podzielność

[materla]

1) Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Dla jakiego \(\displaystyle{ k \in {0,1,2, . . . , p+ 1}}\) mamy \(\displaystyle{ p | {p+1 \choose k} }\)

2) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\) nie jest liczbą wymierną dla żadnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

[mol_ksiazkowy]

1) \(\displaystyle{ {p \choose k} }\) dzieli się przez p dla dowolnego k
2) Nie wprost

[materla]

1) \(\displaystyle{ {p \choose k} }\) dzieli się przez p dla dowolnego k
2) Nie wprost

1) a nie jest przypadkiem tak, że dla \(\displaystyle{ k \in 1,2,...,p-1}\) mamy \(\displaystyle{ p | {p \choose k} }\), a dla \(\displaystyle{ k = 0, p}\) to nie zachodzi, bo \(\displaystyle{ p}\) się wtedy skraca i wyrażenie jest równe 1. Jak wiadomo \(\displaystyle{ p>1}\) i dlatego nie może dzielić jedynki

[a4karo]

ad 2. Wsp: Napisz wielomian, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\). Co wiesz o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Dodano po 6 minutach 7 sekundach:
ad 1 Masz rację. Również dla `k=p` nie ma podzielności. A to jest kluczem do podania prawidłowej odpowiedzi (wsk: jak powstają wyrazy w wierszu `p+1` trójkąta Pascala?

[materla]

ad 2. Wsp: Napisz wielomian, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\). Co wiesz o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Dodano po 6 minutach 7 sekundach:
ad 1 Masz rację. Również dla `k=p` nie ma podzielności. A to jest kluczem do podania prawidłowej odpowiedzi (wsk: jak powstają wyrazy w wierszu `p+1` trójkąta Pascala?

ad 2 pod pierwiastkiem takiego wielomianu musi być kwadrat liczby wymiernej. Jak wiadomo kwadratu liczby wymiernej nie można zapisać jako liczbę pierwszą. Oczywiście dla n>1
Co jest chyba wystarczającym dowodem.

ad 1 no ogólnie te wyrazy są różnymi sumami wielokrotności liczb pierwszych z wiersza p dla wierszy wszystkich oprócz tych najbardziej skrajnych mianowicie, dwóch skrajnych po obu stronach. a te odpowiadają \(\displaystyle{ k=0,1}\) i \(\displaystyle{ k=p, p+1}\). Czyli mamy rozwiązania.

Dzięki, fajnie zobaczyć te rozwiązania na tym trójkącie

[a4karo]

ad 2 A skąd Ci się tam kwadrat wziął. Napisz ten wielomian..