Ciąg rekurencyjny

[41421356]

Ciąg \(\displaystyle{ \left(a_n\right)}\) określony jest za pomocą wzoru rekurencyjnego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=7\\a_2=13\\a_{n+2}=a_{n+1}-a_n \ \ , \ \ n≥1\end{cases}}\)

Niech \(\displaystyle{ S_n}\) oznacza sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left(a_n\right)}\).

Wykaż, że wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \left(a_n\right)}\) przyjmują dokładnie sześć różnych wartości oraz oblicz sumę \(\displaystyle{ S_{2025}}\).

Jakieś pomysły jak to zacząć?

[a4karo]

Od wyliczenia pierwszych ośmiu wyrazów

[41421356]

Ok, to zrobiłem.

[a4karo]

Wyszło Ci, że wyrazy się powtarzają? Jeżeli tak, to do dokończenia zadania wystarczy wiedza z podstawówki

[41421356]

Tak, powtarzają się. Tylko jak to teraz zapisać formalnie i poprawnie matematycznie. Esej słowny nie interesuje mnie.

[a4karo]

Matematyka to nie znaczki. Matematyka to zdania wypowiadane w naturalnym języku, a język matematyczny tylko ułatwia ich przekaz. Spróbuj napisać to co zauważasz w jakikolwiek sposób, to będziemy mieli podstawę do dalszych działań

[Gouranga]

Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ a_1 = a_7 = a_{13} \ldots}\) to możesz napisać \(\displaystyle{ a_n = a_{n+6}}\)

[41421356]

No właśnie nie mogę tak napisać, ten fakt trzeba uzasadnić. W zadaniach z indukcją też będziesz pokazywał, że wzór zachodzi dla konkretnych kilu wartości, więc jest prawdziwy zawsze dla każdego \(\displaystyle{ n}\)? Tutaj trzeba dojść od szczegółu do ogółu, a nie na odwrót jak Ty proponujesz.

[mol_ksiazkowy]

Formalnie to można zakładając

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n =a_{n+6} \\ a_{n+1}= a_{n+7} \end{cases}}\)

wyliczyć \(\displaystyle{ a_{n+2}}\)...

[arek1357]

A nie lepiej poszukać wzoru jawnego

[mol_ksiazkowy]

Być może i lepiej... np. jeśli \(\displaystyle{ n=3k}\) to \(\displaystyle{ a_n = 6 \cdot (-1)^{ \lfloor \frac{n-1}{3} \rfloor }}\) itp.

[arek1357]

Ala tak dla wszystkich proszę a nie tylko podciąg wybrany...

[mol_ksiazkowy]

Można też zapisywać kolejnre wyrazy takich ciągów w macierzy:

\(\displaystyle{ a, b, b-a, -a, -b, a-b \\
a, b, ...... \\
......}\)


Uogólnienie : Kiedy (dla jakich \(\displaystyle{ A, B}\)) i \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) ciąg \(\displaystyle{ a_{n+2}=Aa_{n+1}+ Ba_n}\) jest okresowy

Dodano po 10 godzinach 47 minutach 26 sekundach:
>

[Jan Kraszewski]

No właśnie nie mogę tak napisać, ten fakt trzeba uzasadnić.

No ale co za problem? Masz

\(\displaystyle{ a_{n+6}=a_{n+5}-a_{n+4}=(a_{n+4}-a_{n+3})-a_{n+4}=-a_{n+3}=-(a_{n+2}-a_{n+1})=-a_{n+2}\,\red{+}\,a_{n+1}=-(a_{n+1}-a_n)\,\red{+}\,a_{n+1}=a_n.}\)

JK

edit: poprawiłem dwa omyłkowe minusy na poprawne plusy.

[41421356]

No ale co za problem? Masz

\(\displaystyle{ a_{n+6}=a_{n+5}-a_{n+4}=(a_{n+4}-a_{n+3})-a_{n+4}=-a_{n+3}=-(a_{n+2}-a_{n+1})=-a_{n+2}-a_{n+1}=-(a_{n+1}-a_n)-a_{n+1}=a_n.}\)

Dziękuję. Właśnie o to mi chodziło!