Cześć, w jaki sposób powinienem zabrać się do tego typu nierówności?
\(\displaystyle{ n! < \left( \frac{n}{2}\right) ^{n} }\)
Łatwo zauważyć, że nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6 }\), będącymi jednocześnie wielokrotnościami \(\displaystyle{ 2}\).
Nie do końca jednak wiem jak powinienem wykorzystać indukcję żeby to udowodnić.
Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 lut 2022, o 00:41
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
Ostatnio zmieniony 9 lut 2022, o 01:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości i tematu.
Powód: Poprawa wiadomości i tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
Wsk: Niech \(\displaystyle{ a_n=\frac{n^n}{2^nn!}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) jest rosnący
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
A co jest nie tak z nieparzystymi?andrewhitman pisze: ↑9 lut 2022, o 00:58 nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6 }\), będącymi jednocześnie wielokrotnościami \(\displaystyle{ 2}\).
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 lut 2022, o 00:41
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
Czy poniższe rozumowanie jest prawidłowe?
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n ∈ \NN}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ n! < \left( \frac{n}{2}\right) ^{n}}\)
1. dla \(\displaystyle{ n = 6, 720<729}\)
2. Jeżeli \( n! < ( \frac{n}{2}) ^{n} \), to \( (n+1)! < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)
\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)
\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{n+1}{2} \)
\( n! < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
jeżeli \( (\frac{n}{2}) ^{n} > n!\) i powyższa nierówność będzie spełniona dla \( ( \frac{n}{2}) ^{n} \) , to tym bardziej będzie dla \(n!\)
\( ( \frac{n}{2}) ^{n} < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
\(2n ^{n} < (n+1) ^{n} \)
\(2n ^{n} < {n \choose 0} n ^{n} + {n \choose 1} n ^{(n-1)} + ... + 1 \)
wszystkie elementy po prawej stornie nierówności są dodatnie, sprawdzę więc czy \( {n \choose 0} n ^{n} - 2n ^{n} > 0\)
\( {n \choose 0} n ^{n} = n! \cdot n ^{n} \)
\(n! \cdot n ^{n} - 2n ^{n} = n ^{n} (n! - 2) \)
dla \(\displaystyle{ n \ge 6 , n! > 2 }\)
więc \(n ^{n} (n! - 2) > 0\)
nierówność jest więc spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6.}\)
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n ∈ \NN}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ n! < \left( \frac{n}{2}\right) ^{n}}\)
1. dla \(\displaystyle{ n = 6, 720<729}\)
2. Jeżeli \( n! < ( \frac{n}{2}) ^{n} \), to \( (n+1)! < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)
\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)
\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{n+1}{2} \)
\( n! < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
jeżeli \( (\frac{n}{2}) ^{n} > n!\) i powyższa nierówność będzie spełniona dla \( ( \frac{n}{2}) ^{n} \) , to tym bardziej będzie dla \(n!\)
\( ( \frac{n}{2}) ^{n} < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
\(2n ^{n} < (n+1) ^{n} \)
\(2n ^{n} < {n \choose 0} n ^{n} + {n \choose 1} n ^{(n-1)} + ... + 1 \)
wszystkie elementy po prawej stornie nierówności są dodatnie, sprawdzę więc czy \( {n \choose 0} n ^{n} - 2n ^{n} > 0\)
\( {n \choose 0} n ^{n} = n! \cdot n ^{n} \)
\(n! \cdot n ^{n} - 2n ^{n} = n ^{n} (n! - 2) \)
dla \(\displaystyle{ n \ge 6 , n! > 2 }\)
więc \(n ^{n} (n! - 2) > 0\)
nierówność jest więc spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6.}\)
Ostatnio zmieniony 16 lut 2022, o 18:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie dubluj tematów. Poprawa wiadomości.
Powód: Nie dubluj tematów. Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
To jest bardzo nieprawda, bo \(\displaystyle{ {n \choose 0}=1}\).
a4karo dał Ci wskazówkę, czemu nie chcesz z niej skorzystać?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:
A jak bardzo chcesz indukcją, to wskazówka do kroku indukcyjnego zaczyna się tak:
\(\displaystyle{ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}\)