Odsunięcie elipsy
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Odsunięcie elipsy
Witam,
czy jest jakaś literatura, w której znajdę matematyczny dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą (ponieważ odległości w kierunku normalnym pomiędzy odpowiadającymi sobie punktami na 2 współśrodkowych elipsach nie są równe na całym obwodzie elipsy) ? Jest to opisane w książkach do geometrii ? Na co dzień nie korzystam z takich podręczników, więc nie wiem gdzie szukać.
Z góry dziękuję za pomoc.
czy jest jakaś literatura, w której znajdę matematyczny dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą (ponieważ odległości w kierunku normalnym pomiędzy odpowiadającymi sobie punktami na 2 współśrodkowych elipsach nie są równe na całym obwodzie elipsy) ? Jest to opisane w książkach do geometrii ? Na co dzień nie korzystam z takich podręczników, więc nie wiem gdzie szukać.
Z góry dziękuję za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Mam na myśli krzywą równoległą. W praktyce (programy CAD) nazywa się to offsetem a po polsku odsunięciem:
Kod: Zaznacz cały
en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Bardzo dziękuję za szczegółowe rozpisanie tego, nie myślałen, że to aż tak złożona kwestia. Jestem ciekaw czy w literaturze też można znaleźć takie wyprowadzenia, ale pewnie nic z tego.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Odsunięcie elipsy
To chyba nie jest aż tak skomplikowane:
Przypuśćmy, że równanie danej elipsy `E` to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\).
Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych o `d` od niej jest elipsa `E_d` o równnaiu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\).
Prosta `y=x\tan t` przecina elipsę `E` w punkcie `P=(a\cos t, b\sin t)` a elipsę `E_d` w punkcie `Q=((a+d)\cos t,(b+d)\sin t)`. Odległość tych dwóch punktów wynosi `d`.
Jeżeli teraz narysujemy koło o środku `Q` i promieniu `d`, to to koło nie będzie styczne do elipsy w `P ` (sprawdź to), a zatem część elipsy znajdzie się w jego wnętrzu. A to znaczy, że odległość punkty `Q` od elipsy jest mniejsza niż d. Zatem elipsa `E_d` nie jest krzywą odsuniętą od `E` o `d`
Przypuśćmy, że równanie danej elipsy `E` to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\).
Jedynym kandydatem wśród elips odsuniętych o `d` od niej jest elipsa `E_d` o równnaiu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(a+d)^2}+\frac{y^2}{(b+d)^2}=1}\).
Prosta `y=x\tan t` przecina elipsę `E` w punkcie `P=(a\cos t, b\sin t)` a elipsę `E_d` w punkcie `Q=((a+d)\cos t,(b+d)\sin t)`. Odległość tych dwóch punktów wynosi `d`.
Jeżeli teraz narysujemy koło o środku `Q` i promieniu `d`, to to koło nie będzie styczne do elipsy w `P ` (sprawdź to), a zatem część elipsy znajdzie się w jego wnętrzu. A to znaczy, że odległość punkty `Q` od elipsy jest mniejsza niż d. Zatem elipsa `E_d` nie jest krzywą odsuniętą od `E` o `d`
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Nie jest to aż tak bardzo złożone co właśnie pokazał a4karo. To jedynie mój pomysł był złożony bo wybrałem nie najlepszy sposób opisu elipsy. I nie pomyślałem o tym co napisał a4karo. Choć w jego rozumowaniu jest mikro luka (a przynajmniej tak mi się zdaje)
Niekoniecznie. Czysto teoretycznie mogło by się tak zdarzyć, że półosie \(\displaystyle{ E_d}\) nie będą się pokrywać z osiami układu. Tak się nie stanie w co można uwierzyć ale czy nie wymaga to komentarza podczas dowodu (kwestia uznania). W sumie to chyba ten sam zarzut można postawić mi. Tak czy inaczej spodobało mi się, że mój pomysł korzysta z algebry liniowej co jest raczej nieoczekiwane i dlatego to napisałem. Inną kwestią jest to, że pewnie można by to było zrobić czysto geometrycznie i dużo prościej.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2022, o 10:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Nie może, bo wtedy odbicie symetryczne względem osi też by było i syna też i... Tu wkracza Kubuś Puchatek
Ostatnio zmieniony 19 lis 2022, o 15:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7935
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Przesunięcia równoległe krzywych.
Równanie parametrczne paraboli:
\(\displaystyle{ \mathcal{P}(t)= (t, \ \ t^2) }\)
Obliczamy współrzędne wektora stycznego
\(\displaystyle{ \mathcal{P'}(t) = (1, \ \ 2t) }\)
Obliczamy współrzędne wektora normalnego
\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{P}}(t) = \left(\frac{-2t}{\sqrt{1 + 4t^2}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right).}\)
Przesunięcie równoległe paraboli na odległość \(\displaystyle{ d }\) w kierunku wektora normalnego:
\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{P}} (t) = \left( t - d \frac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}, \ \ t^2 + d \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right). }\)
Przesunięcie równoległe elipsy .
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(t) = ( a\cos(t), \ \ b\sin(t)) }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E'}(t) = (-a\sin(t), \ \ b\cos(t), \ \ t\in (0, \ \ 2\pi)).}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{E}}(t) = \left(\frac{-b\cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}, \ \ \frac{-a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}\right),}\)
\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{E}}(t) = \left(a\cos(t) - d \frac{b \cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2\cos^2(t)}}, \ \ b\sin(t) - d \frac{a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}} \right).}\)
Równanie parametrczne paraboli:
\(\displaystyle{ \mathcal{P}(t)= (t, \ \ t^2) }\)
Obliczamy współrzędne wektora stycznego
\(\displaystyle{ \mathcal{P'}(t) = (1, \ \ 2t) }\)
Obliczamy współrzędne wektora normalnego
\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{P}}(t) = \left(\frac{-2t}{\sqrt{1 + 4t^2}}, \ \ \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right).}\)
Przesunięcie równoległe paraboli na odległość \(\displaystyle{ d }\) w kierunku wektora normalnego:
\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{P}} (t) = \left( t - d \frac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}, \ \ t^2 + d \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}} \right). }\)
Przesunięcie równoległe elipsy .
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(t) = ( a\cos(t), \ \ b\sin(t)) }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E'}(t) = (-a\sin(t), \ \ b\cos(t), \ \ t\in (0, \ \ 2\pi)).}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}_{\mathcal{E}}(t) = \left(\frac{-b\cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}, \ \ \frac{-a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+ b^2\cos^2(t)}}\right),}\)
\(\displaystyle{ \vec{O}_{\mathcal{E}}(t) = \left(a\cos(t) - d \frac{b \cos(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2\cos^2(t)}}, \ \ b\sin(t) - d \frac{a\sin(t)}{\sqrt{a^2\sin^2(t)+b^2\cos^2(t)}} \right).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Odsunięcie elipsy
@janusz47 staram się zrozumieć co skłoniło Cię do napisania tego postu. Jeśli sądzisz, że to jest dowód na to, że odsunięcie elipsy nie jest elipsą to się mylisz. To, że wzór nie wygląda na równanie elipsy to jeszcze nic nie znaczy. Tak jak \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x}\) nie wygląda jak \(\displaystyle{ 1}\). No chyba, że miałeś inne motywacje piszą ten post?
@janusz47 mogę prosić o konkretną stronę tej książki, gdzie znajdę odpowiedź na pytanie StudentIB?
-
- Użytkownik
- Posty: 7935
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Przedstawiłem procedurę przesuwania krzywych (paraboli, elipsy) wzdłuż kierunku wektora normalnego.
W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?
W cytowanej książce nie ma odpowiedzi na pytanie czy przesunięta krzywa jest tą samą krzywą?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Nie wiem. To Ty cytujesz książkę która ma ponad 360 stron. Rozumiem, że StudentIB ma sobie poszukać? A jak nie znajdzie to znaczy, że źle szukał?
PS tak wiem, że jest coś takiego jak spis treści... ale w dziale o odsunięciach nie znalazłem nic na temat elipsy. Dlatego ponawiam prośbę o podanie konkretnej strony na której znajdziemy odpowiedź na pytanie StudentIB.
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Odsunięcie elipsy
Dziękuję za kolejne odpowiedzi. Zajrzałem do tej książki, ale niestety wygląda na to, że nie ma tam informacji o odsunięciu elipsy. Niemniej jednak jest to dobry trop i może musiałbym poszukać w innych książkach tego typu (geometria w grafice komputerowej / CAD).