Równanie Poissona

[pasjonat_matematyki]

Cześć

W podręczniku równanie Poissona jest zapisane jako: \(\displaystyle{ \nabla^{2} U(P)=4\pi\rho(P)}\), gdzie \(\displaystyle{ U(P)}\) to potencjał, a \(\displaystyle{ \rho(P)}\) gęstość ładunku przestrzennego. Tymczasem z obliczeń dla kuli naładowanej jednorodnie wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi\rho}\) wewnątrz kuli.

[janusz47]

W czym mamy pomóc ?
Z jakiego korzystasz podręcznika ?

Zakładając stałą gęstość objętościową kuli:

\(\displaystyle{ \rho(r) = \begin{cases} \rho \ \ dla \ \ r\leq R,\\ 0 \ \ dla \ \ r>R. \end{cases} }\)

i wychodząc z równania Poissona \(\displaystyle{ \Delta^2 = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}, }\) można udowodnić, że potencjał jednorodnej kuli wynosi:

\(\displaystyle{ V(r) = \begin{cases} -\frac{\rho}{6\cdot \varepsilon_{0}} + C, \ \ C = \frac{\rho^2}{2\cdot \varepsilon_{0}} \ \ dla \ \ r \leq R, \\ \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_{0}\cdot r} \ \ dla \ \ \ r> R. \end{cases} }\)

Dodano po 10 godzinach 29 minutach 56 sekundach:
Korekta

Wiersz piąty od góry: jest \(\displaystyle{ \Delta^2,}\) powinno być \(\displaystyle{ \Delta^2V.}\)

[pasjonat_matematyki]

Nie rozumiem skąd taka, a nie inna postać równania Poissona w moim poście. Chodzi o książkę "Zarys matematyki wyższej", tom 3, autor: R. Leitner.

[a4karo]

Janusz, a Ty z jakiego podręcznika wziąłeś ten wzorek? Bo w nim nic się nie zgadza. Ani jednostki w pierwszej części wzoru (no chyba że gęstość jest bezwymiarowa) , ani wartość potencjału (ujemny gdy `\rho<1/3`, dodatni w przeciwnym przypadku). I na dodatek nieciągłość potencjału na powierzchni kuli (potencjał na zewnątrz zależy od `R`, a wewnątrz nie. Tak "nie bywajet"

[janusz47]

"Bywajet"

Postać równania Poissona wziąłem z podręcznika:

Konstantin Likharev. Essential Graduate Physics - Classical Electrodynamics. Ed. DUNLAP-STONE UNIVERSITY 2014.

[a4karo]

Ale ja o to rozwiązanie bez sensu pytałem (jak zwykle nie odnosisz się do istoty rzeczy)

[janusz47]

W celu wyznaczenia potencjału jednorodnej kuli scałkujemy równania Poissona.

Wewnątrz kuli o promieniu \(\displaystyle{ r_{0} }\) równanie Poissona ma postać:

\(\displaystyle{ \nabla^2V = - \frac{\rho_{V}}{\varepsilon_{0}}. }\)

Na zewnątrz kuli równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace'a.

\(\displaystyle{ \nabla^2V = 0.}\)

Wyrażając operator Laplace'a \(\displaystyle{ \nabla^2 }\) we współrzędnych sferycznych i uwzględniając symetrię kulistą potencjału to znaczy \(\displaystyle{ \frac{ \partial V}{\partial \theta} = 0 }\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial V}{\partial \psi} = 0 }\) otrzymujemy dwa równania różniczkowe :

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{r^2}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) \right] = \frac{1}{r^2}\left[ \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dV}{dr}\right) \right ] = - \frac{\rho_{V}}{\varepsilon_{0}} \\ \frac{1}{r^2}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) \right] = \frac{1}{r^2}\left[ \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dV}{dr}\right ) \right ] = 0 \end{cases} }\)

Mnożąc obie strony układu równań przez \(\displaystyle{ r^2 }\) i całkując względem \(\displaystyle{ r }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^2 \frac{d\phi}{dr} = -\frac{r^3 \rho_{V}}{3\varepsilon_{0}} - C{1} \\ r^2 \frac{d\phi}{dr} = -C_{2} \end{cases} }\)

Dzieląc równania ostatniego układu przez \(\displaystyle{ r^2 }\) i ponownie całkując po \(\displaystyle{ r }\) otrzymuje się

\(\displaystyle{ \begin{cases} V(r) = - \frac{\rho_{V} r^2}{6\varepsilon_{0}} + \frac{C_{1}}{r} + C_{3} \ \ \text{dla} \ \ r< r_{0} \ \ (1) \\ V(r) = \frac{C_{2}}{r} + C_{4} \ \ \text{dla} \ \ r > r_{0} \ \ (2) \end{cases} }\)

W celu wyznaczenia stałych całkowania wykorzystamy następujące warunki graniczne:

\(\displaystyle{ 1^{o}}\) Dla \(\displaystyle{ r\rightarrow 0 }\) potencjał nie może dążyć do nieskończoności. Wynika stąd, że \(\displaystyle{ C_{1} = 0.}\)

\(\displaystyle{ 2^{o} }\) Dla \(\displaystyle{ r \rightarrow \infty }\) potencjał powinien zmierzać do \(\displaystyle{ 0; }\) stąd \(\displaystyle{ C_{4}=0.}\)

Na powierzchni kulistej o promieniu \(\displaystyle{ r_{0} }\), ograniczającej chmurę ładunku potencjał powinien być funkcją ciągłą, wynika stąd, że

\(\displaystyle{ V(r_{0}) = - \frac{\rho_{V}}{3\cdot \varepsilon_{0}} r^2_{0} + C_{3} = \frac{C_{2}}{r_{0}} \ \ (3)}\)

Natężenie pola elektrostatycznego na granicy między chmurą ładunku a przestrzenią nienaładowaną powinno też być funkcją ciągłą.

Wynika stąd, że

\(\displaystyle{ E(r_{0}) = -\nabla V(r_{0}) = - \frac{rh0_{V}}{3\cdot \varepsilon_{0}} = -\frac{C_{2}}{r_{0}} \ \ (4) }\)

Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (3), (4) }\) względem stałych oraz podstawiając te wartości do równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ V(r) = \begin{cases} \frac{\rho_{V}}{6\cdot \varepsilon_{0}} (3r^2_{0} - r^2) \ \ \text{dla} \ \ r\leq r_{0} \\ \frac{\rho_{V}}{3\cdot \varepsilon_{0}} \cdot \frac{r^3_{0}}{r} \ \ \text{dla} \ \ r> r_{0} \end{cases} }\)

Ptencjał jednorodnej kuli możemy też wyznaczyć metodą wykorzystującą Prawo Gaussa lub metodą wykorzystującą zasadę superpozycji potencjału.

[a4karo]

Janusz, a Ty z jakiego podręcznika wziąłeś ten wzorek? Bo w nim nic się nie zgadza. Ani jednostki w pierwszej części wzoru (no chyba że gęstość jest bezwymiarowa) , ani wartość potencjału (ujemny gdy `\rho<1/3`, dodatni w przeciwnym przypadku). I na dodatek nieciągłość potencjału na powierzchni kuli (potencjał na zewnątrz zależy od `R`, a wewnątrz nie). Tak "nie bywajet"

"Bywajet"

Na powierzchni kulistej o promieniu \(\displaystyle{ r_{0} }\), ograniczającej chmurę ładunku potencjał powinien być funkcją ciągłą, wynika stąd, że

\(\displaystyle{ V(r_{0}) = - \frac{\rho_{V}}{3\cdot \varepsilon_{0}} r^2_{0} + C_{3} = \frac{C_{2}}{r_{0}} \ \ (3)}\)

Albo mamy na forum dwóch uczestników o nicku janusz47, albo jednego z napadami schizofrenii. Ponieważ to pierwsze "nie bywajet"...