Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P(n)= \prod_{p|n , \\ p> \log(n)} (1- \frac{1}{p} )}\) dla \(\displaystyle{ n >1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P(n)=1}\)

No tak, przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (-1)^n = 1}\). Wystarczy wziąć podciąg złożony z liczb parzystych.

No a skąd wiesz czy \(P(n)\) jest zbieżny?

Och, ale to jest proste. Tylko, jak to zapisać formalnie. No bo tu następuje nieskończone skracanie wszystkich elementów

No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\). Widać, że mianownik itego wyrażenia jest taki sam jak licznik (i+1)-tego wyrażenia, w związku z tym możemy skrócić, bo to mnożenie. I potem po prostu skracamy nieskończenie wiele razy, gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności. Nie wiem czy tak formalnie można.

Niepokonana pisze: 1 sty 2024, o 15:25No bo to jest \(\displaystyle{ \prod_{i=2}^{n} \frac{i-1}{i} }\).

Ale widziałaś, że ten iloczyn jest tylko po liczbach pierwszych?

JK

A nawet jeżeli nie po pierwszych, to po dzielnikach, więc też mało co sie poskraca

Zauważamy, że $$ \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log\log n}} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log n}\right)^{\frac{1}{\log\log n}} = \left(\frac{1}{e}\right)^0 = 1 $$ oraz $$1 \ge \prod_{\substack{p|n \\ p > \log n}}{\left(1-\frac{1}{p}\right)} \ge \left(1-\frac{1}{\log n}\right)^{\log_{\log n}n} $$ Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę zadania. Wystarczy jeszcze tylko uzasadnić ostatnią nierówność: \(n\) nie może mieć więcej niż \(\log\log n \) dzielników pierwszych większych od \( \log n \), a każdy ze składników tego iloczynu musi być większy niż \(1-\frac{1}{\log n} \).