Granica z iloczynem
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Granica z iloczynem
Niech \(\displaystyle{ P(n)= \prod_{p|n , \\ p> \log(n)} (1- \frac{1}{p} )}\) dla \(\displaystyle{ n >1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P(n)=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 1 maja 2019, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Granica z iloczynem
No tak, przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (-1)^n = 1}\). Wystarczy wziąć podciąg złożony z liczb parzystych.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 1 maja 2019, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 8 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5762
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: Granica z iloczynem
Ja przyjąłem to na wiarę bo Mol tak zasugerował...a to co napisałem oczywiście nie jest pełnym rozwiązaniem zadania moja była tylko sugestia i naprowadzenie a poza tym w założeniach do końca nie wiem czy p oznacza dowolny dzielnik czy tylko dzielnik pierwszy jak sugeruje zapis, więc jest to następne rozchwianie w tym zadaniu, które nie jest do końca spójne...
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Granica z iloczynem
Och, ale to jest proste. Tylko, jak to zapisać formalnie. No bo tu następuje nieskończone skracanie wszystkich elementów
No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\). Widać, że mianownik itego wyrażenia jest taki sam jak licznik (i+1)-tego wyrażenia, w związku z tym możemy skrócić, bo to mnożenie. I potem po prostu skracamy nieskończenie wiele razy, gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności. Nie wiem czy tak formalnie można.
No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\). Widać, że mianownik itego wyrażenia jest taki sam jak licznik (i+1)-tego wyrażenia, w związku z tym możemy skrócić, bo to mnożenie. I potem po prostu skracamy nieskończenie wiele razy, gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności. Nie wiem czy tak formalnie można.
-
- Administrator
- Posty: 34540
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Granica z iloczynem
Ale widziałaś, że ten iloczyn jest tylko po liczbach pierwszych?Niepokonana pisze: ↑1 sty 2024, o 15:25No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 1 maja 2019, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Granica z iloczynem
Zauważamy, że $$ \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log\log n}} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right)^{\frac{1}{\log\log n}} = \left(\frac{1}{e}\right)^0 = 1 $$ oraz $$1 \ge \prod_{\substack{p|n \\ p > \log n}}{\left(1-\frac{1}{p}\right)} \ge \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} $$ Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę zadania. Wystarczy jeszcze tylko uzasadnić ostatnią nierówność: \(n\) nie może mieć więcej niż \(\log\log n \) dzielników pierwszych większych od \( \log n \), a każdy ze składników tego iloczynu musi być większy niż \(1-\frac{1}{\log n} \).