Liczby zespolone ilość rozwiązań.

[Jan Kraszewski]

I w sumie to chyba o te zmienne głównie miałem problem ze zrozumieniem. Bo \(\displaystyle{ x^n}\) to i zmienna i funkcja,

\(\displaystyle{ x^n}\) to nie jest zmienna, tylko iloczyn zmiennych: \(\displaystyle{ x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{ razy}}.}\) I ten iloczyn zmiennych może być interpretowany jako funkcja.

to \(\displaystyle{ y = x^2}\) to już nie jest zmienna ale jest funkcją. Jakby niby \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną ale ma podaną funkcję.

\(\displaystyle{ y}\) jest zmienną, \(\displaystyle{ x^2}\) jest iloczynem zmiennych, a równość \(\displaystyle{ y = x^2}\) jest sposobem opisu pewnego przyporządkowania \(\displaystyle{ x\mapsto y}\).

Gdybym miał \(\displaystyle{ y = x^2, w = y^2 + y}\) to czy "w" tutaj jest wielomianem ? Patrząc na to czy y jest jednomianem ?

A tutaj masz chaos. \(\displaystyle{ y^2 + y}\) jest wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ y}\), zaś \(\displaystyle{ x^2}\) jest wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Zapis \(\displaystyle{ w = y^2 + y}\) oznacza, że zmiennej \(\displaystyle{ w}\) przypisujesz wartość \(\displaystyle{ y^2 + y}\), a zapis \(\displaystyle{ y = x^2}\) oznacza, że zmiennej \(\displaystyle{ y}\) przypisujesz wartość \(\displaystyle{ x^2}\).

Bo w sumie podobnie jest z zespolonymi \(\displaystyle{ z = x+jy, z^2+z = 0}\) To w sumie "z" jest funkcją, i jest też jednomianem.

Mieszasz różne rzeczy ze sobą. \(\displaystyle{ z^2+z}\) jest wielomianem zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Korzystając z wiadomości o liczbach zespolonych możesz liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ z=x+jy}\), czyli jako pewien dwumian.

Dlatego też miałem problem ze zrozumieniem innych funkcji. Np mogłem równie dobrze też zapisać \(\displaystyle{ y = 2^z}\) i napisać \(\displaystyle{ y^2 +1 = 0 }\) no i czy teraz 'y' jest jednomianem ?

Samo \(\displaystyle{ y}\) zawsze jest jednomianem (tylko co z tego?), \(\displaystyle{ y^2 +1}\) jest wielomianem, a zapis \(\displaystyle{ y = 2^z}\) oznacza, że zmiennej \(\displaystyle{ y}\) przypisujesz wartość \(\displaystyle{ 2^z}\).

JK

[Xenon02]

Dlatego też miałem problem ze zrozumieniem innych funkcji. Np mogłem równie dobrze też zapisać \(\displaystyle{ y = 2^z}\) i napisać \(\displaystyle{ y^2 +1 = 0 }\) no i czy teraz 'y' jest jednomianem ?

Samo \(\displaystyle{ y}\) zawsze jest jednomianem (tylko co z tego?), \(\displaystyle{ y^2 +1}\) jest wielomianem, a zapis \(\displaystyle{ y = 2^z}\) oznacza, że zmiennej \(\displaystyle{ y}\) przypisujesz wartość \(\displaystyle{ 2^z}\).

No to dobra popatrzmy na to teraz tak : \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0 \Longrightarrow y_1 = 1 \vee y_2 = -1}\), i mogłem to policzyć pomimo że \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją zapisaną \(\displaystyle{ y = 2^x}\) ? I co ten wynik w sumie mi mów ? Że mam -1 i 1 bo jak podstawię zamiast \(\displaystyle{ y}\) właśnie to \(\displaystyle{ 2^x}\) do tego równania \(\displaystyle{ y^2-1 = 0}\) miałbym raczej kompletnie inne liczby. Albo podstawienie wyników do tego równania na \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ -1 = 2^x \vee 1 = 2^x}\) ?
Dla \(\displaystyle{ y}\) w tej funkcji \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0 }\) się zeruje w pewnych miejscach ale co to mi mówi kiedy podstawię te liczby gdzie \(\displaystyle{ x = 0}\) do funkcji \(\displaystyle{ y = 2^x}\) np \(\displaystyle{ -1 = 2^x \Rightarrow -1 = 2^0 \Rightarrow -1 \ne 1}\). Albo jakbym zamiast funkcji \(\displaystyle{ y = 2^x}\) dał co innego np \(\displaystyle{ y = \sqrt{x}. }\)

Tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją tak samo jako \(\displaystyle{ \sin(x)}\), Więc trochę nie wiem jak na to patrzeć kiedy raz \(\displaystyle{ y}\) można traktować jak zmienną a raz jak funkcję. Natomiast taki \(\displaystyle{ \sin(x)}\) albo \(\displaystyle{ j\Re(z)}\) to tylko funkcje.

[Jan Kraszewski]

Zaczynasz rozumieć, że te znaczki zawsze coś znaczą...

No to dobra popatrzmy na to teraz tak : \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0 \Longrightarrow y_1 = 1 \vee y_2 = -1}\), i mogłem to policzyć pomimo że \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją zapisaną \(\displaystyle{ y = 2^x}\) ?

Tak.

I co ten wynik w sumie mi mów ?

Ze równanie \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0}\) ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ y=1}\) i \(\displaystyle{ y=-1}\).

Że mam -1 i 1 bo jak podstawię zamiast \(\displaystyle{ y}\) właśnie to \(\displaystyle{ 2^x}\) do tego równania \(\displaystyle{ y^2-1 = 0}\) miałbym raczej kompletnie inne liczby.

Bo wtedy będziesz rozwiązywał inne równanie: \(\displaystyle{ \left( 2^x\right)^2-1=0 }\).

Albo podstawienie wyników do tego równania na \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ -1 = 2^x \vee 1 = 2^x}\) ?

To znaczy, że rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \left( 2^x\right)^2-1=0 }\) możesz zastosować podstawienie pomocnicze \(\displaystyle{ y = 2^x}\), otrzymać równanie \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0}\), rozwiązać je: \(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\), a następnie zastosować podstawienie powrotne i otrzymać \(\displaystyle{ -1 = 2^x \vee 1 = 2^x}\), co należy jeszcze rozwiązać.

Dla \(\displaystyle{ y}\) w tej funkcji \(\displaystyle{ y^2 - 1 = 0 }\) się zeruje w pewnych miejscach ale co to mi mówi kiedy podstawię te liczby gdzie \(\displaystyle{ x = 0}\) do funkcji \(\displaystyle{ y = 2^x}\) np \(\displaystyle{ -1 = 2^x \Rightarrow -1 = 2^0 \Rightarrow -1 \ne 1}\).

Jak podstawisz liczbę zero, to dowiesz się, że jest ono rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \left( 2^x\right)^2-1=0 }\), ale tego akurat nie dowiesz się z tego podstawienia, które napisałeś powyżej. Skoro doszedłeś do tego, że rozwiązania równania \(\displaystyle{ \left( 2^x\right)^2-1=0 }\) to dokładnie te liczby \(\displaystyle{ x}\), które spełniają warunek \(\displaystyle{ -1 = 2^x \vee 1 = 2^x,}\) to możesz stąd wyznaczyć te liczby (choć akurat podstawianie nie jest najlepszą metodą na to). Akurat jeśli chodzi o pierwszą część tego warunku, to powinieneś wiedzieć, że żadna liczba rzeczywista go nie spełnia, więc próba znalezienia rozwiązania poprzez podstawianie różnych \(\displaystyle{ x}\)-ów do tego warunku (np. \(\displaystyle{ x = 0}\), jak to powyżej zrobiłes) jest z góry skazana na niepowodzenie . Natomiast podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) do drugiej części warunku, czyli \(\displaystyle{ 1 = 2^x}\), dostajesz wspomnianą na początku konkluzję (ale jeszcze nie wiesz, czy to jedyne rozwiązanie).

Albo jakbym zamiast funkcji \(\displaystyle{ y = 2^x}\) dał co innego np \(\displaystyle{ y = \sqrt{x}. }\)

To rozwiązywałbyś równanie \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x} \right)^2-1=0. }\)

Tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją tak samo jako \(\displaystyle{ \sin(x)}\), Więc trochę nie wiem jak na to patrzeć kiedy raz \(\displaystyle{ y}\) można traktować jak zmienną a raz jak funkcję. Natomiast taki \(\displaystyle{ \sin(x)}\) albo \(\displaystyle{ j\Re(z)}\) to tylko funkcje.

\(\displaystyle{ y}\) jest literką, która może mieć różne znaczenia.

JK

[Xenon02]

Tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją tak samo jako \(\displaystyle{ \sin(x)}\), Więc trochę nie wiem jak na to patrzeć kiedy raz \(\displaystyle{ y}\) można traktować jak zmienną a raz jak funkcję. Natomiast taki \(\displaystyle{ \sin(x)}\) albo \(\displaystyle{ j\Re(z)}\) to tylko funkcje.

\(\displaystyle{ y}\) jest literką, która może mieć różne znaczenia.

JK

To kiedy rozumieć \(\displaystyle{ y}\) jako funkcję a kiedy jako zmienną?

obraz_2022-11-12_160951675.png (7.73 KiB) Przejrzano 1263 razy

Skoro w wielomianach nie może być nic w stylu \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) a jakbym zapisał to tak : \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest okej i jest wielomianem bo składa się z jednomianów.

\(\displaystyle{ \Re(z)}\), albo \(\displaystyle{ \cos(x)}\) albo \(\displaystyle{ f(x)}\), są funkcjami, a zmienne to same literki i też są funkcjami.

A dla liczb zespolonych np z pierwszego posta \(\displaystyle{ w = 8j.}\)

Miałbym jakieś rozwiązania ale teraz muszę podstawić za \(\displaystyle{ w = x+jy}\). To dostanę inne nowe wyniki ? Czy to jest już coś innego niż w samych liczbach rzeczywistych jak w przykładzie z \(\displaystyle{ y = 2^x}\) ?

[Jan Kraszewski]

To kiedy rozumieć \(\displaystyle{ y}\) jako funkcję a kiedy jako zmienną?

Jedno nie wyklucza drugiego. Zamiast zastanawiać się nad tym, skup się lepiej na zrozumieniu konkretnych matematycznych problemów.

Skoro w wielomianach nie może być nic w stylu \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) a jakbym zapisał to tak : \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest okej i jest wielomianem bo składa się z jednomianów.

No i co?

\(\displaystyle{ \Re(z)}\), albo \(\displaystyle{ \cos(x)}\) albo \(\displaystyle{ f(x)}\), są funkcjami, a zmienne to same literki i też są funkcjami.

I znów mylisz symbol z jego interpretacją.

A dla liczb zespolonych np z pierwszego posta \(\displaystyle{ w = 8j.}\)

Ale co?

Miałbym jakieś rozwiązania ale teraz muszę podstawić za \(\displaystyle{ w = x+jy}\). To dostanę inne nowe wyniki ?

Rozwiązania czego? Co gdzie musisz podstawić? Postaraj się wypowiadać bardziej składnie.

Czy to jest już coś innego niż w samych liczbach rzeczywistych jak w przykładzie z \(\displaystyle{ y = 2^x}\) ?

Ale co?

JK

[Xenon02]

Skoro w wielomianach nie może być nic w stylu \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) a jakbym zapisał to tak : \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest okej i jest wielomianem bo składa się z jednomianów.

No i co?

Chodzi o to że w jednym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) to nie jest wielomianem, a w innym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest wielomian.
Brakuje mi tutaj spójności w tym że to samo równanie czyli : \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\), i \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) się tak różnią pomimo że znaczą to samo czyli funkcję \(\displaystyle{ f(x) = x, f(x) = y}\), bo \(\displaystyle{ y}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ f(x)}\)

\(\displaystyle{ \Re(z)}\), albo \(\displaystyle{ \cos(x)}\) albo \(\displaystyle{ f(x)}\), są funkcjami, a zmienne to same literki i też są funkcjami.

I znów mylisz symbol z jego interpretacją.

A dla liczb zespolonych np z pierwszego posta \(\displaystyle{ w = 8j.}\)

Ale co?

Miałbym jakieś rozwiązania ale teraz muszę podstawić za \(\displaystyle{ w = x+jy}\). To dostanę inne nowe wyniki ?

Rozwiązania czego? Co gdzie musisz podstawić? Postaraj się wypowiadać bardziej składnie.

\(\displaystyle{ w = 8j}\) jak to było w zdjęciach z pierwszego posta to jego rozwiązania to : \(\displaystyle{ \sqrt{3} + j, -\sqrt{3} + j, -2j }\).
no okej teraz korzystając z \(\displaystyle{ w = x+yj}\) to podstawiam pod \(\displaystyle{ w}\) te wyniki tak samo jak to robiłem wtedy z przykładem \(\displaystyle{ y^2 -1 = 0, y = 2^x}\) że z wyników \(\displaystyle{ y = 1 \vee -1}\) podstawiałem pod \(\displaystyle{ y = 2^x}\) i były nowe rozwiązania.
Tak samo tutaj, czy muszę to samo zrobić z liczbami zespolonymi ? I przez to dostanę nowe wyniki ? Że zamiast jak to było w tym przykładzie \(\displaystyle{ y = 1 \vee -1}\) mam nowe rozwiązania czyli \(\displaystyle{ x = 0}\) to czy tak samo będzie z zespolonymi.

I znów mylisz symbol z jego interpretacją.

Bo nie rozumiem kiedy mam uznać jakąś literkę za funkcję a kiedy za zmienną, a jak zapiszę coś takiego : \(\displaystyle{ f(x)}\) to zawszę muszę to traktować jako funkcję. Chociaż jest to równoznaczne z zapisem \(\displaystyle{ f(x) = y}\). I przez to \(\displaystyle{ y}\) teraz jest funkcją. Albo zapis : \(\displaystyle{ j\Re(z)}\), jest to funkcja ale jakbym zapisał to tak : \(\displaystyle{ j\cdot y}\) to już \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną.

Troszeczkę się pogubiłem z logiką. Próbuję działania na liczbach rzeczywistych porównać do zespolonych, a tym samym znaleźć różnicę zapisu funkcji a zmiennej. I kiedy interpretować zmienną jako zmienną a kiedy zmienną jako funkcję. Bo w wielomianach albo w jednomianie nie mogą być funkcje.

[Jan Kraszewski]

Chodzi o to że w jednym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) to nie jest wielomianem, a w innym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest wielomian.

Nie będziemy wiedzieli, czy \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) jest wielomianem czy nie, dopóki nie będziemy wiedzieli, co oznacza \(\displaystyle{ f(x).}\)

\(\displaystyle{ w = 8j}\) jak to było w zdjęciach z pierwszego posta to jego rozwiązania to : \(\displaystyle{ \sqrt{3} + j, -\sqrt{3} + j, -2j }\).

Nieprawda, tam było \(\displaystyle{ z^3=8j,}\) tylko zapisane w inny sposób.

no okej teraz korzystając z \(\displaystyle{ w = x+yj}\) to podstawiam pod \(\displaystyle{ w}\)

Jeżeli to robisz, to znaczy, że w ogóle nie zrozumiałeś zadania.

jak zapiszę coś takiego : \(\displaystyle{ f(x)}\) to zawszę muszę to traktować jako funkcję.

Ale zdajesz sobie sprawę, że ten zapis nie oznacza konkretnej funkcji (dokładniej: wartości konkretnej funkcji)? Ze istnieje kluczowa różnica pomiędzy \(\displaystyle{ f(x)}\) a \(\displaystyle{ \sin(x)}\) ?

Chociaż jest to równoznaczne z zapisem \(\displaystyle{ f(x) = y}\).

Nie jest "równoznaczne".

Troszeczkę się pogubiłem z logiką. Próbuję działania na liczbach rzeczywistych porównać do zespolonych, a tym samym znaleźć różnicę zapisu funkcji a zmiennej. I kiedy interpretować zmienną jako zmienną a kiedy zmienną jako funkcję. Bo w wielomianach albo w jednomianie nie mogą być funkcje.

Gubisz się w znaczkach. Starasz się usilnie znaleźć schematy rządzące znaczkami. A to ślepa uliczka - matematyka to nie znaczki. Matematyka to pewna rzeczywistość, do opisu której wykorzystuje się znaczki.

JK

[Xenon02]

Chodzi o to że w jednym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) to nie jest wielomianem, a w innym zapisie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest wielomian.

Nie będziemy wiedzieli, czy \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) jest wielomianem czy nie, dopóki nie będziemy wiedzieli, co oznacza \(\displaystyle{ f(x).}\)

\(\displaystyle{ w = 8j}\) jak to było w zdjęciach z pierwszego posta to jego rozwiązania to : \(\displaystyle{ \sqrt{3} + j, -\sqrt{3} + j, -2j }\).

Nieprawda, tam było \(\displaystyle{ z^3=8j,}\) tylko zapisane w inny sposób.

No to \(\displaystyle{ f(x) = 2^x}\) tak samo z \(\displaystyle{ y = 2^x}\)

A i rzeczywiście to \(\displaystyle{ w}\) jest tym samym co \(\displaystyle{ z^3}\)

no okej teraz korzystając z \(\displaystyle{ w = x+yj}\) to podstawiam pod \(\displaystyle{ w}\)

Jeżeli to robisz, to znaczy, że w ogóle nie zrozumiałeś zadania.

To znaczy gubię się troszeczkę w zespolonych i w rzeczywistych bo zauważyłem że podstawy się u mnie kłaniają a wraz z tym zrozumienie pewnych podstawowych zależności. Tylko same znaczki mnie jakoś konfundują, w taki sposób jaki pisałem wiele razy. Że nie wiem jak na nie patrzeć.

jak zapiszę coś takiego : \(\displaystyle{ f(x)}\) to zawszę muszę to traktować jako funkcję.

Ale zdajesz sobie sprawę, że ten zapis nie oznacza konkretnej funkcji (dokładniej: wartości konkretnej funkcji)? Ze istnieje kluczowa różnica pomiędzy \(\displaystyle{ f(x)}\) a \(\displaystyle{ \sin(x)}\) ?

No pierwsze to opisanie funkcji gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną tej funkcji natomiast \(\displaystyle{ sin(x)}\) to też funkcja. Więc nie wiem o co chodzi ? Albo czegoś nie zrozumiałem w tym fragmencie co napisałeś.

Chociaż jest to równoznaczne z zapisem \(\displaystyle{ f(x) = y}\).

Nie jest "równoznaczne".

Takie coś znalazłem :

obraz_2022-11-12_194331175.png (7.73 KiB) Przejrzano 1215 razy

Wskazuje to na to że jednak to jest to samo.

Troszeczkę się pogubiłem z logiką. Próbuję działania na liczbach rzeczywistych porównać do zespolonych, a tym samym znaleźć różnicę zapisu funkcji a zmiennej. I kiedy interpretować zmienną jako zmienną a kiedy zmienną jako funkcję. Bo w wielomianach albo w jednomianie nie mogą być funkcje.

Gubisz się w znaczkach. Starasz się usilnie znaleźć schematy rządzące znaczkami. A to ślepa uliczka - matematyka to nie znaczki. Matematyka to pewna rzeczywistość, do opisu której wykorzystuje się znaczki.

To znaczy fakt próbuję znaleźć schemat gdyż matematyka rządzi się pewnymi regułami, więc tym tokiem myślenia podszedłem do zmiennych.
Gdyż \(\displaystyle{ x}\) tutaj to jest zmienna ale też jednocześnie funkcja, a bardziej konkretnie to opisuje funkcję liniową.
Więc też sądziłem że \(\displaystyle{ Re(z)}\) to też funkcja i mogłaby znaleźć się w wielomianach, bo można też takie \(\displaystyle{ Re(z)}\) zapisać jako \(\displaystyle{ w = Re(z)}\). Albo podstawienie pod \(\displaystyle{ z = x+yj}\).

Znaczki trochę tutaj mieszają to co chcę osiągnąć w zrozumieniu tego wszystkiego. Gdyż raz mogę je stosować i jest okej, a raz nie mogę (tym którego nie mogę jest \(\displaystyle{ Re(z)}\)), co mam na myśli przez to że nie mogę. Mam na myśli to że nie mogę zastosować pierwiastkowania liczby zespolonej jak w przykładzie z \(\displaystyle{ z^3 = 8j}\) albo \(\displaystyle{ z^2+z = 0}\)i wyliczyć wyniki tego rozwiązania wielomianowego, a jak mam \(\displaystyle{ z^2 + jRe(z)}\) jak na początku to już nie mogę. Podobnie jest z liczbami rzeczywistymi.

[Jan Kraszewski]

No to \(\displaystyle{ f(x) = 2^x}\) tak samo z \(\displaystyle{ y = 2^x}\)

Znów żonglujesz znaczkami. Jeżeli rozważasz wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\), to znaczenie symbolu \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieznane. Jeżeli doprecyzujesz, że \(\displaystyle{ f(x) = 2^x}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + f(x) + 1}\) nie będzie wielomianem.

Wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest wielomian dwóch zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\), które są zmiennymi niezależnymi. Nie możesz zatem przyjąć, że \(\displaystyle{ y = 2^x}\), bo w tym drugim wyrażeniu \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną zależną. Jeżeli zaś stwierdzisz, że w miejsce zmiennej niezależnej \(\displaystyle{ y}\) chcesz podstawić wyrażenie \(\displaystyle{ 2^x}\), to po tym podstawieniu otrzymane (inne) wyrażenie wielomianem już nie będzie.

No pierwsze to opisanie funkcji gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną tej funkcji natomiast \(\displaystyle{ sin(x)}\) to też funkcja. Więc nie wiem o co chodzi ? Albo czegoś nie zrozumiałem w tym fragmencie co napisałeś.

To pierwsze niczego nie opisuje, dopóki nie podasz jak ten symbol definiujesz, to drugie jest konkretną i znaną funkcją trygonometryczną.

Takie coś znalazłem :

obraz_2022-11-12_194331175.png

Wskazuje to na to że jednak to jest to samo.

Nie, \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f(x)=y}\) to zdecydowanie nie jest to samo. Ale nie wiem, czy jestem Ci to w stanie wytłumaczyć (term nie jest tym samym, co formuła... ).

Możesz znajdować różne rzeczy, ale nie wystarczy je znaleźć, trzeba zrozumieć, co opisują.

To znaczy fakt próbuję znaleźć schemat gdyż matematyka rządzi się pewnymi regułami, więc tym tokiem myślenia podszedłem do zmiennych.
Gdyż \(\displaystyle{ x}\) tutaj to jest zmienna ale też jednocześnie funkcja, a bardziej konkretnie to opisuje funkcję liniową.
Więc też sądziłem że \(\displaystyle{ \Re(z)}\) to też funkcja i mogłaby znaleźć się w wielomianach, bo można też takie \(\displaystyle{ Re(z)}\) zapisać jako \(\displaystyle{ w = Re(z)}\). Albo podstawienie pod \(\displaystyle{ z = x+yj}\).

To nie jest matematyka, tylko magia znaczków. \(\displaystyle{ x}\) nie jest funkcją i sama nie opisuje funkcji liniowej. Funkcja to przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów innego zbioru w pewien określony sposób. Literki \(\displaystyle{ x}\) możesz użyć do opisania tej funkcji, ale literka \(\displaystyle{ x}\) nie jest funkcją. Jeżeli nazwiemy tę funkcję \(\displaystyle{ f}\), to ten opis będzie wyglądał tak: \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR, f(x)=x}\) i będziemy mogli powiedzieć, że \(\displaystyle{ f}\) jest (pewną) funkcją liniową. \(\displaystyle{ \Re}\) jest funkcją, która każdej liczbie zespolonej \(\displaystyle{ z}\) przypisuje jej część rzeczywistą \(\displaystyle{ \Re(z)}\) (a to, co to jest, wynika z definicji liczby zespolonej). Zapis \(\displaystyle{ w = Re(z)}\) sam w sobie nie ma żadnego znaczenia i nie ma żadnego związku z wielomianami itd.

Znaczki trochę tutaj mieszają to co chcę osiągnąć w zrozumieniu tego wszystkiego. Gdyż raz mogę je stosować i jest okej, a raz nie mogę (tym którego nie mogę jest \(\displaystyle{ \Re(z)}\)), co mam na myśli przez to że nie mogę. Mam na myśli to że nie mogę zastosować pierwiastkowania liczby zespolonej jak w przykładzie z \(\displaystyle{ z^3 = 8j}\) albo \(\displaystyle{ z^2+z = 0}\)i wyliczyć wyniki tego rozwiązania wielomianowego, a jak mam \(\displaystyle{ z^2 + j\Re(z)}\) jak na początku to już nie mogę. Podobnie jest z liczbami rzeczywistymi.

Pierwiastkowanie liczby zespolonej stosujesz w przykładzie \(\displaystyle{ z^3 = 8j}\), bo masz wzór de Moivre'a, dzięki któremu wiesz, jak to zrobić. Nie stosujesz pierwiastkowania liczby zespolonej w przykładzie \(\displaystyle{ z^2+z = 0}\), bo nie ma ono w nim zastosowania i w tym sensie nie ma różnicy pomiędzy tym równaniem, a równaniem \(\displaystyle{ z^2 = j\Re(z)}\). Oba te równania rozwiązujesz używając innych metod. Różnica jest tylko taka, że w pierwszym z nich od razu wiesz, ile będzie rozwiązań, a w drugim nie.

JK

[Xenon02]

No to \(\displaystyle{ f(x) = 2^x}\) tak samo z \(\displaystyle{ y = 2^x}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) to już jest wielomian dwóch zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\), które są zmiennymi niezależnymi. Nie możesz zatem przyjąć, że \(\displaystyle{ y = 2^x}\), bo w tym drugim wyrażeniu \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną zależną. Jeżeli zaś stwierdzisz, że w miejsce zmiennej niezależnej \(\displaystyle{ y}\) chcesz podstawić wyrażenie \(\displaystyle{ 2^x}\), to po tym podstawieniu otrzymane (inne) wyrażenie wielomianem już nie będzie.

czyli jak określę \(\displaystyle{ y = 2^x}\) to będzie wtedy zmienną zależną jak \(\displaystyle{ f(x)}\) ? I wtedy \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) nie będzie wielomianem ? Bo nie mogę przyjąć że \(\displaystyle{ y = 2^x}\), to rozumiem że wtedy \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) nie jest wielomianem ?

To pierwsze niczego nie opisuje, dopóki nie podasz jak ten symbol definiujesz, to drugie jest konkretną i znaną funkcją trygonometryczną.

Czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeba zdefiniować bo musi być funkcją i nie może być zmienną. Tak samo z \(\displaystyle{ \sin(x)}\) ? Też jest tylko funkcją i nie można go przedstawić w formie zmiennej (nie mam tutaj na myśli \(\displaystyle{ y = \sin(x)}\), mam tutaj na myśli że napiszę go w postaci \(\displaystyle{ x + \sin(x)}\) i to \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest zmienną tam. Tak samo z \(\displaystyle{ f(x)}\). Nawet jeśli \(\displaystyle{ \sin(x) }\) ma jakieś równanie tam podawałem wcześniej to nic nie zmienia ? Bo to równanie wtedy by mówiło że \(\displaystyle{ \sin(x)}\) to zmienna zależna.

To znaczy fakt próbuję znaleźć schemat gdyż matematyka rządzi się pewnymi regułami, więc tym tokiem myślenia podszedłem do zmiennych.
Gdyż \(\displaystyle{ x}\) tutaj to jest zmienna ale też jednocześnie funkcja, a bardziej konkretnie to opisuje funkcję liniową.
Więc też sądziłem że \(\displaystyle{ \Re(z)}\) to też funkcja i mogłaby znaleźć się w wielomianach, bo można też takie \(\displaystyle{ \Re(z)}\) zapisać jako \(\displaystyle{ w = Re(z)}\). Albo podstawienie pod \(\displaystyle{ z = x+yj}\).

To nie jest matematyka, tylko magia znaczków. \(\displaystyle{ x}\) nie jest funkcją i sama nie opisuje funkcji liniowej. Funkcja to przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów innego zbioru w pewien określony sposób. Literki \(\displaystyle{ x}\) możesz użyć do opisania tej funkcji, ale literka \(\displaystyle{ x}\) nie jest funkcją. Jeżeli nazwiemy tę funkcję \(\displaystyle{ f}\), to ten opis będzie wyglądał tak: \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR, f(x)=x}\) i będziemy mogli powiedzieć, że \(\displaystyle{ f}\) jest (pewną) funkcją liniową. \(\displaystyle{ \Re}\) jest funkcją, która każdej liczbie zespolonej \(\displaystyle{ z}\) przypisuje jej część rzeczywistą \(\displaystyle{ \Re(z)}\) (a to, co to jest, wynika z definicji liczby zespolonej). Zapis \(\displaystyle{ w = Re(z)}\) sam w sobie nie ma żadnego znaczenia i nie ma żadnego związku z wielomianami itd.

Czyli jak piszę \(\displaystyle{ x}\) to ono nic nie znaczy. Jak napiszę \(\displaystyle{ x^2 + x}\) to dalej te zmienne \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ?
A jak zapiszę tak : \(\displaystyle{ x^2+x = 0}\) To dalej \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ale już tworzą pewną funkcję ?

[Jan Kraszewski]

czyli jak określę \(\displaystyle{ y = 2^x}\) to będzie wtedy zmienną zależną

Tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną zależną (od niezależnej zmiennej \(\displaystyle{ x}\)).

I wtedy \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) nie będzie wielomianem ? Bo nie mogę przyjąć że \(\displaystyle{ y = 2^x}\), to rozumiem że wtedy \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) nie jest wielomianem ?

Wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) jest wielomianem, natomiast po dokonaniu podstawienia \(\displaystyle{ y = 2^x}\) otrzymujesz wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + 2^x+ 1}\), które nie jest wielomianem.

Czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeba zdefiniować bo musi być funkcją i nie może być zmienną. Tak samo z \(\displaystyle{ \sin(x)}\) ? Też jest tylko funkcją i nie można go przedstawić w formie zmiennej (nie mam tutaj na myśli \(\displaystyle{ y = \sin(x)}\), mam tutaj na myśli że napiszę go w postaci \(\displaystyle{ x + \sin(x)}\) i to \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest zmienną tam. Tak samo z \(\displaystyle{ f(x)}\). Nawet jeśli \(\displaystyle{ \sin(x) }\) ma jakieś równanie tam podawałem wcześniej to nic nie zmienia ? Bo to równanie wtedy by mówiło że \(\displaystyle{ \sin(x)}\) to zmienna zależna.

Obawiam się, że nie rozumiem.

Czyli jak piszę \(\displaystyle{ x}\) to ono nic nie znaczy. Jak napiszę \(\displaystyle{ x^2 + x}\) to dalej te zmienne \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ?
A jak zapiszę tak : \(\displaystyle{ x^2+x = 0}\) To dalej \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ale już tworzą pewną funkcję ?

Wszystkie znaczki w matematyce coś znaczą, trzeba tylko wiedzieć co. Znaczenie znaczka zależy od kontekstu, w którym jest użyty. Dlatego w matematyce nie chodzi o manipulacje znaczkami, tylko o zrozumienie treści, jaką niosą. Jak zapiszesz np. \(\displaystyle{ x^2+x = 0}\), to nie jest to żadna funkcja, tylko równanie, w którym \(\displaystyle{ x}\) oznacza niewiadomą. To równanie może mieć też różne znaczenie, może np. oznaczać miejsca zerowe funkcji rzeczywistej zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x}\). Jak zapiszesz \(\displaystyle{ x^2 + x}\), to napis ten może być interpretowany jako wielomian jednej zmiennej \(\displaystyle{ x}\). I tak dalej.

JK

[Xenon02]

Czyli jak piszę \(\displaystyle{ x}\) to ono nic nie znaczy. Jak napiszę \(\displaystyle{ x^2 + x}\) to dalej te zmienne \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ?
A jak zapiszę tak : \(\displaystyle{ x^2+x = 0}\) To dalej \(\displaystyle{ x}\) nic nie znaczą ale już tworzą pewną funkcję ?

Wszystkie znaczki w matematyce coś znaczą, trzeba tylko wiedzieć co. Znaczenie znaczka zależy od kontekstu, w którym jest użyty. Dlatego w matematyce nie chodzi o manipulacje znaczkami, tylko o zrozumienie treści, jaką niosą. Jak zapiszesz np. \(\displaystyle{ x^2+x = 0}\), to nie jest to żadna funkcja, tylko równanie, w którym \(\displaystyle{ x}\) oznacza niewiadomą. To równanie może mieć też różne znaczenie, może np. oznaczać miejsca zerowe funkcji rzeczywistej zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x}\). Jak zapiszesz \(\displaystyle{ x^2 + x}\), to napis ten może być interpretowany jako wielomian jednej zmiennej \(\displaystyle{ x}\). I tak dalej.

Ogółem to wielomiany też się zapisuje jako funkcje jak widziałem np \(\displaystyle{ W(x) = x^2+x+1}\), bo często operowaliśmy tylko \(\displaystyle{ x^2+x}\), ale rozumiem że oba te zapisy to wielomiany, nawet jak w pierwszym mam funkcję ?

Jeszcze jedno bo skoro \(\displaystyle{ x}\) sam w sobie nie jest funkcją prawda ? To jak mam np. \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawię pod ten \(\displaystyle{ x = 2}\) to wynikiem będzie \(\displaystyle{ 2^2 = 4}\), jak zapiszę ten sam "x" tylko do zmiennej "y" \(\displaystyle{ y = x^2}\) i podstawię pod \(\displaystyle{ x =2 }\) to mam ten sam wynik. I dalej nie rozumiem jaka jest różnica, jakby jedno i drugie zachowuje się jak funkcja.

[Jan Kraszewski]

Ogółem to wielomiany też się zapisuje jako funkcje jak widziałem np \(\displaystyle{ W(x) = x^2+x+1}\), bo często operowaliśmy tylko \(\displaystyle{ x^2+x}\), ale rozumiem że oba te zapisy to wielomiany, nawet jak w pierwszym mam funkcję ?

Technicznie rzecz biorąc \(\displaystyle{ x^2+x}\) to wielomian (czyli pewne wyrażenie algebraiczne), a \(\displaystyle{ W(x) = x^2+x+1}\) to (raczej) funkcja wielomianowa, czyli funkcja, której wzorem jest wielomian. Ale często na funkcję wielomianową także mówi się "wielomian".

Jeszcze jedno bo skoro \(\displaystyle{ x}\) sam w sobie nie jest funkcją prawda ?

Samo \(\displaystyle{ x}\) nie jest funkcją, ale może zostać użyte do zapisania wzoru np. funkcji identycznościowej \(\displaystyle{ \text{id}(x)=x}\).

To jak mam np. \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawię pod ten \(\displaystyle{ x = 2}\) to wynikiem będzie \(\displaystyle{ 2^2 = 4}\), jak zapiszę ten sam "x" tylko do zmiennej "y" \(\displaystyle{ y = x^2}\) i podstawię pod \(\displaystyle{ x =2 }\) to mam ten sam wynik. I dalej nie rozumiem jaka jest różnica, jakby jedno i drugie zachowuje się jak funkcja.

\(\displaystyle{ x^2}\) też nie jest funkcją, bo funkcja to przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów drugiego zbioru, ale może zostać użyte do zapisania wzoru funkcji, np. \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).

JK

[Xenon02]

To jak mam np. \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawię pod ten \(\displaystyle{ x = 2}\) to wynikiem będzie \(\displaystyle{ 2^2 = 4}\), jak zapiszę ten sam "x" tylko do zmiennej "y" \(\displaystyle{ y = x^2}\) i podstawię pod \(\displaystyle{ x =2 }\) to mam ten sam wynik. I dalej nie rozumiem jaka jest różnica, jakby jedno i drugie zachowuje się jak funkcja.

\(\displaystyle{ x^2}\) też nie jest funkcją, bo funkcja to przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów drugiego zbioru, ale może zostać użyte do zapisania wzoru funkcji, np. \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).

Czyli to że \(\displaystyle{ x^2}\), oraz \(\displaystyle{ y = x^2}\) zwracają ten sam wynik po podstawieniu za \(\displaystyle{ x = 2}\) to jeden nie jest funkcją a drugi jest ? Bo ten wynik który wynosi 4 przyporządkowuję \(\displaystyle{ y}\), a przy \(\displaystyle{ x^2}\) to po prostu jest to 4 i nic to nie znaczy ?

Ogółem to wielomiany też się zapisuje jako funkcje jak widziałem np \(\displaystyle{ W(x) = x^2+x+1}\), bo często operowaliśmy tylko \(\displaystyle{ x^2+x}\), ale rozumiem że oba te zapisy to wielomiany, nawet jak w pierwszym mam funkcję ?

Technicznie rzecz biorąc \(\displaystyle{ x^2+x}\) to wielomian (czyli pewne wyrażenie algebraiczne), a \(\displaystyle{ W(x) = x^2+x+1}\) to (raczej) funkcja wielomianowa, czyli funkcja, której wzorem jest wielomian. Ale często na funkcję wielomianową także mówi się "wielomian".

Jeszcze się tak dopytam o wyrażenie algebraiczne.
Bo funkcje trygonometryczne które mogą być zapisane w postaci algebraicznej to dalej np \(\displaystyle{ \cos(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym? To (czyli \(\displaystyle{ \cos(x)}\)) jest w takim wypadku wyrażenie trygonometryczne ? Tak się pytam bo wyrażenie algebraiczne jest też nazywanym wzorem funkcji. I jakbym dał \(\displaystyle{ x/r}\) zamiast \(\displaystyle{ cos(x)}\) to niby teraz jest to wyrażenie. Więc wyrażenia trygonometryczne też są jakimiś wzorami funkcji.

Bo też jak mamy wyrażenie algebraiczne który składa się z symboli i z zmiennych to \(\displaystyle{ x + y + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ y = \sin(x)}\), to dalej \(\displaystyle{ x + y + 1}\) jest wyrażeniem algebraicznym ale jakby zamiast tego dał \(\displaystyle{ x + \sin(x) + 1}\) to już nie jest bo jest tam funkcja ? Nawet \(\displaystyle{ y}\) opisywał tutaj funkcję ale już mogłem go uznać za zmienną która jest wyrażeniem algebraicznym.

Bo nie wiem czy dobrze to rozumiem symbole typu : \(\displaystyle{ f(x), \sin(x), \tg(x), sgn(x) }\) itd. to są funkcje ale to już nie są zmienne, natomiast \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\) to już jest i funkcja i zmienna jednocześnie ?
I taki zapis : \(\displaystyle{ x + y + 1}\) to jest wyrażenie algebraiczne ale \(\displaystyle{ x + sgn(x) + 1}\) już nie bo jest \(\displaystyle{ sgn(x)}\) a to jest funkcja, ale \(\displaystyle{ y}\) też jest funkcją

[Jan Kraszewski]

Czyli to że \(\displaystyle{ x^2}\), oraz \(\displaystyle{ y = x^2}\) zwracają ten sam wynik po podstawieniu za \(\displaystyle{ x = 2}\) to jeden nie jest funkcją a drugi jest ? Bo ten wynik który wynosi 4 przyporządkowuję \(\displaystyle{ y}\), a przy \(\displaystyle{ x^2}\) to po prostu jest to 4 i nic to nie znaczy ?

A możesz mi pokazać konkretną sytuację, w której potrzebujesz takiego rozróżnienia? Obracasz tymi literkami bez związku z konkretnymi matematycznymi literkami, a to do niczego nie prowadzi.

Bo funkcje trygonometryczne które mogą być zapisane w postaci algebraicznej to dalej np \(\displaystyle{ \cos(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym?

Nie rozumiem tego zdania.

To (czyli \(\displaystyle{ \cos(x)}\)) jest w takim wypadku wyrażenie trygonometryczne ?

Jak poczujesz się wtedy lepiej, to możesz nazwać to "wyrażeniem trygonometrycznym".

Tak się pytam bo wyrażenie algebraiczne jest też nazywanym wzorem funkcji.

A gdzie? W Wiki jest komentarz "zwyczajowo wzór matematyczny", ale tu kluczowe jest słowo "zwyczajowo".

I jakbym dał \(\displaystyle{ x/r}\) zamiast \(\displaystyle{ cos(x)}\) to niby teraz jest to wyrażenie. Więc wyrażenia trygonometryczne też są jakimiś wzorami funkcji.

Pierwsze z tych zdań nie ma związku z drugim.

Bo też jak mamy wyrażenie algebraiczne który składa się z symboli i z zmiennych to \(\displaystyle{ x + y + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ y = \sin(x)}\), to dalej \(\displaystyle{ x + y + 1}\) jest wyrażeniem algebraicznym ale jakby zamiast tego dał \(\displaystyle{ x + \sin(x) + 1}\) to już nie jest bo jest tam funkcja ?

To już nie jest, bo \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym.

Nawet \(\displaystyle{ y}\) opisywał tutaj funkcję ale już mogłem go uznać za zmienną która jest wyrażeniem algebraicznym.

W wyrażeniu \(\displaystyle{ x + y + 1}\) literka \(\displaystyle{ y}\) oznacza zmienną. I koniec. Jeśli z jakichś powodów chcesz za tę zmienną coś podstawić, to wynik po podstawieniu może już nie być wyrażeniem algebraicznym.

Bo nie wiem czy dobrze to rozumiem symbole typu : \(\displaystyle{ f(x), \sin(x), \tg(x), sgn(x) }\) itd. to są funkcje

Czym jest \(\displaystyle{ f(x)}\) to póki co nie wiadomo, choć zazwyczaj używa się go do oznaczania funkcji (dokładniej: wartości funkcji). Pozostałe symbole mają swoje ustalone znaczenie odnoszące się do odpowiednich funkcji, dokładniej: są to wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin, \tg, \text{sgn}}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x}\).

natomiast \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\) to już jest i funkcja i zmienna jednocześnie ?

Nie, to nie jest ani funkcja, ani zmienna, tylko równość, która mówi o przypisaniu zmiennej \(\displaystyle{ y}\) wartości funkcji \(\displaystyle{ \text{sgn}}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x}\). Takiej równości można używać do definiowania funkcji, która argumentom \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) przypisuje - w sposób opisany przez powyższą równość - wartości \(\displaystyle{ y}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR}\). Zatem ta równość nie jest funkcją, tylko opisuje pewną funkcję.

Powtórzę, zdecydowanie za bardzo skupiasz się na znaczkach.

I taki zapis : \(\displaystyle{ x + y + 1}\) to jest wyrażenie algebraiczne ale \(\displaystyle{ x + sgn(x) + 1}\) już nie bo jest \(\displaystyle{ sgn(x)}\) a to jest funkcja,

Nie, to nie jest wyrażenie algebraiczne, bo \(\displaystyle{ \text{sgn}(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym.

JK