Przyczynek do problemu liczb bliźniaczych

[c-rasz]

Zacznę od tematu pobocznego:
1. Liczby pierwsze występują w dwutakcie, przedzielone liczbami złożonymi, i są wtedy w odległości 2; 4; 2; 4; 2; 4...
Oczywiście "na swoim miejscu" mogą się bądź pojawić, bądź... nie pojawić. Kapryśne takie...

2. Liczby bliźniacze są w odległości 2. Zaś między nimi jest ZAWSZE liczba podzielna przez 6
3. [ Dygresja on ] W ogóle szóstka jest w zagadnieniach związanych z L. pierwszymi bardzo istotna. Uważam, że najwygodniej byłoby więc badać je zapisując nie w systemie dziesiętnym, dwójkowym, czy heksadecymalnym, lecz w szóstkowym właśnie. Wtedy liczba MOGŁABY być pierwszą wyłącznie wtedy, gdyby kończyła się cyfrą 1, albo 5. W pozostałych wypadkach mielibyśmy pewność całkowitą, że dana liczba jest złożona. Nie dotyczy to jedynie dwóch najmniejszych L. pierwszych... [ Dygresja off ]
4. Co do wagi zagadnienia to kwestia l. bliźniaczych jest, jak sądzę, zagadką izolowaną. Tzn. nie płyną z niej jakieś wnioski natury ogólniejszej. To, że jest znana — bynajmniej tego nie zmienia, legenda jest kwestią do niej nawyknienia.
5. Wagi identycznej jest więc i zagadnienie podobne, to znaczy pytanie o czworaczych liczb występowanie. Czyli odległych o 4
6. Zaś zupełNIEmniejszej jest kwestia występowania liczb odległych o dowolną, parzystą liczbę. Bo tylko 2 i 3 są oddalone o nieparzystą...
7. Może być więc badana kwestia nieskończonego występowania liczb szóstaczych, ósmaczych, i tuziniaczych, a nawet odległych o 1024, czy bilion. To zagadnienia co do natury identyczne!

Ciąg dalszy w następnych wpisach...

Dodano po 26 minutach 19 sekundach:
— czyli o niewielkim powiązaniu z topickiem:
Każdy laik w zasadzie wie, że liczby pierwsze są nieparzyste. Ale czy... wszystkie?

Zróbcie test, ha, ha — spytajcie la-i-ka!
Najlepiej zastawiając pułapkę podwójną i formułując pytanie w sposób podchwytliwy:
— "Czy są parzyste liczby pierwsze"?

Bo odpowiedź brzmi słona, że tylko użycie liczby (gramatycznej!) mnogiej jest nie-uzasadniona. Wszak parzysta liczba pierwsza istnieje, ale dokładnie jedna, czyli liczba parzystość określająca, badająca ją, liczba dwa.

Ale zmierzam dalej, zmierzam do pewnego uogólnienia:
Parzystość nie jest jedyną możliwą cechą liczb, w pewnym tego kontekście. Oczywiście ma szerokie zastosowanie, to fakt. Preferuje ją sama natura, większość symetrii opiera się na niej.
Lecz można też sensownie mówić o troistości! Liczby nietroiste przez 3 się nie-dzielą, nawet w po-niedziałek...

No i oczywiście jest dokładnie jedna troista liczba pierwsza. Podobnie jak piątnista, i siódmista...

Dodano po 1 minucie 53 sekundach:
Hej, admin, co jest, czemu moje dwa OSOBNE wpisy — zostały sklejone w jeden???

[Jan Kraszewski]

Hej, admin, co jest, czemu moje dwa OSOBNE wpisy — zostały sklejone w jeden???

Bo tak działa forum. A poziom Twoich kolejnych wpisów coraz bardziej skłania mnie do przeniesienia tego tematu do Hyde Parku.

JK

[c-rasz]

Realy? A czy potrafisz obronić swe przekonanie (nie wyrażone in expressis verbis, ale wynikające z kontekstu), że choć parzystość jest czymś istotnym, to troistość zasługuje jedynie na podśmiechujki?

[Jan Kraszewski]

Moje przekonanie (wyrażone expressis verbis) jest takie, że cały ten wątek nie zasługuje na dział Teoria liczb.

JK

[c-rasz]

Cóż, może gawędziarsko przegiąłem, ale, jak napisałem, zacząłem od dygresji, tytułowy Przyczynek wyłuszczę, jak ogarnę sprawy domowo-życiowe, teraz nie mogłem się tym zająć, brak możliwości skupienia się w dostatecznym stopniu, piszę z doskoku, wybaczcie.

Nie samą matematyką człowiek żyje!

[Jan Kraszewski]

Proponuję zatem, byś najpierw przygotował się do pisania, a dopiero potem pisał.

JK

[c-rasz]

Szukanie L. bliźniaczych, od strony technicznej MOŻE być realizowane tak:
1. Badamy prymarność kolejnych liczb. Dodam, że nie całkiem "kolejnych" lecz ze skokiem konika szachowego, czyli 2; 4; 2; 4; 2; 4...
2. Gdy znajdujemy pierwszą L. pierwszą, (masło maślane, hłe, hłe...), to o ile ostatni, poprzedzający skok był o 4, to po niej jest liczba podzielna przez 6, a następna MOŻE być L. pierwszą, więc mielibyśmy parę bliźniaczą.
3. Gdy ową kandydatkę zbadamy, to może się okazać, że jest złożona. Do badania liczb o tysiącach, czy setkach tysięcy cyfr, nie stosuje się oczywiście faktoryzacji, lecz szereg metod dających wprawdzie wykluczenie, ale nie wskazujących (o ile wiem, ale pewnie się mylę) dzielników, a już na pewno nie wszystkie.
4. Lecz nam wystarczy jeden. Dla względów opisowych nadamy takiemu dzielnikowi nazwę killer, bo zabija tej znalezionej wcześniej L. pierwszej — jej brata-bliźniaka.
5. Załóżmy, że ilość L. bliźniaczych jest skończona, na poziomie X. A to oznacza, że dla każdej większej od X znalezionej L. pierwszej, jej sąsiad, potencjalny brat-bliźniak, będzie miał swojego killera, więc nie będzie L. pierwszą.
6. L. bliźniacze są przedzielone liczbą podzielną przez 6.
7. Jeśli powyżej X zawsze pojawi się jakiś killer, to jest pytanie, czy ilość killerów jest skończona. Przypomnę, że wg naszej definicji każdy killer jest L. pierwszą, choć oczywiście nie oznacza to, że "zamordowany" braciszek ma tylko jeden podzielnik.
8. Jeśli by taka było, to tworząc iloczyn wszystkich znanych killerów, i odejmując jedynkę, otrzymamy liczbę (niekoniecznie pierwszą!), niepodzielną przez żadnego killera dotąd znalezionego.
9. Tak samo jedynkę dodając. W efekcie tych dwóch operacji obie otrzymane liczby z pary, byłaby "nieśmiertelne" (żart)
10. Stąd wniosek, że zbiór killerów musi być nieskończony!

Ujmując to językiem potocznym:
Trzeba nieskończenie wielu powodów (killerów) by zbiór liczb bliźniaczych okazał się skończony.

Czy jest to dowód, że nie jest? Nie! Dowód jest szczelny, silny, ale twierdzenie (cóż, nie sformułowałem go, brak... wprawy, pomóżcie!) samo twierdzenie jest słabe. Tzn. nierozstrzygające...

[Hir]

1'. Skok konika szachowego, jak to nazywasz, bierze się z prostej obserwacji, że wszystkie liczby pierwsze (począwszy od 5) przystają modulo 6 do 1 lub 5.

2. i 6. wynika z 1'.

3'. To prawda, pytanie "liczba ... jest pierwsza czy złożona?" jest prostszy od "jaki jest najmniejszy pierwszy dzielnik ...?"

[c-rasz]

1'. Skok konika szachowego, jak to nazywasz, bierze się z prostej obserwacji, że wszystkie liczby pierwsze (począwszy od 5) przystają modulo 6 do 1 lub 5.

To jest DOKŁADNIE to samo, ino wyrażone innymi słowy.
Gdy używasz określenia "obserwacja", to taka jest implikacja, że wynika to z jakiegoś zestawienia czynności o charakterze śledczym. Gdy tymczasem ja śledztwa w tym celu nie podejmowałem, ino konstrukcyjnie to zbadałem.
Otóż jasnym jest, że... Wrrróć!
11. Zacznijmy od Eratostenesa. Zasada jego sita opiera się na podstawowych cechach liczb pierwszych: jasnym jest, że większe z nich, są pierwszymi tylko wtedy, gdy nie dzielą się przez mniejsze (zależności odwrotnej, w zbiorze liczb naturalnych, i rozwiązań diofantycznych, udowadniać raczej nie trzeba, hłe, hłe...)
12. Skoro tak, to te większe od dwójki przystają do niej... no, modulo 2 zawsze jest 1
13. Zaś gdy bierzemy kolejną, drugą z liczb pierwszych, trójkę, to widzimy, że każda wyższa L. pierwsza modulo 3 daje 1, lub 2, nigdy 0
14. Szóstka to liczba podstawowa w badaniach L. pierwszych, bo jest iloczynem tych dwóch najmłodszych, a wyżej, dla liczby 5 dajmy na to, opisany tu mechanizm już nie zadziała tak łatwo, acz wyjaśnienie zajęłoby z pięć akapitów, pominę. W każdym razie iloczyn 2*3 określa metodę najwydajniejszego eliminowania liczb złożonych, w przeciwieństwie do (na przykład) iloczynu 2*5, 3*5, 2*7, czy 3*7...

2. i 6. wynika z 1'.

i odwrotnie: 1. wynika z 6. etc.

3'. To prawda, pytanie "liczba ... jest pierwsza czy złożona?" jest prostszy od "jaki jest najmniejszy pierwszy dzielnik ...?"

Hm, do czego zmierzasz, bo nie łapię...
____
W swym wpisie dokonałem kilku skrótów myślowych, mogą wprowadzać w błąd. Najistotniejszym jest chyba ten, że z punktu o numerze (nomen-omen) 6. czyli faktu, iż L. bliźniacze są ZAWSZE przedzielone liczbą podzielną przez 6 wynika dalsza działań metodyka. Wskazany w pkt. 8. iloczyn killerów zawierać musi dwójkę, i trójkę, bo inaczej dalsza argumentacja traci podstawy. Ale to chyba zrozumiałe, że zawiera. Czyli że ten iloczyn jest podzielny przez 6, a w związku z tym operacja opisana w punktach 8. i 9. jest zasadna, bo prowadzi do dwóch liczb potencjalnie pierwszych, i potencjalnie bliźniaczych.

A czemu "potencjalnie"? No bo albo jedna z nich, albo nawet obie, mogą mieć swoje dzielniki, każdy w postaci liczby pierwszej, która w naszym zbiorze killerów (nie jakimś ogólnikowym, lecz konkretnym. Czyli zbudowanym w oparciu o zbiór zamknięty L. pierwszych "mniejszych niż..." ) która się tam nie załapała, bo była najczęściej za duża. No i się w nim nie znalazła

Uzupełniam, bo ktoś mógłby mi ten brak wytknąć. Dla pewności powtórzę
15. iloczyn wszystkich killerów z naszego KONKRETNEGO zbioru — dzieli się przez 6, więc jest dobrym, potencjalnym sąsiadem dla dwóch liczb bliźniaczych: mniejszej od niego o jeden, i o tyleż większej. Ponieważ ten iloczyn odgrywa ważną rolę, i będzie zapewne jeszcze przywoływany, to dla skrócenia takich przywołań, wprowadzam dla niego nazwę szóstaczek. Po co się męczyć marnując słowa...
⁣
⁣Dodano po 1 dniu 23 godzinach 54 minutach 28 sekundach:
⁣ ⁣
Re: Przyczynek do problemu liczb bliźniaczych

Prawie całą niedzielę układałem puzzle w Excelu, dodając formuły, proste, a jakże.
Ale że wściekłość mną miotała, to myliłem się co i rusz. Szukanie błędów łatwe nie jest
bo arkusz ma 81 stron, a na każdej 256 kolumn, i 17 wierszy.
Stanowi zestawienie 20 480 ponumerowanych liczb pierwszych
oraz sukcesywnie sumowane ich odwrotności

Dodałem właśnie formuły wskazujące pary liczb bliźniaczych, i numerujące je.
Lokalna gęstość szybko maleje, ale z dużymi oscylacjami, bo po długich odcinkach niemal pustych, pojawia się spore zagęszczenie.
Poniżej numeru porządkowego każdej takiej pary, jest faktor, określający ile razy więcej jest (do tego miejsca) wszystkich L. pierwszych.

Na 20 480 L. pierwszych jest 2 424 par L. bliźniaczych
zaś faktor, wskazujący proporcję do wszystkich L. pierwszych pokazuje, że w tym przedziale mamy ich 8,45 razy więcej.
Zmierzałem do zrobienia wskaźnika uśrednionej gęstości lokalnej, ale późno już, odłożę to. Miał on by pokazywać sukcesywny spadek uśrednionej gęstości L. bliźniaczych, ale oscylacje są tak duże, że czytelność jego wskazań w excelowej implementacji widzę pod znakiem zapytania.

Cały arkusz jest dostępny tu:
c-rasz.gpe.pl/pub03/Primes20k.xls
— jeśli znajdziecie w nim błędy, to dajcie znać, mogłem przeoczyć ich całą masę, nie szło mi za dobrze...
⁣
Dodano po 3 godzinach 9 minutach 33 sekundach:
Uzupełnienie
⁣ ⁣
⁣ Mała uwaga:
powyższy link nie wiedzie do strony, lecz powoduje pobranie arkusza na dysk, co nie zawsze użytkownik zauważa, mojemu bratu np. to umknęło...

[Brombal]

Liczba \(\displaystyle{ 6}\) to \(\displaystyle{ p_2\#}\). Weźmy liczbę \(\displaystyle{ p_3\#}\).
wtedy ruch konika szachowego będzie bardziej zbliżony do ruchu konia który wypił swoja porcje zboża.
\(\displaystyle{ 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6}\)

[c-rasz]

(...) będzie bardziej zbliżony do ruchu starego [ Dodatek mój: c-rasz ] konia, który wypił swoja porcję "żyta".

Rzecz w tym, że niejako ścigają się DWIE przeciwne regularności, regularność "produkcyjna" Dirichleta, z regularnością "destrukcyjną" Eratostenesa. omówiłem to tu: teoria-liczb-f26/gestosc-liczb-pierwszy ... l#p5666539

Rozpatrując zagadnienie regularności występowania liczb pierwszych, trzeba mieć równocześnie w pamięci to, jak działa sito Eratostenesa, będące mechanizmem eliminowania liczb, oraz to, jak działa maszyna owe liczby produkująca, czyli Dirichleta "generator" liczb pierwszych.