Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
No a jak definiujesz sumę porządkową? Nie uważasz, że ta definicja
\(\displaystyle{ \prec=<_{a\times\{0\} } \cup <_{b\times\{1\}} \cup \left((a\times\{0\}) \times (b\times\{1\})\right) }\)
zgodna z tą przytoczoną przez Ciebie powyżej, jest dość niewygodna? Jak dla mnie zdecydowanie lepsza jest wersja
\(\displaystyle{ \left\langle x,i\right\rangle\prec \left\langle y,j\right\rangle\iff... }\)
JK
\(\displaystyle{ \prec=<_{a\times\{0\} } \cup <_{b\times\{1\}} \cup \left((a\times\{0\}) \times (b\times\{1\})\right) }\)
zgodna z tą przytoczoną przez Ciebie powyżej, jest dość niewygodna? Jak dla mnie zdecydowanie lepsza jest wersja
\(\displaystyle{ \left\langle x,i\right\rangle\prec \left\langle y,j\right\rangle\iff... }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
No tak, formalizm nie jest najistotniejszy, ważniejsze rozumienie.
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi.
Pokażemy, że \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c.}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right); }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi rozłącznymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset\right); \left( b, \subset\right);\left( c, \subset\right);}\) . Takie zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ A,B,C}\) podobne do nich istnieją, (np.: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); \left( b, \subset \right);\left( c, \subset \right)}\), gdyż liczby porządkowe są dobrze uporządkowane przez inkluzję, oraz ponieważ każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do siebie samego), ale wtedy nie muszą być rozłączne. Wtedy jednak zbiory \(\displaystyle{ A\times \left\{ 0\right\} ;B \times \left\{ 1\right\} ,C \times \left\{ 2\right\}}\) są rozłączne, i są podobne do \(\displaystyle{ A,B,C}\), z przechodniości podobieństwa są podobne do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ,\left( b, \subset\right); \left( c, \subset\right).}\) A więc takie zbiory dobrze uporządkowane istnieją, oznaczmy je tak jak na początku \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right). }\)
Pokazujemy, że zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\)
Rozważmy identyczność \(\displaystyle{ I _{A \cup B \cup C} : A \cup \left( B \cup C\right) \rightarrow \left( A\cup B\right) \cup C .}\)
Identyczność jest bijekcją, i jest monotoniczna, gdyż dla \(\displaystyle{ x,y\in A \cup B \cup C}\), mamy
jeśli \(\displaystyle{ x \le_{A\oplus\left( B\oplus C\right) } y}\), to \(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } \ I _{A \cup B \cup C} \left( y\right)=y}\) (Dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\), na zbiorze \(\displaystyle{ X \cup Y}\) sumę porządkową będę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y} }\)), I to należy pokazać ( już wiem w czym haczyk leżał).
jeśli \(\displaystyle{ x,y\in A,}\) to \(\displaystyle{ x \le_A y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C}y .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in C}\), to \(\displaystyle{ x \le _C y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } y.}\)
Pozostają przypadki ( korzystając z rozłączności zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\))
3.\(\displaystyle{ x\in A, y\in B.}\)
4. \(\displaystyle{ x\in A, y\in C.}\)
5.\(\displaystyle{ x,y\in B.}\)
6-8. \(\displaystyle{ x\in B,y\in A}\) (ale ten przypadek możemy od razu wykluczyć, gdyż z definicji sumy porządkowej każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B \cup C}\)), a mamy \(\displaystyle{ x<_{A\oplus (B\oplus C)}y}\)- sprzeczność. Podobnie od razu wykluczamy przypadki \(\displaystyle{ x\in C, y\in A}\) a także \(\displaystyle{ x\in C, y\in B}\)).
9. \(\displaystyle{ x\in B, y\in C.}\)
Rozważmy je po kolei:
3. Jeśli\(\displaystyle{ x\in A,y\in B}\), wtedy z definicji sumy porządkowej\(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
4. Jeśli \(\displaystyle{ x\in A, y\in C}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in A \cup B,y\in C}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ x<_{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
5. Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in B}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{B} y}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
9. Jeśli \(\displaystyle{ x\in B, y\in C}\), to \(\displaystyle{ x\in A \cup B}\), i \(\displaystyle{ x \le_{ (A\oplus B)\oplus C } y}\).
A zatem zawsze mamy: jeśli \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus\left( B\oplus C\right) }y}\) , to\(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le_{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) }y=I _{A \cup B \cup C} \left( y\right).}\)
Otrzymujemy zatem, że identyczność jest podobieństwem między \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) a \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\), a więc te zbiory dobrze uporządkowane są podobne. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c}\). A więc dodawanie liczb porządkowych jest łączne. \(\displaystyle{ \square}\)
Dowód teraz wydaje mi się oczywisty.Jakub Gurak pisze: ↑4 maja 2020, o 22:12 Potrzebuje ścisłej definicji, aby udowodnić łączność dodawania (i może potem rozdzielność mnożenia względem dodawania).
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi.
Pokażemy, że \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c.}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right); }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi rozłącznymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset\right); \left( b, \subset\right);\left( c, \subset\right);}\) . Takie zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ A,B,C}\) podobne do nich istnieją, (np.: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); \left( b, \subset \right);\left( c, \subset \right)}\), gdyż liczby porządkowe są dobrze uporządkowane przez inkluzję, oraz ponieważ każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do siebie samego), ale wtedy nie muszą być rozłączne. Wtedy jednak zbiory \(\displaystyle{ A\times \left\{ 0\right\} ;B \times \left\{ 1\right\} ,C \times \left\{ 2\right\}}\) są rozłączne, i są podobne do \(\displaystyle{ A,B,C}\), z przechodniości podobieństwa są podobne do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ,\left( b, \subset\right); \left( c, \subset\right).}\) A więc takie zbiory dobrze uporządkowane istnieją, oznaczmy je tak jak na początku \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right). }\)
Pokazujemy, że zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\)
Rozważmy identyczność \(\displaystyle{ I _{A \cup B \cup C} : A \cup \left( B \cup C\right) \rightarrow \left( A\cup B\right) \cup C .}\)
Identyczność jest bijekcją, i jest monotoniczna, gdyż dla \(\displaystyle{ x,y\in A \cup B \cup C}\), mamy
jeśli \(\displaystyle{ x \le_{A\oplus\left( B\oplus C\right) } y}\), to \(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } \ I _{A \cup B \cup C} \left( y\right)=y}\) (Dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\), na zbiorze \(\displaystyle{ X \cup Y}\) sumę porządkową będę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y} }\)), I to należy pokazać ( już wiem w czym haczyk leżał).
jeśli \(\displaystyle{ x,y\in A,}\) to \(\displaystyle{ x \le_A y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C}y .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in C}\), to \(\displaystyle{ x \le _C y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } y.}\)
Pozostają przypadki ( korzystając z rozłączności zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\))
3.\(\displaystyle{ x\in A, y\in B.}\)
4. \(\displaystyle{ x\in A, y\in C.}\)
5.\(\displaystyle{ x,y\in B.}\)
6-8. \(\displaystyle{ x\in B,y\in A}\) (ale ten przypadek możemy od razu wykluczyć, gdyż z definicji sumy porządkowej każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B \cup C}\)), a mamy \(\displaystyle{ x<_{A\oplus (B\oplus C)}y}\)- sprzeczność. Podobnie od razu wykluczamy przypadki \(\displaystyle{ x\in C, y\in A}\) a także \(\displaystyle{ x\in C, y\in B}\)).
9. \(\displaystyle{ x\in B, y\in C.}\)
Rozważmy je po kolei:
3. Jeśli\(\displaystyle{ x\in A,y\in B}\), wtedy z definicji sumy porządkowej\(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
4. Jeśli \(\displaystyle{ x\in A, y\in C}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in A \cup B,y\in C}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ x<_{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
5. Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in B}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{B} y}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
9. Jeśli \(\displaystyle{ x\in B, y\in C}\), to \(\displaystyle{ x\in A \cup B}\), i \(\displaystyle{ x \le_{ (A\oplus B)\oplus C } y}\).
A zatem zawsze mamy: jeśli \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus\left( B\oplus C\right) }y}\) , to\(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le_{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) }y=I _{A \cup B \cup C} \left( y\right).}\)
Otrzymujemy zatem, że identyczność jest podobieństwem między \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) a \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\), a więc te zbiory dobrze uporządkowane są podobne. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c}\). A więc dodawanie liczb porządkowych jest łączne. \(\displaystyle{ \square}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Chyba udało mi się udowodnić rozdzielność mnożenia względem dodawania dla liczb porządkowych. Tzn. wykażemy, że dla dowolnych trzech liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\) mamy \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right).}\)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi. Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right);\left( b, \subset \right) ,\left( c, \subset \right) }\) , ale tak żeby zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) były rozłączne. Da się takie zbiory znaleźć, np, \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); b \times \left\{ 0\right\},c \times \left\{ 1\right\}.}\) Oznaczmy je jako \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right),\left( C, \le _{C} \right).}\) Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) są rozłączne, to również zbiory \(\displaystyle{ B \times A}\) i \(\displaystyle{ C \times A}\) są rozłączne- łatwo to nie wprost udowodnić. Zatem nasze zadanie jest poprawnie określone. Przyjmijmy oznaczenia, że dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\) sumę porządkową bedę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y},}\) a porządek leksykograficzny jako \(\displaystyle{ \le _{X\otimes Y} }\).
Podobieństwem znowu będzie identyczność \(\displaystyle{ I _{\left( B \cup C\right) \times A}:\left( B \cup C\right) \times A \rightarrow \left( B \times A\right) \cup\left( C \times A \right) }\). Jest to bijekcja. Pokażemy, że jest monotoniczna, czyli dla \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right);\left( y _{1},y _{2} \right) \in \left( B \cup C\right) \times A, }\) mamy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\oplus C \right)\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right),}\) to \(\displaystyle{ I\left( x _{1},x _{2} \right)= \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } I\left( y _{1},y _{2} \right)= \left( y _{1},y _{2} \right).}\) I to należy pokazać.
Rozważmy najpierw przypadek \(\displaystyle{ x _{1}=y _{1}.}\) wtedy z definicji porządku leksykograficznego dostajemy \(\displaystyle{ x _{2} \le _{A} y _{2}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1} \in B\cup C }\). Jeśli \(\displaystyle{ x _{1}= y_1\in B, }\) to ponieważ \(\displaystyle{ x_2\le _{A} y_2}\), więc z definicji porządku leksykograficznego otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right) }\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1}\in C }\), to rozumujemy symetrycznie.
Rozważmy teraz przypadek \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\) wtedy \(\displaystyle{ x _{1} \le _{B\oplus C} y_1.}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in B}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le _{B} y_1}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right), }\) a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right)}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in C}\) to rozumujemy symetrycznie. Pozostał (na podstawie definicji sumy porządkowej, gdyż element zbioru \(\displaystyle{ C}\) nie może być mniejszy od elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\)- z definicji sumy porządkowej, oraz antysymetrii porządku), więc pozostał przypadek \(\displaystyle{ x_1\in B,y_1\in C}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \in B \times A,\left( y_1,y_2\right) \in C \times A}\), zatem z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\)
Otrzymujemy zatem monotoniczność, i otrzymujemy, że identyczność jest podobieństwem, a więc zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\oplus C\right)\otimes A } \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right)} \right) }\) są podobne. A więc odpowiadające im liczby porządkowe są równe, czyli \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right). \square}\)
Oczywiście druga rozdzielność nie musi zachodzić, np. \(\displaystyle{ (\omega+2) \cdot 2=2\omega +2}\) ( \(\displaystyle{ 2\omega+2}\) to już nie są działania na liczbach porządkowych- to jest tylko wynik, zapisany w tradycyjny sposób), natomiast \(\displaystyle{ \left( \omega \cdot 2\right)+\left( 2 \cdot 2\right) =2\omega+4 \neq 2\omega+2. }\)
Mam jeszcze pytanie, czy dla dowolnych liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\), jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a\neq 0}\), to \(\displaystyle{ b=c.}\)
Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład ale nie jestem jego pewien: \(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right) \cdot \omega }\) ,lecz \(\displaystyle{ \omega \neq \omega+1.}\)
Ale nie jestem pewien czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega+1\right) \cdot \omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \omega+1}\), ciężko mi stwierdzić czy w takim zbiorze będzie ostatni element
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi. Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right);\left( b, \subset \right) ,\left( c, \subset \right) }\) , ale tak żeby zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) były rozłączne. Da się takie zbiory znaleźć, np, \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); b \times \left\{ 0\right\},c \times \left\{ 1\right\}.}\) Oznaczmy je jako \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right),\left( C, \le _{C} \right).}\) Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) są rozłączne, to również zbiory \(\displaystyle{ B \times A}\) i \(\displaystyle{ C \times A}\) są rozłączne- łatwo to nie wprost udowodnić. Zatem nasze zadanie jest poprawnie określone. Przyjmijmy oznaczenia, że dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\) sumę porządkową bedę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y},}\) a porządek leksykograficzny jako \(\displaystyle{ \le _{X\otimes Y} }\).
Podobieństwem znowu będzie identyczność \(\displaystyle{ I _{\left( B \cup C\right) \times A}:\left( B \cup C\right) \times A \rightarrow \left( B \times A\right) \cup\left( C \times A \right) }\). Jest to bijekcja. Pokażemy, że jest monotoniczna, czyli dla \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right);\left( y _{1},y _{2} \right) \in \left( B \cup C\right) \times A, }\) mamy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\oplus C \right)\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right),}\) to \(\displaystyle{ I\left( x _{1},x _{2} \right)= \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } I\left( y _{1},y _{2} \right)= \left( y _{1},y _{2} \right).}\) I to należy pokazać.
Rozważmy najpierw przypadek \(\displaystyle{ x _{1}=y _{1}.}\) wtedy z definicji porządku leksykograficznego dostajemy \(\displaystyle{ x _{2} \le _{A} y _{2}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1} \in B\cup C }\). Jeśli \(\displaystyle{ x _{1}= y_1\in B, }\) to ponieważ \(\displaystyle{ x_2\le _{A} y_2}\), więc z definicji porządku leksykograficznego otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right) }\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1}\in C }\), to rozumujemy symetrycznie.
Rozważmy teraz przypadek \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\) wtedy \(\displaystyle{ x _{1} \le _{B\oplus C} y_1.}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in B}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le _{B} y_1}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right), }\) a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right)}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in C}\) to rozumujemy symetrycznie. Pozostał (na podstawie definicji sumy porządkowej, gdyż element zbioru \(\displaystyle{ C}\) nie może być mniejszy od elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\)- z definicji sumy porządkowej, oraz antysymetrii porządku), więc pozostał przypadek \(\displaystyle{ x_1\in B,y_1\in C}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \in B \times A,\left( y_1,y_2\right) \in C \times A}\), zatem z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\)
Otrzymujemy zatem monotoniczność, i otrzymujemy, że identyczność jest podobieństwem, a więc zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\oplus C\right)\otimes A } \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right)} \right) }\) są podobne. A więc odpowiadające im liczby porządkowe są równe, czyli \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right). \square}\)
Oczywiście druga rozdzielność nie musi zachodzić, np. \(\displaystyle{ (\omega+2) \cdot 2=2\omega +2}\) ( \(\displaystyle{ 2\omega+2}\) to już nie są działania na liczbach porządkowych- to jest tylko wynik, zapisany w tradycyjny sposób), natomiast \(\displaystyle{ \left( \omega \cdot 2\right)+\left( 2 \cdot 2\right) =2\omega+4 \neq 2\omega+2. }\)
Mam jeszcze pytanie, czy dla dowolnych liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\), jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a\neq 0}\), to \(\displaystyle{ b=c.}\)
Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład ale nie jestem jego pewien: \(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right) \cdot \omega }\) ,lecz \(\displaystyle{ \omega \neq \omega+1.}\)
Ale nie jestem pewien czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega+1\right) \cdot \omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \omega+1}\), ciężko mi stwierdzić czy w takim zbiorze będzie ostatni element
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Jeśli już musisz posługiwać się niestandardową definicją mnożenia liczb porządkowych (która względem definicji standardowej różni się kolejnością mnożenia), to chociaż trzymaj się jej konsekwentnie, żeby nie pisać dwóch sprzecznych stwierdzeń w jednym poście.Jakub Gurak pisze: ↑21 maja 2020, o 18:09Tzn. wykażemy, że dla dowolnych trzech liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\) mamy \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right).}\)
[...]
Oczywiście druga rozdzielność nie musi zachodzić, np. \(\displaystyle{ (\omega+2) \cdot 2=2\omega +2}\) ( \(\displaystyle{ 2\omega+2}\) to już nie są działania na liczbach porządkowych- to jest tylko wynik, zapisany w tradycyjny sposób), natomiast \(\displaystyle{ \left( \omega \cdot 2\right)+\left( 2 \cdot 2\right) =2\omega+4 \neq 2\omega+2. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Mam pytanie, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a<b \rightarrow c+a<c+b }\) ?? (silne nierówności)?
Myślę, że tak, uzasadniam to w ten sposób, że ponieważ \(\displaystyle{ a<b }\) to \(\displaystyle{ a \subset b}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left(C, \le _{C}\right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak, że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne, oraz że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, wtedy suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( C, \le _{C} \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) }\) jest określoną na istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ C \cup B}\), na którym to zbiorze jest określoną suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ c+a<c+b, }\) wystarczy
Liczbami porządkowymi nie operuje najsprawniej, to już są dla mnie bardziej abstrakcyjne rzeczy.
Mam jeszcze dwa pytania, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a \le b \rightarrow a+ c \le b+c }\)?
Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??
Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład, ale nie wiem czy dobry:
\(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right)\cdot\omega,}\) lecz \(\displaystyle{ \omega\neq\omega +1}\).
Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\), czy to będzie to samo co \(\displaystyle{ \omega\cdot\omega}\)
\(\displaystyle{ a<b \rightarrow c+a<c+b }\) ?? (silne nierówności)?
Myślę, że tak, uzasadniam to w ten sposób, że ponieważ \(\displaystyle{ a<b }\) to \(\displaystyle{ a \subset b}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left(C, \le _{C}\right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak, że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne, oraz że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, wtedy suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( C, \le _{C} \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) }\) jest określoną na istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ C \cup B}\), na którym to zbiorze jest określoną suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ c+a<c+b, }\) wystarczy
Liczbami porządkowymi nie operuje najsprawniej, to już są dla mnie bardziej abstrakcyjne rzeczy.
Mam jeszcze dwa pytania, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a \le b \rightarrow a+ c \le b+c }\)?
Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??
Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład, ale nie wiem czy dobry:
\(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right)\cdot\omega,}\) lecz \(\displaystyle{ \omega\neq\omega +1}\).
Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\), czy to będzie to samo co \(\displaystyle{ \omega\cdot\omega}\)
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Zachodzi.Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00 Mam pytanie, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a<b \rightarrow c+a<c+b }\) ?? (silne nierówności)?
Nie (choć intuicja jest dobra). To, co napisałeś, nie jest prawdą - zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mogą nie mieć ze sobą nic wspólnego. Jak chcesz porządne uzasadnienie, to odwołaj się np. do definicji dodawania za pomocą typów porządkowych.Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Myślę, że tak, uzasadniam to w ten sposób, że ponieważ \(\displaystyle{ a<b }\) to \(\displaystyle{ a \subset b}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left(C, \le _{C}\right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak, że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne, oraz że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, wtedy suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( C, \le _{C} \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) }\) jest określoną na istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ C \cup B}\), na którym to zbiorze jest określoną suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ c+a<c+b, }\) wystarczy
Zachodzi.Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Mam jeszcze dwa pytania, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a \le b \rightarrow a+ c \le b+c }\)?
Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 1\cdot\omega=2\cdot\omega=\omega.}\)Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??
To jest prawda, ale uzasadnienie tego jest nie całkiem trywialne - spróbuj to zrobić.Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład, ale nie wiem czy dobry:
\(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right)\cdot\omega,}\) lecz \(\displaystyle{ \omega\neq\omega +1}\).
Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\), czy to będzie to samo co \(\displaystyle{ \omega\cdot\omega}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\)
Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 01:00Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??
Nie o to mi chodziło, to znam, chodziło mi o drugą skracalność mnożenia. No ale to ja chyba znowu namieszałem z kolejnością mnożenia czynników. Przepraszam. Czy zatem zachodzi skracalność mnożenia liczb porządkowych z lewej strony( przez liczbę porządkową różną od zera)??Jan Kraszewski pisze:Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 1\cdot\omega=2\cdot\omega=\omega.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Tak. Dowód nie jest trudny - wystarczy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha\ne 0}\) i \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta<\alpha\cdot\gamma.}\)Jakub Gurak pisze: ↑12 lip 2020, o 23:39Czy zatem zachodzi skracalność mnożenia liczb porządkowych z lewej strony( przez liczbę porządkową różną od zera)??
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Ta własność wynika pewnie stąd, że jeśli \(\displaystyle{ B \subsetneq C}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, to \(\displaystyle{ A \times B \subsetneq A \times C}\) , co jest oczywiste. Dobrze myślę, w ten sposób
A jeśli \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta= \alpha\cdot \gamma }\), \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), gdyby \(\displaystyle{ \beta\neq\gamma }\), to \(\displaystyle{ \beta <\gamma }\) lub \(\displaystyle{ \gamma<\beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta< \alpha \cdot \gamma }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma }\)- sprzeczność z założeniem. Jeśli \(\displaystyle{ \gamma< \beta }\) , to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \gamma< \alpha \cdot \beta }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma}\)- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square }\) Dobrze
(Potrzebowałem sobie rozpisać )
A jeśli \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta= \alpha\cdot \gamma }\), \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), gdyby \(\displaystyle{ \beta\neq\gamma }\), to \(\displaystyle{ \beta <\gamma }\) lub \(\displaystyle{ \gamma<\beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta< \alpha \cdot \gamma }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma }\)- sprzeczność z założeniem. Jeśli \(\displaystyle{ \gamma< \beta }\) , to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \gamma< \alpha \cdot \beta }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma}\)- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square }\) Dobrze
(Potrzebowałem sobie rozpisać )
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
To zdecydowanie za mało. Musisz skorzystać z definicji mnożenia liczb porządkowych.Jakub Gurak pisze: ↑13 lip 2020, o 18:08Ta własność wynika pewnie stąd, że jeśli \(\displaystyle{ B \subsetneq C}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, to \(\displaystyle{ A \times B \subsetneq A \times C}\) , co jest oczywiste. Dobrze myślę, w ten sposób
Tak.Jakub Gurak pisze: ↑13 lip 2020, o 18:08A jeśli \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta= \alpha\cdot \gamma }\), \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), gdyby \(\displaystyle{ \beta\neq\gamma }\), to \(\displaystyle{ \beta <\gamma }\) lub \(\displaystyle{ \gamma<\beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta< \alpha \cdot \gamma }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma }\)- sprzeczność z założeniem. Jeśli \(\displaystyle{ \gamma< \beta }\) , to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \gamma< \alpha \cdot \beta }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma}\)- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square }\) Dobrze
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
Można zatem zadać pytanie analogiczne: Czy na zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem można określić dwa niepodobne do siebie dobre porządki ?? Wczoraj udało się to zadanie rozwiązać- tak można je określić. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.W TEŚCIE WAŻNIAKOWYM pisze: Czy na zbiorze liczb naturalnych można określić przynajmniej dwa niepodobne do siebie dobre porządki?
Intuicyjnie rzecz biorąc, tymi dwoma porządkami na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , będą porządki \(\displaystyle{ \le_1}\) i \(\displaystyle{ \le _2}\), dane jako:
\(\displaystyle{ 0<_1 - 1<_1 -2 <_1 -3 <_1 \ldots ;}\)
oraz
\(\displaystyle{ -1<_2 -2< _2 -3 <_2\ldots <_2 0.}\)
Przedstawię teraz formalizację tych obserwacji.
Łatwo jest zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), dana jako:
\(\displaystyle{ f(n)=-n}\),
jest dobrze określoną bijekcją. A zatem również funkcja do niej odwrotna \(\displaystyle{ f ^{-1}:\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \rightarrow \NN}\) jest bijekcją. Skorzystamy teraz z twierdzenia:
Jeśli (\(\displaystyle{ X, \le _X)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem równolicznym z \(\displaystyle{ X}\) (wtedy istnieje bijekcja z \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\)) , i wtedy dla każdej bijekcji \(\displaystyle{ f:Y \rightarrow X}\), relacja \(\displaystyle{ \le _Y}\) na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), dana jako:
\(\displaystyle{ y_1 \le_Y y_2 \Longleftrightarrow f\left( y_1\right) \le _X f(y_2)}\),
jest relacją liniowego porządku na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)- łatwo można to udowodnić- jedynie przy dowodzie antysymetrii trzeba skorzystać z różnowartościowości bijekcji \(\displaystyle{ f}\), reszta jest dość oczywista.
Wracając do naszego zadania. Mamy, że funkcja \(\displaystyle{ f^{-1}:\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \rightarrow \NN}\) jest bijekcją, oraz zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) ze zwykłym porządkiem jest uporządkowany w sposób liniowy. Stosując zatem przytoczony fakt otrzymujemy, że relacja \(\displaystyle{ \le _{\ZZ_-}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , dana jako:
\(\displaystyle{ x_1 \le _{\ZZ_-} x_2 \Longleftrightarrow \NN \ni -x_1= f ^{-1}(x_1) \le f ^{-1} (x_2)= -x_2\in \NN}\) ,
jest porządkiem liniowym na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .}\)
Wtedy porządek \(\displaystyle{ \le _{\ZZ_-}}\) jest podobny do zwykłego porządku \(\displaystyle{ \le}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left( \NN, \le \right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a własność bycia zbiorem dobrze uporządkowanym jest przenoszona przez podobieństwo, więc również zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}, \le _{\ZZ_-}\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.
Ponieważ każdy podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego jest dobrze uporządkowany, więc zbiór liczb całkowitych ujemnych (bez zera) \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) z porządkiem \(\displaystyle{ \le _X:= \left( \le _{\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\right) _{|\ZZ_-} }\) , czyli z poprzednim porządkiem z wyrzuconym zerem , taki zbiór jest zbiorem dobrze uporządkowanym, (a więc i liniowo).
Również \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest liniowo uporządkowany przez porządek identycznościowy \(\displaystyle{ \le_0}\) (nawiasem mówiąc, mamy tu odpowiedź na pytanie: czy porządek identycznościowy na niepustym zbiorze może być liniowym porządkiem ) . Zbiory \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\) i \(\displaystyle{ \ZZ_- }\) są rozłączne, gdyż \(\displaystyle{ 0\not\in \ZZ_-}\). W takim razie możemy rozważać sumę porządkową \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\}}\) , która jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0 \right\}}\), a ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) jest dobrze uporządkowany, a \(\displaystyle{ 0 \not\in \ZZ_-}\), więc ponieważ mamy taki prosty fakt, że jeśli do zbioru dobrze uporządkowanego dodamy jeden element spoza zbioru, gdy go dodamy, jako element największy, to otrzymamy zbiór dalej dobrze uporządkowany- dowód tego faktu można znaleźć chyba nawet w tym wątku, a zatem zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}, \le _2:= \le _X \oplus \le _0 \right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.
Zauważmy, że w poprzednim zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego, gdyż gdyby w tym zbiorze byłby element największy, to w zbiorze do niego podobnym \(\displaystyle{ (\NN, \le )}\) również byłby element największy, a więc w zbiorze liczb naturalnych byłaby liczba największa - sprzeczność. A zatem w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego.
Zauważmy, że w zbiorze liczb całkowitych ujemnnych wraz z zerem z tym porządkiem \(\displaystyle{ \le _2}\), wtedy \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem największym (gdyż rozważanym tu porządkiem- jest to suma porządkowa \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\}}\), a formalnie dlatego, że \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem największym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\), a więc jest również elementem największym sumy porządkowej \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\} }\)- ) , a w \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego. Wobec czego te dwa porządki nie mogą być podobne (gdyż podobieństwo zachowuje elementy największe), czyli na zbiorze liczb całkowitych ujemnnych wraz z zerem mamy dwa niepodobne do siebie dobre porządki.\(\displaystyle{ \square}\)
Jest też zadanie z ważniaka: Czy aby dobrze uporządkować zbiór liczb całkowitych potrzebny jest aksjomat wyboru??- odpowiedź brzmi nie. No bo ja bym go uporządkował w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ 0<-1<1<-2<2<\ldots }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
W dzisiejsze popołudnie spróbowałem udowodnić poniższe prawo liczb porządkowych:
Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a<b \Longrightarrow c+a<c+b.}\)
Przedstawię teraz dowód tego faktu i proszę o jego sprawdzenie- nie jestem mistrzem liczb porządkowych.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi, takimi, że \(\displaystyle{ a<b}\).
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right); \left( B, \le _{B} \right); \left( C, \le _C\right)}\) będą trzema zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi do odpowiednich im zbiorom dobrze uporządkowanym: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ; \left( b, \subset \right) ; \left( c, \subset \right) }\), takimi, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)( innymi słowy: zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny zarówno ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\) jak i ze zbiorem \(\displaystyle{ B}\)), aby można było wykonać dodawanie: \(\displaystyle{ c+a}\), jak i \(\displaystyle{ c+b.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a<b}\), więc zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ A}\) jest podobny do pewnego istotnego przedziału początkowego \(\displaystyle{ A' }\) zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _{B}\right) }\), tzn. \(\displaystyle{ A \approx A'}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right)}\) i \(\displaystyle{ A' \subsetneq B }\). Istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A'. }\)
Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją identyczności na zbiorze \(\displaystyle{ C}\)- jest to bijekcja z \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ C}\), i jest monotoniczna, wobec czego \(\displaystyle{ g= I_C}\) jest podobieństwem.
Wtedy \(\displaystyle{ h= f \cup g}\) jest bijekcją, jako suma bijekcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) o rozłącznych dziedzinach (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\)) i o rozłącznych przeciwdziedzinach \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\). Zbiory \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, gdyż:
\(\displaystyle{ \underbrace {A' }_{ \subset B} \cap C\subset B \cap C= }\)
i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, więc ten przekrój jest pusty. Wobec czego również \(\displaystyle{ A' \cap C= \left\{ \right\},}\) i zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ C}\).
A zatem \(\displaystyle{ h= f \cup g,}\) jest bijekcją, jako suma dwóch bijekcji o rozłączych dziedzinach i o rozłącznych przeciwdziedzinach. Jest to bijekcja ze sumy dziedzin \(\displaystyle{ A \cup C}\) w sumę przeciwdziedzin \(\displaystyle{ A' \cup C}\). Czyli również \(\displaystyle{ h:C \cup A \rightarrow C \cup A'}\)- jest to funkcja z \(\displaystyle{ C \cup A}\) w \(\displaystyle{ C \cup A'.}\)
Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest przedziałem początkowym zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right).}\)
Niewątpliwie \(\displaystyle{ C \cup \underbrace{A'}_ { \subset B} \subset C \cup B}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to przedział początkowy w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right)}\) , to niech \(\displaystyle{ x\in C \cup A',}\) i niech \(\displaystyle{ y \in C \cup B}\), będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y \in C}\), to od razu \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y\not\in C}\), to musi być \(\displaystyle{ y \in B}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), mamy \(\displaystyle{ x\in C \cup B}\), więc \(\displaystyle{ x\not \in C}\) ( w przeciwnym razie ponieważ \(\displaystyle{ y \in B}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le _{C\oplus B }}\) moglibyśmy wnioskować, że \(\displaystyle{ x< _{C\oplus B}y}\)- sprzeczność). Wobec czego \(\displaystyle{ x\not \in C}\), wobec czego \(\displaystyle{ x \in B}\). Mamy też \(\displaystyle{ y \in B}\), i \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), a więc, z definicji sumy porządkowej, otrzymujemy: \(\displaystyle{ y \le _B x}\), a \(\displaystyle{ x \in C \cup A'}\) i \(\displaystyle{ x\not \in C}\), więc \(\displaystyle{ x \in A' }\). Zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ y \le _B x \in A'}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y \in A'}\), i \(\displaystyle{ y \in C \cup A',}\) i zbiór \(\displaystyle{ C \cup A' }\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right). }\)
Mamy \(\displaystyle{ C \cup A' \neq C \cup B}\), (gdyż \(\displaystyle{ A' \subsetneq B}\), a zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)).
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ h:C \cup A\stackrel {h}{ \rightarrow } C \cup A'}\) jest monotoniczna. Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest podobieństwem, a zatem zbiór \(\displaystyle{ C \cup A}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ C \cup A'}\).
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest istotnym przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ C \cup B}\), więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ c+a<c+b.\square}\) Dobrze
Z tego prawa liczb porządkowych łatwo wynika inne prawo liczb porządkowych:
\(\displaystyle{ a \le b \Longrightarrow c+a \le c+b.}\)
Gdyż:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
(Jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\)), to jeśli \(\displaystyle{ a<b}\), to od razu \(\displaystyle{ c+a<c+b}\) ( więc w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\) ),
a jeśli \(\displaystyle{ a=b}\) , to \(\displaystyle{ c+a= c+b}\) ( w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\))\(\displaystyle{ .\square }\)
Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ a<b \Longrightarrow c+a<c+b.}\)
Przedstawię teraz dowód tego faktu i proszę o jego sprawdzenie- nie jestem mistrzem liczb porządkowych.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi, takimi, że \(\displaystyle{ a<b}\).
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right); \left( B, \le _{B} \right); \left( C, \le _C\right)}\) będą trzema zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi do odpowiednich im zbiorom dobrze uporządkowanym: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ; \left( b, \subset \right) ; \left( c, \subset \right) }\), takimi, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)( innymi słowy: zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny zarówno ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\) jak i ze zbiorem \(\displaystyle{ B}\)), aby można było wykonać dodawanie: \(\displaystyle{ c+a}\), jak i \(\displaystyle{ c+b.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a<b}\), więc zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ A}\) jest podobny do pewnego istotnego przedziału początkowego \(\displaystyle{ A' }\) zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _{B}\right) }\), tzn. \(\displaystyle{ A \approx A'}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right)}\) i \(\displaystyle{ A' \subsetneq B }\). Istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A'. }\)
Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją identyczności na zbiorze \(\displaystyle{ C}\)- jest to bijekcja z \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ C}\), i jest monotoniczna, wobec czego \(\displaystyle{ g= I_C}\) jest podobieństwem.
Wtedy \(\displaystyle{ h= f \cup g}\) jest bijekcją, jako suma bijekcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) o rozłącznych dziedzinach (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\)) i o rozłącznych przeciwdziedzinach \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\). Zbiory \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, gdyż:
\(\displaystyle{ \underbrace {A' }_{ \subset B} \cap C\subset B \cap C= }\)
i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, więc ten przekrój jest pusty. Wobec czego również \(\displaystyle{ A' \cap C= \left\{ \right\},}\) i zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ C}\).
A zatem \(\displaystyle{ h= f \cup g,}\) jest bijekcją, jako suma dwóch bijekcji o rozłączych dziedzinach i o rozłącznych przeciwdziedzinach. Jest to bijekcja ze sumy dziedzin \(\displaystyle{ A \cup C}\) w sumę przeciwdziedzin \(\displaystyle{ A' \cup C}\). Czyli również \(\displaystyle{ h:C \cup A \rightarrow C \cup A'}\)- jest to funkcja z \(\displaystyle{ C \cup A}\) w \(\displaystyle{ C \cup A'.}\)
Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest przedziałem początkowym zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right).}\)
Niewątpliwie \(\displaystyle{ C \cup \underbrace{A'}_ { \subset B} \subset C \cup B}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to przedział początkowy w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right)}\) , to niech \(\displaystyle{ x\in C \cup A',}\) i niech \(\displaystyle{ y \in C \cup B}\), będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y \in C}\), to od razu \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y\not\in C}\), to musi być \(\displaystyle{ y \in B}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), mamy \(\displaystyle{ x\in C \cup B}\), więc \(\displaystyle{ x\not \in C}\) ( w przeciwnym razie ponieważ \(\displaystyle{ y \in B}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le _{C\oplus B }}\) moglibyśmy wnioskować, że \(\displaystyle{ x< _{C\oplus B}y}\)- sprzeczność). Wobec czego \(\displaystyle{ x\not \in C}\), wobec czego \(\displaystyle{ x \in B}\). Mamy też \(\displaystyle{ y \in B}\), i \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), a więc, z definicji sumy porządkowej, otrzymujemy: \(\displaystyle{ y \le _B x}\), a \(\displaystyle{ x \in C \cup A'}\) i \(\displaystyle{ x\not \in C}\), więc \(\displaystyle{ x \in A' }\). Zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ y \le _B x \in A'}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y \in A'}\), i \(\displaystyle{ y \in C \cup A',}\) i zbiór \(\displaystyle{ C \cup A' }\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right). }\)
Mamy \(\displaystyle{ C \cup A' \neq C \cup B}\), (gdyż \(\displaystyle{ A' \subsetneq B}\), a zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)).
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ h:C \cup A\stackrel {h}{ \rightarrow } C \cup A'}\) jest monotoniczna.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest istotnym przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ C \cup B}\), więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ c+a<c+b.\square}\) Dobrze
Z tego prawa liczb porządkowych łatwo wynika inne prawo liczb porządkowych:
\(\displaystyle{ a \le b \Longrightarrow c+a \le c+b.}\)
Gdyż:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
(Jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\)), to jeśli \(\displaystyle{ a<b}\), to od razu \(\displaystyle{ c+a<c+b}\) ( więc w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\) ),
a jeśli \(\displaystyle{ a=b}\) , to \(\displaystyle{ c+a= c+b}\) ( w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\))\(\displaystyle{ .\square }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
W ostatni piątek trochę rozważałem matematycznie (bo co miałem robić, skoro dostępu do forum nie miałem (obecnie piszę książkę 'Przystępny wstęp do matematyki' przy pomocy LaTeX-a na matematyka.pl- zapisuje to sobie w kopiach roboczych, i, co jakiś czas, jak ukończę dany podrozdział, to wklejam to do gotowej wersji), w te piątkowe popołudnie mogłem jedynie czytać książkę 'Co to jest matematyka?' R.Courant'a i H.Robbins'a, albo mogłem czytać ważniaka), ale miałem też potrzebę podziałać;
i udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną von Neumanna, to: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
Wykazałem też, że jeśli mamy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\), to ich ilo\(\displaystyle{ }\)czyn jest równy \(\displaystyle{ 0,}\) dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych, ale tylko szeregów postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN } z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną von Neumanna, i niech \(\displaystyle{ x}\) będzie nieskończoną liczbą porządkową.
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( x, \subset \right)}\) , i rozważmy zbiór liczb naturalnych von Neumanna- zbiór dobrze uporządkowany. Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, to zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) jest podobny do pewnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X.}\) A zatem \(\displaystyle{ \omega \le x}\). A zatem istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa \(\displaystyle{ a}\), taka, że: \(\displaystyle{ \omega+a=x}\).
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+\omega=\omega.}\) To jednak można łatwo udowodnić indukcyjnie:
Niewątpliwie: \(\displaystyle{ 0+\omega=\omega}\); i \(\displaystyle{ 1+\omega=\omega}\)- udowodniono to na ważniaku.
Jeśli \(\displaystyle{ n+\omega=\omega}\), to: \(\displaystyle{ \left( n+1\right)+\omega= n+\left( 1+\omega\right)= n+\omega=\omega}\), gdzie ostatnie przejście wynika z założenia indukcyjnego. Krok indukcyjny został dowiedziony. Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego Lematu.
A zatem, powracając do naszego dowodu(zachowując wprowadzone tam oznaczenia):
\(\displaystyle{ n+x= n+\left( \omega+a\right)= \left( n+\omega\right) +a= \omega+a=x.\square}\)
Udowodnimy teraz drugi fakt:
Niech \(\displaystyle{ z_1,z_2, \ldots, z_n}\) będą liczbami zespolonymi.
Wykażemy, że ich iloczyn jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tzn. mamy równoważność: \(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z_n=0.
}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Tą równoważność dowodzimy indukcyjnie (ze względu na ilość liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\)).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) równoważność oczywiście zachodzi.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\), zauważmy najpierw, że moduł \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), liczby zespolonej \(\displaystyle{ z,}\) jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ z=0}\) (bo moduł liczby \(\displaystyle{ z}\) jest to jej odległość od początku układu). W związku z czym:
\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2=0 \Leftrightarrow \left| z_1 \cdot z_2\right|=0 \Leftrightarrow \underbrace{\left| z_1\right|}_{ \in\RR} \cdot \underbrace{\left| z_2\right|}_{ \in \RR}=0 \Leftrightarrow \left| z_1\right|=0 \hbox{ lub } \left| z_2\right|=0 \Leftrightarrow z_1=0 \hbox{ lub } z_2=0.}\)
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\). Pokażemy, że zachodzi dla \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\).
Niech \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z _{n+1}}\) będą liczbami zespolonymi. Wtedy:
\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right) \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right)= 0\hbox{ lub } z _{n+1}=0 \Leftrightarrow}\)
co jest równoważne, na mocy założenia indukcyjnego (i na mocy reguły logicznej, mówiącej, że w równoważności można za składniki podstawiać wyrażenia równoważne), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \left[ z_1=0 \vee z _{2}=0 \vee \ldots \vee z_n=0 \right] \vee z _{n+1}=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z _{n+1}=0}\),
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych (oraz ich sumę), ale tylko szeregów postaci \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC}\).
Wykażemy, że wtedy tylko szereg zerowy jest zbieżny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy, że jeśli mamy ciąg \(\displaystyle{ z:\NN \rightarrow \CC}\) liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left( z_0, z_1, z_2,\ldots\right)}\), to jeśli szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z_n}\) jest zbieżny do pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \in \CC}\), to ciąg \(\displaystyle{ z_n}\) musi być zbieżny do zera \(\displaystyle{ z_n \rightarrow \textbf{0}= \left( 0,0\right).}\)
Wobec czego jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) jest zbieżny, to \(\displaystyle{ z \rightarrow \textbf{0}.}\)
Ponieważ ciąg stale równy \(\displaystyle{ z}\) jest zbieżny do tego elementu \(\displaystyle{ z}\), więc musi być \(\displaystyle{ z=\textbf{0}}\), czyli musi być to szereg zerowy.
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \textbf{0}+\textbf{0}= \left( 0+0i\right) + \left( 0+0i\right) = \left( 0+0\right) +\left( 0+0\right) i= 0+0i= \textbf{0}}\),
więc, przez prostą indukcję:
\(\displaystyle{ \left[ \underbrace{\textbf{0}+ \textbf{0}+ \ldots + \textbf{0}}_{n \hbox{ razy }}\right] = \textbf{0}= \left( 0,0\right) ,}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} \textbf{0}= \lim_{ n\to + \infty } \left[ \underbrace{\left( 0,0\right)+ \left( 0,0\right)+ \ldots +\left( 0,0\right)}_{n \hbox{ razy }} \right] = \lim_{ n\to + \infty } \left( 0,0\right) = \left( 0,0\right) = \textbf{0}.\square}\)
i udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną von Neumanna, to: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
Wykazałem też, że jeśli mamy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\), to ich ilo\(\displaystyle{ }\)czyn jest równy \(\displaystyle{ 0,}\) dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych, ale tylko szeregów postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN } z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną von Neumanna, i niech \(\displaystyle{ x}\) będzie nieskończoną liczbą porządkową.
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( x, \subset \right)}\) , i rozważmy zbiór liczb naturalnych von Neumanna- zbiór dobrze uporządkowany. Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, to zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) jest podobny do pewnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+\omega=\omega.}\) To jednak można łatwo udowodnić indukcyjnie:
Niewątpliwie: \(\displaystyle{ 0+\omega=\omega}\); i \(\displaystyle{ 1+\omega=\omega}\)- udowodniono to na ważniaku.
Jeśli \(\displaystyle{ n+\omega=\omega}\), to: \(\displaystyle{ \left( n+1\right)+\omega= n+\left( 1+\omega\right)= n+\omega=\omega}\), gdzie ostatnie przejście wynika z założenia indukcyjnego. Krok indukcyjny został dowiedziony. Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego Lematu.
A zatem, powracając do naszego dowodu(zachowując wprowadzone tam oznaczenia):
\(\displaystyle{ n+x= n+\left( \omega+a\right)= \left( n+\omega\right) +a= \omega+a=x.\square}\)
Udowodnimy teraz drugi fakt:
Niech \(\displaystyle{ z_1,z_2, \ldots, z_n}\) będą liczbami zespolonymi.
Wykażemy, że ich iloczyn jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tzn. mamy równoważność: \(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z_n=0.
}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Tą równoważność dowodzimy indukcyjnie (ze względu na ilość liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\)).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) równoważność oczywiście zachodzi.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\), zauważmy najpierw, że moduł \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), liczby zespolonej \(\displaystyle{ z,}\) jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ z=0}\) (bo moduł liczby \(\displaystyle{ z}\) jest to jej odległość od początku układu). W związku z czym:
\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2=0 \Leftrightarrow \left| z_1 \cdot z_2\right|=0 \Leftrightarrow \underbrace{\left| z_1\right|}_{ \in\RR} \cdot \underbrace{\left| z_2\right|}_{ \in \RR}=0 \Leftrightarrow \left| z_1\right|=0 \hbox{ lub } \left| z_2\right|=0 \Leftrightarrow z_1=0 \hbox{ lub } z_2=0.}\)
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\). Pokażemy, że zachodzi dla \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\).
Niech \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z _{n+1}}\) będą liczbami zespolonymi. Wtedy:
\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right) \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right)= 0\hbox{ lub } z _{n+1}=0 \Leftrightarrow}\)
co jest równoważne, na mocy założenia indukcyjnego (i na mocy reguły logicznej, mówiącej, że w równoważności można za składniki podstawiać wyrażenia równoważne), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \left[ z_1=0 \vee z _{2}=0 \vee \ldots \vee z_n=0 \right] \vee z _{n+1}=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z _{n+1}=0}\),
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych (oraz ich sumę), ale tylko szeregów postaci \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC}\).
Wykażemy, że wtedy tylko szereg zerowy jest zbieżny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy, że jeśli mamy ciąg \(\displaystyle{ z:\NN \rightarrow \CC}\) liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left( z_0, z_1, z_2,\ldots\right)}\), to jeśli szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z_n}\) jest zbieżny do pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \in \CC}\), to ciąg \(\displaystyle{ z_n}\) musi być zbieżny do zera \(\displaystyle{ z_n \rightarrow \textbf{0}= \left( 0,0\right).}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
Ponieważ ciąg stale równy \(\displaystyle{ z}\) jest zbieżny do tego elementu \(\displaystyle{ z}\), więc musi być \(\displaystyle{ z=\textbf{0}}\), czyli musi być to szereg zerowy.
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \textbf{0}+\textbf{0}= \left( 0+0i\right) + \left( 0+0i\right) = \left( 0+0\right) +\left( 0+0\right) i= 0+0i= \textbf{0}}\),
więc, przez prostą indukcję:
\(\displaystyle{ \left[ \underbrace{\textbf{0}+ \textbf{0}+ \ldots + \textbf{0}}_{n \hbox{ razy }}\right] = \textbf{0}= \left( 0,0\right) ,}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} \textbf{0}= \lim_{ n\to + \infty } \left[ \underbrace{\left( 0,0\right)+ \left( 0,0\right)+ \ldots +\left( 0,0\right)}_{n \hbox{ razy }} \right] = \lim_{ n\to + \infty } \left( 0,0\right) = \left( 0,0\right) = \textbf{0}.\square}\)
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych
No OK, każdy robi w wolnym czasie na co ma ochotę. Ale po co zaspamiać tym forum?Jakub Gurak pisze: ↑29 sty 2024, o 19:26udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną von Neumanna, to: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
Wykazałem też, że jeśli mamy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\), to ich ilo\(\displaystyle{ }\)czyn jest równy \(\displaystyle{ 0,}\) dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych, ale tylko szeregów postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN } z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
JK