Zbadaj zbieżność całki
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 20 sty 2021, o 10:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Zbadaj zbieżność całki
Witam, czy moje rozumowanie jest prawidłowe:
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{ \frac{1}{2} } }dx }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } \le \frac{\cos x+1}{x+x^{ \frac{1}{2} } } }\) Kryterium porównawcze
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{2x} \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) Całka \(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{2x}}\) jest rozbieżna więc
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) też jest rozbieżna, więc też rozbieża będzie nasza wyjściowa całka.
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{ \frac{1}{2} } }dx }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } \le \frac{\cos x+1}{x+x^{ \frac{1}{2} } } }\) Kryterium porównawcze
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{2x} \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) Całka \(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{2x}}\) jest rozbieżna więc
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) też jest rozbieżna, więc też rozbieża będzie nasza wyjściowa całka.
Ostatnio zmieniony 16 mar 2024, o 12:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 20 sty 2021, o 10:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Re: Zbadaj zbieżność całki
A fakt, chyba, źle to oszacowałem, bo jakby teraz cos przyjał -1 to nierównośc nie będzie spełniona
Dodano po 1 godzinie 26 minutach 43 sekundach:
Mam jeszcxze jedno pytanie do innego przykładu, też trzeba zbadać zbieżność:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} } \right) dx }\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} }\right) >0 }\)
\(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x} >0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ \frac{1}{x} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ x^{2} \cdot \frac{1}{ x^{3} } } }\) i to z granic podstawowych wychodzi że tak granica to 1, czyli obie calki są zbiezne lub rozbieżne, ale że cała z \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\) jest rozbieżna to wyjściowa całka też jest rozbieżna.
Dodano po 1 godzinie 26 minutach 43 sekundach:
Mam jeszcxze jedno pytanie do innego przykładu, też trzeba zbadać zbieżność:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} } \right) dx }\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} }\right) >0 }\)
\(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x} >0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ \frac{1}{x} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ x^{2} \cdot \frac{1}{ x^{3} } } }\) i to z granic podstawowych wychodzi że tak granica to 1, czyli obie calki są zbiezne lub rozbieżne, ale że cała z \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\) jest rozbieżna to wyjściowa całka też jest rozbieżna.
Ostatnio zmieniony 16 mar 2024, o 14:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{\infty} \frac{1+\cos x}{x+ x^{\frac{1}{2}}}dx .}\)
Kryterium porównawcze rozbieżności
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x} dx \leq \int_{\pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{\frac{1}{2}}}dx.}\)
Całka
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)
Kryterium porównawcze rozbieżności
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x} dx \leq \int_{\pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{\frac{1}{2}}}dx.}\)
Całka
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
Co to w ogóle jest???
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)
Ta ostatnia całka zbieżnością bije po oczach...
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)
Ta ostatnia całka zbieżnością bije po oczach...
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\infty} \frac{1}{x} dx =\left [-\frac{1}{2} \ln(x)\right]_{\pi}^{x\to \infty} = -\infty + \frac{1}{2}\ln(\pi) = -\infty.}\)
Boję się, że straci Pan wzrok.
Boję się, że straci Pan wzrok.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
Oszacowanie od dołu przez wyrażenie rozbieżne do minus nieskończoności nie daje żadnych informacji.
JK
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
\(\displaystyle{ x \ge \pi}\)
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ \sqrt{x} } dx > \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x} dx= \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{dx}{x} + \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{\cos x}{x} dx}\)
Góra w wyjściowej całce jest nieujemna , a na końcu pierwsza całka rozbieżna a druga zbieżna oczywiście myślę, że Janusz to wykaże...
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ \sqrt{x} } dx > \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x} dx= \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{dx}{x} + \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{\cos x}{x} dx}\)
Góra w wyjściowej całce jest nieujemna , a na końcu pierwsza całka rozbieżna a druga zbieżna oczywiście myślę, że Janusz to wykaże...
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
Jeśli oszacowanie od dołu do minus nieskończoności nie daje żadnych informacji. to prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) dla \(\displaystyle{ x\geq \pi.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty}\frac{1+\cos(x)}{x + \sqrt{x}} dx }\)
Całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do plus nieskończoności, zatem badana całka jest rozbieżna.
\(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) dla \(\displaystyle{ x\geq \pi.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty}\frac{1+\cos(x)}{x + \sqrt{x}} dx }\)
Całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do plus nieskończoności, zatem badana całka jest rozbieżna.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
A mógłbyś wyjaśnić, jaki związek ma nierówność \(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) z nierównością pomiędzy całkami?
Ciekawe jest też stwierdzenie
Mógłbyś to podeprzeć jakimś rachunkiem?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
Zadanie 2
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} x^2\tg\left(\frac{1}{x^3}\right)dx }\)
Rozbieżność tej całki zbadałeś poprawnie na podstawie kryterium ilorazowego.
Dodano po 25 minutach 3 sekundach:
\(\displaystyle{ \cos(x) }\) jest nie mniejszy od minus swojego argumentu.
Wystarczy takie oszacowanie:
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{x+\sqrt{x}} dx }\)
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx = \int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{2x}dx + \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx = \infty.}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} x^2\tg\left(\frac{1}{x^3}\right)dx }\)
Rozbieżność tej całki zbadałeś poprawnie na podstawie kryterium ilorazowego.
Dodano po 25 minutach 3 sekundach:
\(\displaystyle{ \cos(x) }\) jest nie mniejszy od minus swojego argumentu.
Wystarczy takie oszacowanie:
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{x+\sqrt{x}} dx }\)
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx = \int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{2x}dx + \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx = \infty.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbadaj zbieżność całki
Co nie ma żadnego związku z nierównością \(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\), na którą się powołałeś. Co i tak jest bez znaczenia o tyle, że całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do minus nieskończoności, a nie do plus nieskończoności, jak twierdziłeś.
Arek już to napisał, nie było potrzeba powtarzania. Lepiej byłoby uzasadnić, że całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx}\) jest zbieżna...janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 23:25 Wystarczy takie oszacowanie:
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{x+\sqrt{x}} dx }\)
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx = \int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{2x}dx + \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx = \infty.}\)
JK