Iloczyny

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5).}\)

[a4karo]

OZnaczmy lewą stronę równości przez `L(x)` a prawa przez `P(x)`. Widać, że dla `x=0` obie strony są równe. Z drugiej strony funkcja `R(x)-L(x)=28x^3+308x` jest ściśle rosnąca, zatem `x=0` jest jedynym rozwiązaniem

[mol_ksiazkowy]

A elementarnie...?

[a4karo]

A co w tym jest nieelementarnego?

[Jan Kraszewski]

A elementarnie...?

Zamiast argumentu o funkcji rosnącej możesz zauważyć, że wielomian \(\displaystyle{ x^2+11}\) nie ma pierwiastków...

JK

[mol_ksiazkowy]

A elementarnie... czyli bez odwoływanie sie do funkcji... tj. np. do podstawienia \(\displaystyle{ a=x^2-7x+10}\) , \(\displaystyle{ b = x^2+7x+10 }\) itp.

[a4karo]

Jeżeli bardzo lubisz, to masz:
\begin{align}
(x^2-7x+10)(x^2-7x+12)&=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)\\
[(x^2-7x+11)-1][x^2-7x+11)+1]&=[(x^2+7x+11)-1][x^2+7x+11)+1]\\
(x^2-7x+11)^2-1&=(x^2+7x+11)^2-1\\
(x^2-7x+11)^2-(x^2+7x+11)^2&=0\\
-14x(2x^2+22)&=0
\end{align}