Warstwy lewostronne i prawostronne
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Warstwy lewostronne i prawostronne
Znajdź wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy symetrii trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ S_{3}}\) względem podgrupy obrotów.
Czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ S_{3}=\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}}\) a \(\displaystyle{ H=\{(1,2,3),(1,3,2)\}}\)
Tylko nie wiem, co z tym dalej zrobić.
Czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ S_{3}=\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}}\) a \(\displaystyle{ H=\{(1,2,3),(1,3,2)\}}\)
Tylko nie wiem, co z tym dalej zrobić.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
Tak. Teraz wystarczy skorzystać z definicji (którą powinnaś znać):
warstwa lewostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{gh:h\in H\},}\)
warstwa prawostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{hg:h\in H\}.}\)
JK
warstwa lewostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{gh:h\in H\},}\)
warstwa prawostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{hg:h\in H\}.}\)
JK
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
Żeby nie musieć liczyć, trzeba widzieć, dlaczego nie trzeba. Obawiam się, że to nie jest ta sytuacja.
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
To właśnie dlatego pytam, żeby się dowiedzieć.
Czyli tutaj jest składanie tych permutacji? I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?
Czyli tutaj jest składanie tych permutacji? I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
Tak.
Bierzesz jeden element \(\displaystyle{ S_3}\), a potem liczysz wszystkie jego złożenia z elementami \(\displaystyle{ H}\). Zbiór wyników to odpowiednia warstwa. Liczenia jest dość dużo (sześć elementów, dla każdego dwie warstwy - lewa i prawa), ale może jak trochę policzysz, to zauważysz jakąś prawidłowość.
Bo jak się trochę rozumie sytuację, to tu faktycznie nie ma co liczyć...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
A jak składam dwa obroty ze sobą to wychodzi Id, albo obrót, czyli to nie należy już do warstw?
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
Zasugerowałam się tym.
Czyli w każdej warstwie - zarówno lewostronnej i prawostronnej dla każdego elementu z \(\displaystyle{ H}\) dostajemy zbiór równy \(\displaystyle{ S_{3}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
No skąd. Dalej nie rozumiesz pojęcia warstwy. Każda warstwa podgrupy \(\displaystyle{ H}\) jest takim "przesunięciem" \(\displaystyle{ H}\), więc w szczególności każda warstwa ma tyle samo elementów co \(\displaystyle{ H}\), czyli trzy.
Każda warstwa elementu z \(\displaystyle{ H}\) jest równa \(\displaystyle{ H}\) - zastanów się dlaczego.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
A mogę prosić o rozpisanie jednego przykładu, bo może coś źle liczę.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Warstwy lewostronne i prawostronne
Na przykład warstwę lewostronną dla elementu \(\displaystyle{ (3,1,2)}\) policzyłam tak:
\(\displaystyle{ id\circ(3,1,2)=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (1,2)\circ(3,1,2)=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)\circ(3,1,2)=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,3)\circ(3,1,2)=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ(3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (2,3,1)\circ(3,1,2)=id }\)
\(\displaystyle{ id\circ(3,1,2)=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (1,2)\circ(3,1,2)=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)\circ(3,1,2)=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,3)\circ(3,1,2)=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ(3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (2,3,1)\circ(3,1,2)=id }\)