Wymiar przestrzeni topologicznej - definicja

[krasnoludek10]

Która definicja wymiaru topologicznego jest bardziej poprawna i intuicyjna? Bo np. Definicja genusa jest mega prosta i jest to po prostu liczba "otworów"/"dziur" powierzchni (sfera ma 0, torus 1 itd). I ponadto z tego, co mi wiadomo, to jest on niezmiennikiem przekształceń ciągłych, bo koło i okrąg mają oba genus 1. A przynajmniej kształt jest niezmiennikiem a jako, że genus jest z nim powiązany, to też - ja to tak rozumiem.

Źródło papierowe: Ryszard Engelking "Topologia ogólna".

[Jakub Gurak]

Która definicja wymiaru topologicznego jest bardziej poprawna

Wszystkie trzy są poprawne (i są równie poprawne), ale dla danej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) można rozważać jej mały wymiar indukcyjny \(\displaystyle{ ind\left( X\right) }\), można też rozważać jej duży wymiar indukcyjny \(\displaystyle{ Ind \left( X\right) }\), jak i można rozważać jej wymiar pokryciowy \(\displaystyle{ dim\left( X\right); }\) a w przypadku przestrzeni metrycznych ośrodkowych te wymiary pokrywają się, tzn. jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to \(\displaystyle{ dim\left( X\right)=ind\left( X\right)=Ind\left( X\right).}\)
A najprostsza (moim zdaniem) jest ta definicja wymiaru związana z rozdzielaniem przestrzeni (to jest chyba wymiar \(\displaystyle{ ind}\)):
Płaszczyzna ma wymiar równy dwa, gdyż: żaden zbiór skończony (zbiór zero-wymiarowy), ani zbiór liczb wymiernych (zbiór zero-wymiarowy) jej nie rozdzieli, ale (na mocy twierdzenia Jordana) krzywa zamknięta (jednowymiarowa, a więc jej wymiar jest równy \(\displaystyle{ 1=2-1}\)) dzieli ją na dwie części będąc ich wspólnym brzegiem. Prosta (i odcinek) ma wymiar równy \(\displaystyle{ 1}\), bo punkt (formalnie: zbiór jednopunktowy złożony z tego punktu, który jest zero-wymiarowy, a więc ma wymiar \(\displaystyle{ 0=1-1}\)), dzieli ją na dwie półproste. Okrąg ma wymiar równy \(\displaystyle{ 1}\), bo dwa punkty (formalnie: zbiór dwuelementowy złożony z takich dwóch punktów) dzieli go na dwa łuki (np. możemy wziąć przeciwległe punkty okręgu i otrzymać podział okręgu na dwa półokręgi), a zbiór dwuelementowy (a nawet dowolny niepusty zbiór skończony) ma wymiar równy \(\displaystyle{ 0}\), czyli ma wymiar \(\displaystyle{ 0=1-1}\). Podobną własność ma dowolna elipsa. Sfera ma wymiar równy \(\displaystyle{ 2,}\) bo jej okrąg wielki (mający wymiar \(\displaystyle{ 1=2-1}\)) dzieli ją na dwie połowy (a żaden zbiór skończony, ani zbiór liczb wymiernych jej nie rozdzieli). Przestrzeń trójwymiarowa \(\displaystyle{ \RR^3}\) ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\), bo do rozdzielenia jej dwóch punktów potrzebna jest powierzchnia (żadna krzywa jednowymiarowa jej nie rozdzieli) mająca wymiar równy \(\displaystyle{ 2=3-1}\); no i torus ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\), bo żadna krzywa jednowymiarowa leżąca na nim go nie rozdzieli na dwie części, potrzebna jest tutaj dwuwymiarowa płaszczyzna tnąca (jeśli oś obrotu torusa jest osią \(\displaystyle{ Z}\), i leży on 'dookoła' płaszczyzny \(\displaystyle{ XY}\), to można przykładowo przeciąć ten torus płaszczyzną prostopadłą do osi \(\displaystyle{ Z}\) dzieląca go na dwie połowy), a więc torus ma wymiar \(\displaystyle{ 3=2+1}\).

[krasnoludek10]

Czekaj, bo teraz to mam mindfucka z tymi przykładami Ale jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia - wszystkie te definicje wymiaru są niezmiennikami przekształceń ciągłych (ścisłe powiązanie z homeomorfizmami), czy tylko pokryciowy???

[Jakub Gurak]

Tak, jeśli przestrzenie metryczne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są homeomorficzne, to:
1): \(\displaystyle{ ind\left( X\right)=ind\left( Y\right);}\)
2): \(\displaystyle{ Ind\left( X\right)=Ind\left( Y\right);}\) i:
3): \(\displaystyle{ dim\left( X\right)=dim\left( Y\right).}\)
(Patrz książkę: Teoria wymiaru, Ryszard Engelking, str. 9,47 i 49).

[krasnoludek10]

Okej, ale ja się pytam o topologiczne a one niekoniecznie muszą być metryczne. Aczkolwiek oczywiście sprawdzę co na ten temat sądzi podana książka.

Dodano po 3 godzinach 8 minutach 35 sekundach:
Przepraszam za cytowanie całego postu, ale jak chciałem poprawić, to serwer padł.

[Jakub Gurak]

W tej książce definiują taki wymiar dla dowolnej przestrzeni normalnej; albo, w innym przypadku, definiują wymiar dla dowolnej przestrzeni regularnej. Natomiast we wprowadzeniu do tematu teorii wymiaru piszą, że takie przestrzenie można zastąpić (jak ktoś woli) przez dowolne przestrzenie metryczne. Natomiast nie wiem czy można uogólnić te wymiary na całego określając je dla dowolnej przestrzeni topologicznej- bo nawet w tej wybujałej książce rozważali słabsze przypadki...

[krasnoludek10]

A której definicji \(\displaystyle{ dim}\) lepiej używać - tej z Engelkinga, czy tej z UJ?

[Jakub Gurak]

no i torus ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\)

Tu jest pomyłka- zobacz tutaj: sprostowanie.