Ciekawe zadanie z bardzo starej matury

[finiteelementmethod]

Dzień dobry wszystkim Użytkownikom tego Forum,
to mój pierwszy post, więc wybaczcie ewentualne potknięcia.
Wczoraj odnalazłem w piwnicy stary zeszyt, w którym trenował sobie rozwiązywanie zadań do matury (maturę pisałem w zeszłym wieku). Natknąłem się na jedno interesujące zadanie, którego wtedy, wiele lat temu, nie udało mi się rozwiązać. Niestety, nie znam jego dokładnej treści, mam tylko na marginesie numer zadania (10) i gwiazdkę, że podobno trudne. Dotyczy równań wykładniczych.

Domyślam się więc, że polecenie jest takie: rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 2^{x} + 3^{y} = 25 }\)
jeśli wiadomo, że:
\(\displaystyle{ x+y=6 }\)

Wtedy nie udało mi się tego rozwiązać. Wczoraj jedno z rozwiązań wydumałem sam: x=4 i y=2 (zgadłem, bez formalnego rozwiązania). Okazuje się, że istnieje jeszcze jedno rozwiązanie, które wyznaczyłem numerycznie:
\(\displaystyle{ x \approx 3.8724 \wedge y \approx 2.1276 }\)
ale ponownie nie udało mi się znaleźć tego rozwiązania w sposób ,,uczciwy".

Czy ktoś z Was umie to rozwiązać? A może ktoś poznaje to zadanie? Mogło być w zbiorze zadań maturalnych. Nie ukrywam też, że nie znam dokładnej treści zadania. Nie wiem więc, czy np. zbiór rozwiązań nie był ograniczony tylko do liczb naturalnych, czy może do rzeczywistych. A może inaczej - czy takie równanie nie jest trochę zbyt skomplikowane jak na (nawet starą) maturę?

[a4karo]

Matematyka jest bardzo uboga w narzędzia i wielu, na pozór prostych, rzeczy nie potrafi rozwiązać.
Tu łatwo pokazać, że rozwiązania mogą być co najwyżej dwa: `2^2+3^{6-x}` jest funkcją wypukła, więc każdą wartość może przyjmować max 2 razy. Ale w takiej formie to z pewnością nie jest zadanie na maturę, nawet starą.

Chyba że chodzi o rozwiązania całkowite. Wtedy pokazujesz, że wartość tej funkcji dla `x=4` jest `25` .
Dla `x\ge 5` mamy `2^x+3^{6-x}>2^5>25` a dla `x\le 3` jest `2^x+3^{6-x}>3^3=27>25`, więc innych rozwiązań całkowitych nie ma.

[finiteelementmethod]

Bardzo dziękuję za ten post. Jak wspominałem wcześniej, nie znam dokładnego polecenia do tego zadania. Próbowałem rozwiązywać ten układ różnymi metodami, ale zawsze dostawałem równania przestępne, a w zasadzie nieprzywiedlne do jakiejś elementarnej postaci.

[arek1357]

Według mnie ten układ równań na maturze mógł brzmieć tak:

"Rozwiąż ten układ w liczbach całkowitych" i to miałoby większy sens...

[kerajs]

Sądziłem, że to przykład ze zbioru zadań Gdowskiego/Plucińskiego, lecz tam go nie znalazłem.

Drugi typ to: ''Matura, zbiór zadań'' Cewe, Grajek i Nahorska. I tu, w części II (wydanie z 1998 roku) na stronie 8 jest zadanie 10 o treści:

Znajdź wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=6 \\ 2^{x} + 3^{y} = 25 \end{cases} }\)

Ponadto, zadanie to opatrzone jest symbolem * , którym oznaczano ''zadania o podwyższonym stopniu trudności, których bezbłędne rozwiązanie stanowiło podstawę wystawienia oceny celującej''.

[arek1357]

Znajdź wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających układ równań:

A nie mówiłem jestem przewidujący...mimo iż iż nie widziałem ani tych zbiorów ani nic wspólnego z wszelkimi maturami nie mam...

[finiteelementmethod]

Jeszcze raz bardzo dziękuję za wszystkie odpowiedzi! To mi wiele wyjaśniło. Najbardziej się cieszę z tego, że już wiem z jakiego zbioru pochodzi to zadanie. Tak, to jest właśnie z Cewe, Grajek i Nahorskiej (taka błękitna albo zielona okładka to była, tyle pamiętam). I teraz już wiem z jakiego zbioru przygotowywałem się do matury. W zeszycie mam też zapisane to zadanie w postaci układu. Wtedy, niestety, chyba nie doczytałem, że chodzi o rozwiązanie w całkowitych i próbowałem rozwiązać to zadanie w rzeczywistych. Na koniec przerwałem obliczenia i chyba dobrze zrobiłem. A po latach na rozwiązanie x=4 i y=2 wpadłem bez obliczeń. Oczywiście, wiem już też jak to rozwiązanie uzasadnić (post a4karo). No i jeszcze bardzo cenna jest ta uwaga o funkcji wypukłej

A ci autorzy to chyba nie tylko ten zbiór wydali, ale również tablice matematyczne (mogłem je mieć podczas matury). Takie z fioletową okładką.

[kerajs]

Tak, to jest właśnie z Cewe, Grajek i Nahorskiej (taka błękitna albo zielona okładka to była, tyle pamiętam).

Zielony kolor okładki miała część I, a niebieski część II (ta zawierała zadania z matur klas o profilu matematyczno-fizycznym).
Z tej samej serii i z współautorstwem Alicji Cewe był jeszcze wtedy żółty zbiór z zadaniami z egzaminów wstępnych i pomarańczowy z testami wielokrotnego wyboru,

A ci autorzy to chyba nie tylko ten zbiór wydali, ale również tablice matematyczne (mogłem je mieć podczas matury). Takie z fioletową okładką.

Tak, tablice miały fioletową (późniejsze wydania niebieską) okładkę.

W kolejnych latach, już w tym tysiącleciu, wydawnictwo Podkowa wydało (i nadal wydaje) kolejne książki z okładkami nawiązującymi do szaty graficznej wspomnianych powyżej zbiorów zadań i tablic matematycznych.