Składanie funkcji - określanie dziedziny

[smp]

Cześć

Potrzebuję pomocy z składaniem funkcji - a dokładnie określaniem dziedziny
Mam tutaj przykład
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x ^{2} -1 } }\)
Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \(\displaystyle{ \{-1,1\}}\) aby mianownik nie był =0
\(\displaystyle{ g(x)=\sqrt{x+1}}\) a tutaj dziedzina to od \(\displaystyle{ [-1, \infty )}\)
I teraz mam pytanie/prośbę o poradę jak składać dziedzinę dla funkcji? Czy jest możliwe aby to robić np. na przedziałach jakoś graficznie?
Bo funkcja złożona wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)

[Jan Kraszewski]

Określenie dziedziny funkcji

Bo funkcja złożona wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)

Nie funkcja, tylko wzór funkcji - to nie to samo... No i wypadałoby określić, w jakiej kolejności te funkcje składasz.

JK

[smp]

Określenie dziedziny funkcji

Bo funkcja złożona wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)

Nie funkcja, tylko wzór funkcji - to nie to samo... No i wypadałoby określić, w jakiej kolejności te funkcje składasz.

JK

Fakt przepraszam
No to \(\displaystyle{ f \circ g = f(\sqrt{x+1})= \frac{1}{ (\sqrt{x+1} )^{2} -1 }= \frac{1}{x} }\)

I fakt teraz może trochę zrozumiałem to zagadnienie (trudne jest)
\(\displaystyle{ x \in D_g \in [-1, \infty)}\)
\(\displaystyle{ g(x) \in D_f \in \RR \setminus \{-1, 1\}}\)
czyli wystarczy zrobić 2 obliczenia
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq -1 }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq 1 }\) a wtedy wychodzi nam \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

[Jan Kraszewski]

No to \(\displaystyle{ f \circ g = f(\sqrt{x+1})=... }\)

Raczej \(\displaystyle{ f \circ g\,\red{(x)} =f(g(x))= f(\sqrt{x+1})=... }\)

I fakt teraz może trochę zrozumiałem to zagadnienie (trudne jest)
\(\displaystyle{ x \in D_g \in [-1, \infty)}\)
\(\displaystyle{ g(x) \in D_f \in \RR \setminus \{-1, 1\}}\)
czyli wystarczy zrobić 2 obliczenia
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq -1 }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq 1 }\) a wtedy wychodzi nam \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Źle. Rachunki wykonałeś dobrze, ale musisz pamiętać (i rozumieć), że dziedzina złożenia jest częścią wspólną tych zbiorów. Rozpisz sobie, jak działają te złożenia, to zrozumiesz dlaczego.

JK

[smp]

fakt powinno być \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=f(g(x))= f(\sqrt{x+1})}\)

A co do dziedziny to wtedy mam rozumieć że,
\(\displaystyle{ x \in D_g \in [-1, \infty)}\)
Obliczam, że
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \in D_f \in \RR \setminus \{-1, 1\}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq -1 }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq 1 }\)
czyli wyjdzie, że \(\displaystyle{ x \neq 0 \Rightarrow \mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}}\)
I teraz obliczamy dziedzinę poprzez ich część wspólną (czyli ich sumę)?
\(\displaystyle{ [-1, \infty) \wedge ((- \infty, 0) \vee (0, \infty )) \Rightarrow [-1, 0) \vee (0, \infty )}\) i to będzie ta dziedzina?

[Jan Kraszewski]

Używaj może mniej znaczków, bo liczysz dobrze, ale piszesz źle.

A co do dziedziny to wtedy mam rozumieć że,
\(\displaystyle{ x \in D_g \,\red{\in}\, [-1, \infty)}\)

Nie, dziedzina nie należy do tego zbioru, dziedzina jest tym zbiorem, czyli \(\displaystyle{ D_g =[-1, \infty).}\)

Obliczam, że
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \in D_f \,\red{\in}\, \RR \setminus \{-1, 1\}}\)

Znów ten sam błąd.

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq -1 }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x+1} \neq 1 }\)
czyli wyjdzie, że \(\displaystyle{ x \neq 0\ \red{ \Rightarrow \mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}}}\)

Tak wyjdzie, ale znaczki znów nie mają sensu. Jak już, to \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}.}\)

I teraz obliczamy dziedzinę poprzez ich część wspólną (czyli ich sumę)?

Nie, nie sumę. Część wspólna to coś zupełnie innego niż suma.

\(\displaystyle{ [-1, \infty) \,\red{\wedge}\, ((- \infty, 0) \,\red{\vee}\, (0, \infty )) \,\red{ \Rightarrow}\, [-1, 0) \, \red{\vee}\, (0, \infty )}\)

I znów znaczki pokićkały Ci się zupełnie. Symbole \(\displaystyle{ \land}\) i \(\displaystyle{ \lor}\) oznaczają spójniki logiczne i nie można ich stosować do zbiorów. Tak samo nie ma sensu symbol implikacji, który pomiędzy te zbiory wstawiłeś.

i to będzie ta dziedzina?

Tak, dziedzina złożenia \(\displaystyle{ g}\) z \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ [-1, 0) \cup (0, \infty ).}\)

JK