Iloczyn z silnią

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n }\) iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{p<q \leq n} (p+q)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n! }\)

gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) to liczby pierwsze.

Ukryta treść:    

IMO 2022 , Nigeria

[arek1357]

Ja myślę, że nie ma takiej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), że:

\(\displaystyle{ 2+p=11}\)

A więc \(\displaystyle{ 11! }\) nie dzieli tego iloczynu

Jak widać:

\(\displaystyle{ 7!| \prod_{p<q \le 7}^{} (p+q)}\)

\(\displaystyle{ 8!}\) już nie dzieli

[Dasio11]

Ja myślę, że nie ma takiej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), że:

\(\displaystyle{ 2+p=11}\)

A więc \(\displaystyle{ 11! }\) nie dzieli tego iloczynu

To zły argument, bo przykładowo \(\displaystyle{ 5+17 = 3+19 = 22}\).

Rozwiązanie:    

Liczby \(\displaystyle{ 1 \le n \le 10}\) można sprawdzić ręcznie, otrzymując \(\displaystyle{ n = 1}\) i \(\displaystyle{ n = 7}\). Wykażę, że nie ma więcej takich liczb. Załóżmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 11}\) mamy \(\displaystyle{ n! \mid P_n}\), gdzie

\(\displaystyle{ P_n = \prod_{p < q \le n} (p+q) \qquad}\) (\(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) przebiegają liczby pierwsze).

Niech \(\displaystyle{ t_1 < t_2 \le n}\) będzie parą największych liczb pierwszych nieprzekraczających \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ i = 1, 2}\) mamy \(\displaystyle{ t_i \mid n!}\), zatem \(\displaystyle{ t_i \mid P_n}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ t_i \mid p_i + q_i}\) dla pewnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i < q_i \le n}\).

Skoro \(\displaystyle{ t_2 \mid p_2 + q_2}\) i \(\displaystyle{ p_2 < q_2 \le t_2}\), to jedyną możliwością jest \(\displaystyle{ p_2 + q_2 = t_2}\) i stąd \(\displaystyle{ p_2 = 2}\), by zgadzała się parzystość. Zatem \(\displaystyle{ (t_1, t_2)}\) jest parą liczb bliźniaczych i \(\displaystyle{ t_1 - 2}\) już nie może być liczbą pierwszą, gdyż \(\displaystyle{ t_2 > 7}\).

Gdyby \(\displaystyle{ p_1 = t_1}\), to \(\displaystyle{ t_1 \mid q_1}\) i stąd \(\displaystyle{ q_1 \ge 2t_1 > t_2}\), co jest niemożliwe. Zatem \(\displaystyle{ p_1 < t_1 - 2}\), co razem z \(\displaystyle{ q_1 \le t_1 + 2}\) i \(\displaystyle{ t_1 \mid p_1 + q_1}\) daje \(\displaystyle{ p_1 + q_1 = t_1}\). Tak jak poprzednio mamy stąd \(\displaystyle{ p_1 = 2}\), wbrew wcześniejszej obserwacji.

[arek1357]

A ja czułem że coś jest tu na rzeczy z pierwszymi bliźniaczymi...