Szeregi naprzemienne

[hutsalo]

Mam zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych za pomocą kryterium Leibniza. Pierwszy przykład wygląda następująco:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
No to licze :
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} = \lim_{n \to \infty } \left|\frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} \right| = \frac{1}{n}
}\)
no i granica z tego
\(\displaystyle{
\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}
}\)
dąży do zera. No i to powoduje że ten ciąg jest zbieżny. Czy w związku z tym powinienem sprawdzić jeszcze czy jest bezwzględnie zbieżny?

Dodano po 37 minutach 51 sekundach:
To jest nowa rzecz, której ucze się dopiero od dzisiaj. Dlatego pytam bardziej doświadczonych od siebie

[janusz47]

Miałeś zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego za pomocą kryterium Lebniza nie zbieżność bezwzględną.

Brakuje zbadanie monotoniczności ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n}. }\)

[hutsalo]

Miałeś zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego za pomocą kryterium Lebniza nie zbieżność bezwzględną.

No dobrze. Ale znalazłem w internecie wzmiankę na temat zbieżności szeregów naprzemiennych na tej stronie

Kod: Zaznacz cały

https://pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Kryterium+Leibniza+zbie%C5%BCno%C5%9Bci+szereg%C3%B3w+naprzemiennych#krlei

gdzie jest pokazany przykład że na początku bada zbieżność szeregu naprzemiennego wykorzystując do tego wartość bezwzględną, a dopiero potem kryterium Lebniza.

[janusz47]

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ ( a_{n}) }\) jest malejący, nieujemny i \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} =0, }\) to szereg naprzemienny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} }\) jest zbieżny.

W tym zadaniu ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} =\frac{1}{n} }\) jest nieujemny, malejący (sprawdzamy) i granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0. }\)

Na podstawie kyterium Leibniza badany szereg jest zbieżny.

[hutsalo]

W tym zadaniu ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} =\frac{1}{n} }\) jest nieujemny, malejący (sprawdzamy).

Jak sprawdziłeś czy ten ciąg nie jest ujemny i malejący?

[Jan Kraszewski]

Jak sprawdziłeś czy ten ciąg nie jest ujemny i malejący?

Z definicji, jak sądzę.

JK

PS
jest nieujemny \(\displaystyle{ \ne}\) nie jest ujemny

[hutsalo]

Z definicji, jak sądzę

Tej definicji że
\(\displaystyle{
\frac{1}{n} \ge 0
}\)

[Jan Kraszewski]

Nieujemność z tej (choć zapisałeś tezę, a nie uzasadnienie).

JK

[hutsalo]

Ok, a mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie jak z tego:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
wyliczyć to:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
}\)
wziąć całe to wyrażenie:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}
}\)
i zapisać jako:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n} \right|
}\)
bo tak zrobiłem i chce wiedzieć czy dobrze?

[Jan Kraszewski]

Ale wiesz, że jak rzucasz czary i nie bardzo rozumiesz, co rzucasz, to efekty mogą być opłakane?

Bo tak mniej więcej wygląda Twój ostatni post. Nie, nie zrobiłeś dobrze, bo ci nie zrobiłeś. Wykonałeś tylko kilka magicznych gestów, których sam nie rozumiesz.

Przeczytaj jeszcze raz post janusza47

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ ( a_{n}) }\) jest malejący, nieujemny i \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} =0, }\) to szereg naprzemienny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} }\) jest zbieżny.

W tym zadaniu ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} =\frac{1}{n} }\) jest nieujemny, malejący (sprawdzamy) i granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0. }\)

Na podstawie kyterium Leibniza badany szereg jest zbieżny.

i powiedz, czy rozumiesz, co napisał.

JK

[hutsalo]

Nie rozumiem tylko tego:

W tym zadaniu ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a _{n} = \frac{1}{n} }\)

skąd się tam wzięło\(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) bo potem jak wylicza granice to wystarczy że podstawi to \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\). Jak wyliczyć to \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\)?

[Jan Kraszewski]

Jak wyliczyć to \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\)?

Ty nic nie wyliczasz. Kryterium Leibniza mówi o zbieżności szeregów postaci

\(\displaystyle{ \blue{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}},}\)

natomiast Ty masz do zbadania zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}.}\)

Żeby nie było żadnych wątpliwości przekształcę: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n+1} }{n}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}}\) i będą badał zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \red{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}}}\) (minus nie zmienia faktu bycia bądź niebycia zbieżnym).

Żeby stwierdzić zbieżność czerwonego szeregu za pomocą kryterium Leibniza musisz sprawdzić, czy ten czerwony szereg "pasuje" do tego kryterium. Porównując nasz czerwony szereg z ogólną postacią szeregu, którego dotyczy kryterium Leibniza zauważasz, że w tym wypadku \(\displaystyle{ \blue{a_n}\,=\, \red{\frac{1}{n}}}\) i pozostaje sprawdzić, czy ten ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) spełnia założenia, które są wymagane w kryterium Leibniza.

JK

[hutsalo]

Chyba że to jest wyliczone tak
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} = \frac{ \left( -1\right) ^{1+1} }{n} = \frac{ \left( -1\right) ^{2} }{n} = \frac{1}{n}
}\)

[Jan Kraszewski]

Chyba że to jest wyliczone tak
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} = \frac{ \left( -1\right) ^{1+1} }{n} = \frac{ \left( -1\right) ^{2} }{n} = \frac{1}{n}
}\)

Ale wiesz, że ten ciąg znaczków jest bezsensowny?

JK

[hutsalo]

To w takim bądź razie jak z tego
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}
}\)
uzyskać
\(\displaystyle{
\frac{1}{n}
}\)