Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P(n)= \prod_{p|n , \\ p> \log(n)} (1- \frac{1}{p} )}\) dla \(\displaystyle{ n >1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P(n)=1}\)

Wystarczy wziąć podciąg złożony z liczb pierwszych:

\(\displaystyle{ P(p)}\)

No tak, przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (-1)^n = 1}\). Wystarczy wziąć podciąg złożony z liczb parzystych.

Człowieku w tym momencie podałeś ciąg, który nie jest zbieżny...

Teraz lepiej się wysil...

No a skąd wiesz czy \(P(n)\) jest zbieżny?

Ja przyjąłem to na wiarę bo Mol tak zasugerował...a to co napisałem oczywiście nie jest pełnym rozwiązaniem zadania moja była tylko sugestia i naprowadzenie a poza tym w założeniach do końca nie wiem czy p oznacza dowolny dzielnik czy tylko dzielnik pierwszy jak sugeruje zapis, więc jest to następne rozchwianie w tym zadaniu, które nie jest do końca spójne...

Och, ale to jest proste. Tylko, jak to zapisać formalnie. No bo tu następuje nieskończone skracanie wszystkich elementów

No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\). Widać, że mianownik itego wyrażenia jest taki sam jak licznik (i+1)-tego wyrażenia, w związku z tym możemy skrócić, bo to mnożenie. I potem po prostu skracamy nieskończenie wiele razy, gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności. Nie wiem czy tak formalnie można.

Niepokonana pisze: ↑1 sty 2024, o 15:25No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\).

Ale widziałaś, że ten iloczyn jest tylko po liczbach pierwszych?

JK

A nawet jeżeli nie po pierwszych, to po dzielnikach, więc też mało co sie poskraca

Zauważamy, że $$ \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log\log n}} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right)^{\frac{1}{\log\log n}} = \left(\frac{1}{e}\right)^0 = 1 $$ oraz $$1 \ge \prod_{\substack{p|n \\ p > \log n}}{\left(1-\frac{1}{p}\right)} \ge \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} $$ Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę zadania. Wystarczy jeszcze tylko uzasadnić ostatnią nierówność: \(n\) nie może mieć więcej niż \(\log\log n \) dzielników pierwszych większych od \( \log n \), a każdy ze składników tego iloczynu musi być większy niż \(1-\frac{1}{\log n} \).