tym a) to czy to nie zależy od definicji? Bo w goglach znalazłem informację, że każdy porządek liniowy z najmniejszym elementem jest dobry.

To bzdura, zbiór \(\displaystyle{ \{0\}\cup(1,2)}\) ze zwykłym porządkiem jest liniowy i ma najmniejszy element, ale nie jest dobry.

Prawdopodobnie nie doczytałeś: liniowy porządek, w którym każdy niepusty podzbiór ma element najmniejszy jest (z definicji) dobry.

W tym d) racja. Jak tak teraz myślę, to chyba przykładem może być zbiór liczb naturalnych i całkowitych i iniekcja \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ: f(n)=n}\). Iniekcja, ale nie suriekcja.

Na przykład. Ale dla skończonych to prawda.

JK