Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Bosswell
Użytkownik
Posty: 4 Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz
Post
autor: Bosswell » 30 cze 2022, o 17:23
Dzień dobry,
rozwiązuje aktualnie zadania z książki do analizy matematycznej i natrafiłem na zadanie w którym należy obliczyć granice ciągu
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}}}\) .
Zadanie rozpisałem następująco:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\\=\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)
Niestety wynik podany na końcu książki różni się od mojego. W książce jest
\(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\) .
Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd? Dłuższy czas już rozkminiam ten przykład i nic nie mogę wykombinować.
Na stronce
Kod: Zaznacz cały
symbolab.com/solver/limit-calculator/%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D%20%2B%202%7D%7B2n%5E%7B2%7D%2B1%7D%5Cright)%5E%7Bn%5E2%7D?or=inpu
wynik jest taki sam jak mój.
Z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 30 cze 2022, o 17:53 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34485 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 30 cze 2022, o 17:56
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 17:23 Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd?
To bardzo proste: za bardzo ufasz odpowiedziom w książce...
Twoje rozwiązanie jest dobre, a w odpowiedziach jest błąd.
JK
edit: To jednak nie jest dobre rozwiązanie (choć w odpowiedziach jest błąd)
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 30 cze 2022, o 20:28
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 17:23
Zadanie rozpisałem następująco:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\blue{\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\\
=\red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)
Niestety wynik podany na końcu książki różni się od mojego. W książce jest
\(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\) .
Czy byłby ktoś w stanie nakreślić miejsce, w którym popełniłem błąd?
Błąd popełniłeś niestety na samym początku, a potem w trakcie rozwiązywania też.
Błąd na początku polegał na tym, że nie zastanowiłeś się z czym masz do czynienia tylko zacząłeś automatycznie przekształcać coś, co wyglądało jak granica z `e`.
Gdybyś chwilę pomyślał, to byś doszedł do wniosku, że niebieskie wyrażenie dąży do `1/2`, a to podniesione do wielkiej potegi dąży do zera.
Drugi błąd, a właściwie dwa popełniłeś w czerwonym wyrażeniu: po pierwsze źle umieściłeś symbol granicy, a po drugie granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34485 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 30 cze 2022, o 20:42
Zgodnie z życzeniem
a4karo posypuję głowę przysłowiowym popiołem...
JK
Dasio11
Moderator
Posty: 10255 Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 2376 razy
Post
autor: Dasio11 » 30 cze 2022, o 21:41
a4karo pisze: ↑ 30 cze 2022, o 20:28
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 17:23 \(\displaystyle{ \red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)
[...]
granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Raczej
\(\displaystyle{ 4}\) ?
Bosswell
Użytkownik
Posty: 4 Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz
Post
autor: Bosswell » 30 cze 2022, o 22:20
Rzeczywiście popełniłem błąd przy przepisywaniu.
Dasio11 w zapisie
\(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\) .
Więc poprawnie to powinno być:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)
Dziękuje
a4karo za odpowiedź. Rzeczywiście mogłem zrobić to mniej schematycznie
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34485 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 30 cze 2022, o 22:25
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 22:20
Dasio11 w zapisie
\(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\) .
Jesteś pewny?
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 22:20 Więc poprawnie to powinno być:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\red{\ e^{-\infty }} \ =\ 0}\)
A to
\(\displaystyle{ e}\) to skąd się wzięło?
JK
Bosswell
Użytkownik
Posty: 4 Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz
Post
autor: Bosswell » 30 cze 2022, o 22:41
Nie mogę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\) potraktować jako to n w definicji liczby e \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\ e}\) ?
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34485 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 30 cze 2022, o 22:52
No skąd! Przecież \(\displaystyle{ \frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}} \rightarrow -2}\) , a twierdzenie, które stosujesz do liczenia granic "podobnych do \(\displaystyle{ e}\) " mówi, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\) , to \(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_n}} =\ e}\) .
JK
a4karo
Użytkownik
Posty: 22276 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3765 razy
Post
autor: a4karo » 30 cze 2022, o 23:17
Dasio11 pisze: ↑ 30 cze 2022, o 21:41
a4karo pisze: ↑ 30 cze 2022, o 20:28
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 17:23 \(\displaystyle{ \red{\left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} }=\ e^{-\infty } \ =\ 0}\)
[...]
granica w kwadratowym nawiasie to nie `e`, lecz `9/4`
Raczej
\(\displaystyle{ 4}\) ?
Fakt. Widziałem w mianowniku `1+n^2`.
Ostatnio zmieniony 1 lip 2022, o 00:53 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Bosswell
Użytkownik
Posty: 4 Rejestracja: 30 cze 2022, o 17:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 1 raz
Post
autor: Bosswell » 1 lip 2022, o 10:04
Dopiero zaczynam się uczyć granic ze wzorem e, stąd to głupie pytanie
Rzeczywiście, teraz widzę, że liczbę e uzyskujemy jeżeli ciąg
\(\displaystyle{ a_{n}}\) w
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}}\) jest rozbieżny do
\(\displaystyle{ \infty}\) lub
\(\displaystyle{ -\infty}\) .
Czyli jakby rozpisać to tak jak robiłem wcześniej, to:
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{\left( 2n^{2} +1\right) +1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ }\)
\(\displaystyle{ =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]^{\frac{n^{2}\left( 1-n^{2}\right)}{2n^{2} +1}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\left( -\frac{1}{2}\right)\right)^{-2}\right]^{\frac{1-n^{2}}{2}} =}\)
\(\displaystyle{ = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right]^{-\infty } =\ 4^{-\infty } \ =\ 0}\)
Jak dobrze rozumiem to rozwiązanie, które przedstawił
a4karo wygląda następująco?
\(\displaystyle{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n^{2} +2}{2n^{2} +1}\right)^{n^{2}} =\ \lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{1 +\frac{2}{n^{2}}}{2 +\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}} =\ \left(\frac{1}{2}\right)^{\infty } =\ 0}\)
----
Jan Kraszewski pisze: ↑ 30 cze 2022, o 22:25
Bosswell pisze: ↑ 30 cze 2022, o 22:20
Dasio11 w zapisie
\(\displaystyle{ \left[\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right)^{\frac{2n^{2} +1}{1-n^{2}}}\right]}\) wartość dąży do
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\) .
Jesteś pewny?
Byłem wczoraj dość rozkojarzony i w mianowniku zobaczyłem
\(\displaystyle{ 1 + n^{2}}\) .