Równanie diofantyczne

[arek1357]

Rozwiąż w całkowitych:

\(\displaystyle{ y^2=(2a^3+b^3)^3+4a^2b^2}\)

W sumie bardziej chodzi aby wykazać lub obalić, że równanie ma lub nie ma nieskończenie wiele rozwiązań...

[a4karo]

`a=0, b=n^2, y=n^9`

[arek1357]

a dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\)

[Brombal]

....
\(\displaystyle{ a=2,b=-2}\)
\(\displaystyle{ a=2,b=0}\)
\(\displaystyle{ a=8,b=0}\)
\(\displaystyle{ a=18,b=0}\)
....

[vpprof]

Można spróbować znaleźć wzór na `y`, aczkolwiek nie wiem, czy takowy istnieje. Po spotęgowaniu wychodzą składniki:

`y^2 = 8 a^9 + 4 a^2 b^2 + 12 a^6 b^3 + 6 a^3 b^6 + b^9`

Stąd wiadomo, że jeśli rozwiązanie ma być w `\ZZ`, to składnik w 9 potędze mógł powstać jedynie przez podniesienie do kwadratu wyrażenia w potędze 4,5. Czyli `\sqrt{8a^9} \in \ZZ → 2\sqrt{2a^9} \in \ZZ`, a stąd wynika, że `a=2^{2n+1} \cdot p_1^{2n_1} \cdot p_2^{2n_2}…`, gdzie `n_i \in\NN,\ p_i \in \mathbb{P}`. Czyli `a` musi być podzielne przez `2,\ 8,\ 32,\ 128…`, co jest spełnione dla rozwiązań podanych przez kol. Brombal. Dodatkowo reszta czynników pierwszych musi być w potęgach o wykładniku parzystym.

Analogicznie: wiemy, że `\sqrt{b^9} \in \ZZ`, czyli w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby `b` mamy same parzyste potęgi.

Gdy rozpatrujemy wyrażenie `(\sqrt{8}a^{4,5}+b^{4,5})^2`, pojawia się w rozwinięciu składnik `2 \sqrt{8} a^{4,5}b^{4,5}`, który trzeba zneutralizować. Trywialnie poprzez `b=0`, a nietrywialnie — nie mam pojęcia jak. Pytanie, które składniki ze wzoru na `y` miałyby się nań składać? Jeśli miałby to być jeden składnik, musiałby mieć współczynnik urojony (żeby w kwadracie dawać `-2 \sqrt{8}`), czyli tę możliwość odrzucamy. Zatem owe `-2 \sqrt{8}` są wynikiem mnożenia co najmniej dwóch różnych członów z wyrażenia `y=…`. Pozostaje jeszcze wymyślić, skąd wziąć `4 a^2 b^2 + 12 a^6 b^3 + 6 a^3 b^6`. Na razie mnie to przerasta

Mathematica daje jakieś bardzo ogólne rozwiązanie, wyrażając je poprzez pierwiastki z r-nia 9. stopnia.

[Brombal]

A rozwiązania dla
\(\displaystyle{ n}\) - naturalne
\(\displaystyle{ a=2n ^{2} }\)
\(\displaystyle{ b=0}\)

[vpprof]

No, te rozwiązania zaliczyłem do tzw. trywialnych, bo gdy `b=0`, to mamy `y^2=8a^9`, czyli zupełnie inne (prostsze) wyrażenie. O tym przypadku zresztą napisałem:

`\sqrt{8a^9} \in \ZZ → 2\sqrt{2a^9} \in \ZZ`, a stąd wynika, że `a=2^{2n+1} \cdot p_1^{2n_1} \cdot p_2^{2n_2}…`, gdzie `n_i \in\NN,\ p_i \in \mathbb{P}`. Czyli `a` musi być podzielne przez `2,\ 8,\ 32,\ 128…`, co jest spełnione dla rozwiązań podanych przez kol. Brombal. Dodatkowo reszta czynników pierwszych musi być w potęgach o wykładniku parzystym.

Tych rozwiązań jest oczywiście nieskończenie wiele, pytanie tylko, czy arek1357 dopuszcza `b=0`.

[arek1357]

W sumie dopuszczam ale dla b różnych od zera czy istnieją?

Może wyjaśnię co skłoniło mnie do takiego równania, że tu zapodałem, otóż taki dość ciekawy układ diofantyczny:

\(\displaystyle{ x^2+y^3=a^2}\)
\(\displaystyle{ x^3+y^2=b^2}\)

[vpprof]

OK, a co się dzieje z `x` i jak dochodzisz do równania z pierwszego posta?

Jeśli wyliczysz `x^6` z obu równań (wyliczywszy `x^2` oraz `x^3` i podniósłszy pierwsze równanie do sześcianu a drugie do kwadratu), to dostajesz `a^6 - 3 a^4 y^3 + 3 a^2 y^6 - y^9 = b^4 - 2 b^2 y^2 + y^4`. To to nie jest to samo, co w pierwszym poście

[arek1357]

Wiem, że nie to samo bo to moje to co napisałem to to samo równanie tylko po pewnych moich wariacjach... ale to nieistotne...