Nieparzyste liczby pierwsze a liczby naturalne

[Straczynski]

Dzień dobry,

chcę opisać tutaj pewną strukturę dotyczącą liczb pierwszych którą zauważyłem podczas rozważań nad hipotezą Goldbacha. Co za tym idzie elementy które należy mieć na uwadze to:

- liczby naturalne parzyste większe od \(\displaystyle{ 2}\),
- pary liczb pierwszych których suma jest równa kolejnym ww. liczbom.

Aby wyjaśnić tę strukturę należy zapisać kolejne liczby parzyste, w formie ciągu liczby który rozpoczyna \(\displaystyle{ 0}\), kolejne elementy ciągu są większe o \(\displaystyle{ 1}\) od poprzedniego elementu. Ciąg kończy dana liczba parzysta.

Czyli dla \(\displaystyle{ 4}\) będzie to: \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\) a dla \(\displaystyle{ 6}\) będzie to \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6}\).

Każdy z tych ciągów ma nieparzystą liczbę elementów ponieważ uwzględniamy w nich liczbę 0. Nieparzysta liczba elementów oznacza, że w każdym ciągu istnieje wartość która jest średnią arytmetyczną znajdujących się w nim liczb (liczba na środku).

Następnie zapisane w ten sposób ciągi należy wyobrazić ułożone jeden pod drugim, gdzie na samej górze jest ciąg dla \(\displaystyle{ 4}\) a niżej są ciągi kolejnych liczb parzystych. Należy uwzględnić by ww. średnie znajdowały się jedna pod drugą. Powstanie struktura która będzie przypominać piramidę. Tu rysunek:

Następnie w tej piramidzie oznaczamy liczby pierwsze które mogą w parze utworzyć sumę dla danej liczby parzystej dla której jest wpisany ciąg liczb (na rysunku są niebieskie).

Aby wyłonić strukturę, należy wykonać następującą procedurę:

1. Wybrać jakąś liczbę \(\displaystyle{ a}\) dla której stworzony jest "poziom piramidy"
2. Odnotować które liczby pierwsze są mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\)
3. Policzyć ile razy występuje każda z odnotowanych liczb pierwszych w piramidzie dla której ostatnim (dolnym) poziomem jest poziom \(\displaystyle{ a}\) (włącznie z nim). Dla każdej odnotowanej liczby pierwszej powstanie więc liczba odnosząca się do tej ilości. W zliczaniu uwzględniamy tylko oznaczone na niebiesko liczby pierwsze (te które tworzą sumy dwóch liczb pierwszych).
4. Następnie policzyć znów ilość tych pierwszych ale dla lewej strony piramidy (bez środkowej kolumny).
5. Następnie dla każdej z odnotowanych liczb pierwszych odjąć jej ilość w piramidzie od ilości po lewej stronie piramidy.

Wygląda na to, że dla dowolnej \(\displaystyle{ a}\) wyniki dla liczb pierwszych będą zawsze te same i będą to kolejne liczby naturalne:

dla \(\displaystyle{ 3}\) będzie \(\displaystyle{ 1}\),
dla \(\displaystyle{ 5}\) będzie \(\displaystyle{ 2}\),
dla \(\displaystyle{ 7}\) będzie \(\displaystyle{ 3}\),
dla \(\displaystyle{ 11}\) będzie \(\displaystyle{ 4}\),
dla \(\displaystyle{ 13}\) będzie \(\displaystyle{ 5}\),
itd.

Zgodnie z ww. przekształceniem wynik przekształcenia dla pierwszej \(\displaystyle{ P_{n} }\) to \(\displaystyle{ n-1}\).

Przykład:
\(\displaystyle{ a = 38}\)
Liczby pierwsze mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) to \(\displaystyle{ 3, 5, 7, 11, 13, 17}\) można policzyć te które mogą tworzyć sumę w parze:
\(\displaystyle{ 3}\) występuje \(\displaystyle{ 10}\) razy i \(\displaystyle{ 9}\) razy po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 5}\) występuje \(\displaystyle{ 10}\) razy i \(\displaystyle{ 8}\) razy po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 7}\) występuje \(\displaystyle{ 10}\) razy i \(\displaystyle{ 7}\) razy po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 11}\) występuje \(\displaystyle{ 8}\) razy i \(\displaystyle{ 4}\) razy po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ 13}\) występuje \(\displaystyle{ 8}\) razy i \(\displaystyle{ 3}\) razy po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ 17}\) występuje \(\displaystyle{ 7}\) razy i \(\displaystyle{ 1}\) raz po lewej stronie, różnica wynosi \(\displaystyle{ 6}\)

Testowałem to dla różnych \(\displaystyle{ a}\) i zawsze wskazane różnice były kolejnymi liczbami naturalnymi, które "numerowały" kolejne liczby pierwsze. Istnieje więc arytmetyczno-geometryczny sposób by liczby pierwsze sprowadzić do takiej postaci odnosząc się do ich rozmieszczenia wśród liczb naturalnych.

Czy widzicie w tym jakiś punkt zaczepienia by obliczeniowo sprawdzać duże liczby \(\displaystyle{ a}\) bez konieczności rysowania całej piramidy?

Dodano: aby wskazana metoda działała, liczby pierwsze dla których obliczamy różnice (oznaczone na niebiesko) muszą znajdować się po lewej stronie piramidy.

[Dasio11]

Twoja obserwacja mówi, że dla ustalonej liczby parzystej \(\displaystyle{ a}\) i nieparzystej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p_n < \frac{a}{2}}\) istnieje dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) liczb parzystych \(\displaystyle{ b \le a}\) (poziomów piramidy), spełniających \(\displaystyle{ p_n \ge \frac{b}{2}}\) (tj. \(\displaystyle{ p_n}\) jest po prawej stronie piramidy) oraz takich, że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) spełniająca \(\displaystyle{ p_n + q = b}\) (tj. \(\displaystyle{ p_n}\) jest niebieska na poziomie \(\displaystyle{ b}\)). Jest to prawda, bo takimi liczbami są dokładnie \(\displaystyle{ b = p_n + p_2, p_n + p_3, \ldots, p_n + p_n}\) i jest ich \(\displaystyle{ n-1}\). Jednak nie jest możliwe, by ta obserwacja wyjaśniała cokolwiek nietrywialnego w odniesieniu do hipotezy Goldbacha, bo jej prawdziwość nie opiera się na fakcie, że rozważane liczby są pierwsze - analogiczną obserwację można sformułować dla dowolnego rosnącego ciągu liczb nieparzystych.

[Straczynski]

Dzięki za odpowiedź.

Jednak nie jest możliwe, by ta obserwacja wyjaśniała cokolwiek nietrywialnego w odniesieniu do hipotezy Goldbacha, bo jej prawdziwość nie opiera się na fakcie, że rozważane liczby są pierwsze - analogiczną obserwację można sformułować dla dowolnego rosnącego ciągu liczb nieparzystych.

Jeśli tak jest, to nie rozumiem jednej rzeczy. Poniżej przedstawię dwa przykłady dla \(\displaystyle{ a=28}\)

1) Przeprowadzam procedurę "ilość w piramidzie odjąć ilość po lewej stronie" dla wszystkich liczb nieparzystych (niezależnie od ich kolorów):

\(\displaystyle{ 1}\) ma wynik \(\displaystyle{ 14-13=1}\)
\(\displaystyle{ 3}\) ma wynik \(\displaystyle{ 13-11=2}\)
\(\displaystyle{ 5}\) ma wynik \(\displaystyle{ 12-9=3}\)
\(\displaystyle{ 7}\) ma wynik \(\displaystyle{ 11-7=4}\)
\(\displaystyle{ 9}\) ma wynik \(\displaystyle{ 10-5=5}\)
\(\displaystyle{ 11}\) ma wynik \(\displaystyle{ 9-3=6}\)
\(\displaystyle{ 13}\) ma wynik \(\displaystyle{ 8-1=7}\)

Dla liczb nieparzystych uzyskałem ciąg kolejnych liczb naturalnych.

2) Teraz przeprowadzam ww. procedurę tylko dla liczb pierwszych nieparzystych zliczając tylko niebieskie:

\(\displaystyle{ 3}\) ma wynik \(\displaystyle{ 8-7=1}\)
\(\displaystyle{ 5}\) ma wynik \(\displaystyle{ 8-6=2}\)
\(\displaystyle{ 7}\) ma wynik \(\displaystyle{ 7-4=3}\)
\(\displaystyle{ 11}\) ma wynik \(\displaystyle{ 6-2=4}\)

Jak wyjaśnić brak związku ze zjawiskiem pierwszości jeśli kiedy pomijam niektóre liczby nieparzyste (wszak używam tylko pierwszych) i w dodatku zliczam tylko niektóre pierwsze (tylko niebieskie) to uzyskuje taki sam ciąg wyników \(\displaystyle{ 1,2,3,4...}\) Właściwie tylko do tego ogranicza się ta obserwacja.

[Dasio11]

Jak wyjaśnić brak związku ze zjawiskiem pierwszości jeśli kiedy pomijam niektóre liczby nieparzyste (wszak używam tylko pierwszych) i w dodatku zliczam tylko niektóre pierwsze (tylko niebieskie) to uzyskuje taki sam ciąg wyników \(\displaystyle{ 1,2,3,4...}\)

Nie jestem pewien czy rozumiem pytanie, ale gdybyś użył jakiegokolwiek innego rosnącego ciągu liczb nieparzystych w miejsce liczb pierwszych, choćby nawet był generowany losowo, i tak dostałbyś taki sam wynik. A zatem - obserwacja nie ma z liczbami pierwszymi nic wspólnego.

[Straczynski]

Pospieszyłem się z odpowiedzią dlatego edycja - zobaczę i dam znać

Dobra, już wszystko jasne. Masz rację. Pierwsze robią ładne wzorki ale oczywiste jest teraz, że działa dla dowolnych. W sumie to zauważyłem temat przypadkiem szukając innej rzeczy i pospieszyłem się najwyraźniej nie rozumiejąc do końca dość prostego działania tej piramidy