Udowodnić, że liczba jest niewymierna

[max123321]

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n^2-4} }\) jest niewymierna.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Pod pierwiastkiem jest liczba naturalna, więc wystarczy wykazać, że ten pierwiastek nie jest liczbą naturalną. Załóżmy nie wprost, że istnieje liczba \(\displaystyle{ m\in \NN}\), dla której \(\displaystyle{ \sqrt{n^2-4}=m }\). To oznaczałoby, że
\(\displaystyle{ n^2-4=m^2}\) czyli
\(\displaystyle{ n^2-m^2=4}\) zatem
\(\displaystyle{ (n-m)(n+m)=4=1 \cdot 4=2 \cdot 2}\), a zatem skoro \(\displaystyle{ n,m}\) są liczbami naturalnymi to \(\displaystyle{ n-m,n+m}\) też muszą być całkowite i są to dzielniki \(\displaystyle{ 4}\). A zatem dostajemy dwa układy równań:
\(\displaystyle{ n-m=1}\)
\(\displaystyle{ n+m=4}\)
z tego wynika, że
\(\displaystyle{ 2n=5}\) i mamy sprzeczność, bo \(\displaystyle{ n\in \NN}\).
Drugi układ:
\(\displaystyle{ n-m=2}\)
\(\displaystyle{ n+m=2}\)
z tego wynika, że \(\displaystyle{ n=2}\), wbrew temu, że \(\displaystyle{ n \ge 3}\). A zatem w każdym przypadku mamy sprzeczność, w związku z czym ten pierwiastek nie jest naturalny zatem nie jest też wymierny.

Czy tak jest dobrze?

[Dynia5]

Aby udowodnić, że dla \(n \geq 3\) liczba \(\sqrt{n^2 - 4}\) jest niewymierna (czyli nie jest liczbą wymierną, czyli ułamkiem postaci \(\frac{a}{b}\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami całkowitymi, możemy zastosować dowód przez sprzeczność. Załóżmy, że \(\sqrt{n^2 - 4}\) jest wymierna dla pewnego \(n \geq 3\). Oznacza to, że możemy zapisać:

\(\sqrt{n^2 - 4} = \frac{a}{b}\),

gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami całkowitymi, a \(\frac{a}{b}\) jest uproszczon postacią ułamka.

Teraz możemy przekształcić tę równość, aby uzyskać:

\(n^2 - 4 = \frac{a^2}{b^2}\),

czyli

\(n^2 b^2 - 4b^2 = a^2\).

Równość ta oznacza, że \(a^2\) jest liczbą podzielną przez \(b^2\) co sugeruje, że \(a\) musi być liczbą podzielną przez \(b\), ponieważ \(b\) jest liczbą całkowitą większą od zera. Oznaczmy \(a = kb\), gdzie \(k\) jest jakąś liczbą całkowitą.

Podstawiając to do równania, otrzymujemy:

\(n^2 b^2 - 4b^2 = (kb)^2\),

\(n^2 - 4 = k^2\).

Teraz mamy równość \(n^2 - 4 = k^2\), co oznacza, że \(n^2\) różni się od \(k^2\) o \(4\). Jednak dla \(n \geq 3\), \(n^2\) różni się od \(k^2\) o co najmniej \(5\), ponieważ \(n^2 - k^2 \geq (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 \geq 7\) (z uwzględnieniem \(n \geq 3\)).

To jest sprzeczność - nie możemy mieć równocześnie \(n^2 - 4 = k^2\) i \(n^2 - k^2 \geq 7\).

Zatem założenie, że \(\sqrt{n^2 - 4}\) jest liczbą wymierną, jest błędne, a zatem \(\sqrt{n^2 - 4}\) musi być liczbą niewymierną dla \(n \geq 3\).

[Janusz Tracz]

Czy tak jest dobrze?

Jest ok. Choć można krócej. Jak słusznie zauważyłeś i Dynia5 też o tym pisał \(\displaystyle{ n^2-4}\) musiałoby być kwadratem. Wystarczy więc zauważyć, że nie jest. A nie jest bo dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy

\(\displaystyle{ (n-1)^2<n^2-4<n^2.}\)

Zatem \(\displaystyle{ n^2-4}\) siedzi zawsze pomiędzy pełnymi kwadratami \(\displaystyle{ \blacksquare}\)