Aksjomat wyboru
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Aksjomat wyboru
Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ R\subset X\times X}\) będzie dowolną relacją. Wykazać (przy pomocy aksjomatu wyboru), że istnieje wtedy maksymalny pod względem inkluzji zbiór \(\displaystyle{ B\subset X}\), taki, że \(\displaystyle{ B\times B\subset R.}\)
Czyli, że w relacji można zawrzeć maksymalny kwadrat- hm, ciekawe. Spróbuje to udowodnić.
Dowód:
Rozważmy zbiór: \(\displaystyle{ B=\left\{ A\subset X\Biggl| \ \ A\times A\subset R \right\}.}\)
i uporządkujmy go inkluzją- wiemy, że inkluzja na każdej rodzinie podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest relacją porządku, zatem tu też tak jest, czyli \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym.
Będziemy chcieli zastosować lemat Zorna do takiego zbioru uporządkowanego. W tym celu ustalmy dowolny łańcuch \(\displaystyle{ D}\) w \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\). Jako ograniczenie górne kładziemy \(\displaystyle{ \bigcup D}\), jednak wpierw musimy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup D\in B}\). Suma rodziny \(\displaystyle{ D}\)- podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right) \subset R.}\) W tym celu, niech \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right).}\) Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x,y\in\bigcup D}\), a więc \(\displaystyle{ x\in A\in D}\) dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A}\), oraz \(\displaystyle{ y\in C\in D}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ D}\) jest łańcuchem, zbiory \(\displaystyle{ A,C}\) są porównywalne pod względem inkluzji, więc \(\displaystyle{ A\subset C}\) lub \(\displaystyle{ C\subset A.}\) Zajmijmy się najpierw pierwszym przypadkiem. Wtedy \(\displaystyle{ x,y\in C}\), a więc ponieważ \(\displaystyle{ C\in D\subset B}\), więc \(\displaystyle{ C\in B}\), a więc z określenia zbioru \(\displaystyle{ B}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ C\times C\subset R}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in C\times C}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in R.}\) W drugim przypadku \(\displaystyle{ C\subset A}\) analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in R.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right) \subset R,}\) a więc \(\displaystyle{ \bigcup D\in B.}\) Wiemy, że każdy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ D}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \bigcup D}\), czyli jeśli \(\displaystyle{ A\in D}\), to \(\displaystyle{ A\subset\bigcup D.}\) Stąd \(\displaystyle{ \bigcup D}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ D}\), i z dowolności wyboru takiego zbioru, każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) ma ograniczenie górne.
Stosując aksjomat wyboru (pod postacią lematu Zorna) wnioskujemy, że w\(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) jest element maksymalny- jest to poszukiwany kwadrat maksymalny (pod względem inkluzji) zawarty w relacji \(\displaystyle{ R. \square}\)
Mam jeszcze takie zadanie:
Czy dla istnienia funkcji \(\displaystyle{ f:\mathcal{P}(\mathbb{Q})\rightarrow \mathbb{Q}}\) takiej, że \(\displaystyle{ f(A)\in A}\) dla każdego niepustego \(\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{Q}}\) niezbędny jest aksjomat wyboru?
Odpowiedź brzmi nie- nie wiem dlaczego.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ R\subset X\times X}\) będzie dowolną relacją. Wykazać (przy pomocy aksjomatu wyboru), że istnieje wtedy maksymalny pod względem inkluzji zbiór \(\displaystyle{ B\subset X}\), taki, że \(\displaystyle{ B\times B\subset R.}\)
Czyli, że w relacji można zawrzeć maksymalny kwadrat- hm, ciekawe. Spróbuje to udowodnić.
Dowód:
Rozważmy zbiór: \(\displaystyle{ B=\left\{ A\subset X\Biggl| \ \ A\times A\subset R \right\}.}\)
i uporządkujmy go inkluzją- wiemy, że inkluzja na każdej rodzinie podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest relacją porządku, zatem tu też tak jest, czyli \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym.
Będziemy chcieli zastosować lemat Zorna do takiego zbioru uporządkowanego. W tym celu ustalmy dowolny łańcuch \(\displaystyle{ D}\) w \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\). Jako ograniczenie górne kładziemy \(\displaystyle{ \bigcup D}\), jednak wpierw musimy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup D\in B}\). Suma rodziny \(\displaystyle{ D}\)- podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right) \subset R.}\) W tym celu, niech \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right).}\) Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x,y\in\bigcup D}\), a więc \(\displaystyle{ x\in A\in D}\) dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A}\), oraz \(\displaystyle{ y\in C\in D}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ D}\) jest łańcuchem, zbiory \(\displaystyle{ A,C}\) są porównywalne pod względem inkluzji, więc \(\displaystyle{ A\subset C}\) lub \(\displaystyle{ C\subset A.}\) Zajmijmy się najpierw pierwszym przypadkiem. Wtedy \(\displaystyle{ x,y\in C}\), a więc ponieważ \(\displaystyle{ C\in D\subset B}\), więc \(\displaystyle{ C\in B}\), a więc z określenia zbioru \(\displaystyle{ B}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ C\times C\subset R}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in C\times C}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in R.}\) W drugim przypadku \(\displaystyle{ C\subset A}\) analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in R.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( \bigcup D\right) \times \left( \bigcup D\right) \subset R,}\) a więc \(\displaystyle{ \bigcup D\in B.}\) Wiemy, że każdy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ D}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \bigcup D}\), czyli jeśli \(\displaystyle{ A\in D}\), to \(\displaystyle{ A\subset\bigcup D.}\) Stąd \(\displaystyle{ \bigcup D}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ D}\), i z dowolności wyboru takiego zbioru, każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) ma ograniczenie górne.
Stosując aksjomat wyboru (pod postacią lematu Zorna) wnioskujemy, że w\(\displaystyle{ \left( B,\subset\right)}\) jest element maksymalny- jest to poszukiwany kwadrat maksymalny (pod względem inkluzji) zawarty w relacji \(\displaystyle{ R. \square}\)
Mam jeszcze takie zadanie:
Czy dla istnienia funkcji \(\displaystyle{ f:\mathcal{P}(\mathbb{Q})\rightarrow \mathbb{Q}}\) takiej, że \(\displaystyle{ f(A)\in A}\) dla każdego niepustego \(\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{Q}}\) niezbędny jest aksjomat wyboru?
Odpowiedź brzmi nie- nie wiem dlaczego.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Aksjomat wyboru
Podpowiedź: gdyby \(\displaystyle{ \QQ}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ \NN}\), to umiałbyś taką funkcję zdefiniować?Jakub Gurak pisze:Czy dla istnienia funkcji \(\displaystyle{ f:\mathcal{P}(\mathbb{Q})\rightarrow \mathbb{Q}}\) takiej, że \(\displaystyle{ f(A)\in A}\) dla każdego niepustego \(\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{Q}}\) niezbędny jest aksjomat wyboru?
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Aksjomat wyboru
Tak, wystarczy niepustemu podzbiorowi \(\displaystyle{ A\subset\NN}\) przypisać jego liczbę najmniejszą. Wtedy \(\displaystyle{ f\left( A\right)\in A}\), bo element najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ A}\).
Teraz już chyba wiem, trzeba ustalić bijekcję \(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \QQ}\). I zdefiniować \(\displaystyle{ h:P\left( \QQ\right) \rightarrow \QQ}\) jako:
\(\displaystyle{ h\left( \left\{ \right\} \right) =0,}\)
\(\displaystyle{ h\left( A\right)=g\left( f\left( \stackrel { \rightarrow } {g ^{-1} } \left( A\right) \right) \right),}\) gdy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} .}\)
Czyli odwracamy zbiór \(\displaystyle{ A}\), potem bierzemy liczbę najmniejszą w otrzymanym podzbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), a potem wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) na tym elemencie.
Łatwo sprawdzić, że wtedy \(\displaystyle{ h\left( A\right) \in A.}\)
Nie użyliśmy aksjomatu wyboru - chciałbym się upewnić, więc proszę o odpowiedź.
Teraz już chyba wiem, trzeba ustalić bijekcję \(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \QQ}\). I zdefiniować \(\displaystyle{ h:P\left( \QQ\right) \rightarrow \QQ}\) jako:
\(\displaystyle{ h\left( \left\{ \right\} \right) =0,}\)
\(\displaystyle{ h\left( A\right)=g\left( f\left( \stackrel { \rightarrow } {g ^{-1} } \left( A\right) \right) \right),}\) gdy \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} .}\)
Czyli odwracamy zbiór \(\displaystyle{ A}\), potem bierzemy liczbę najmniejszą w otrzymanym podzbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), a potem wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) na tym elemencie.
Łatwo sprawdzić, że wtedy \(\displaystyle{ h\left( A\right) \in A.}\)
Nie użyliśmy aksjomatu wyboru - chciałbym się upewnić, więc proszę o odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Aksjomat wyboru
\(\displaystyle{ h( \emptyset)=0\not\in\emptyset}\), w zadaniu był warunek dla wszystkich niepustych podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Zresztą musi tak być, bo do zbioru pustego nic nie należy, (w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset\notin \emptyset}\) ).
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Aksjomat wyboru
Ale nie w tym miejscu.
Jeżeli dla każdego `x\in X` zachodzi ` \neg xRx`, to zbiór \(\displaystyle{ B=\left\{ A\subset X\Biggl| \ \ A\times A\subset R \right\}=\{\emptyset\}}\)
Jeżeli dla każdego `x\in X` zachodzi ` \neg xRx`, to zbiór \(\displaystyle{ B=\left\{ A\subset X\Biggl| \ \ A\times A\subset R \right\}=\{\emptyset\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Aksjomat wyboru
Też co najmniej dwuelementowa relacja antysymetryczna podobnie w niej zawrzeć można tylko kwadrat kartezjański zbioru pustego.
Ale w jednoelementowym zbiorze uporządkowanym jego jedyny element jest jego elementem maksymalnym, taki oczywisty fakt w nieoczywistej formie trzeba wykorzystać tutaj.
Nie spodziewałem się tego, jak się tym zajmowałem na intuicje mi się wydawało, że w niepustej relacji zawsze się zmieści kwadrat kartezjański, choćby bardzo mały, ale miałem podejście "ciągłe", nie dyskretne. Teraz widzę, że ten fakt nie jest taki całkiem naturalny, np. można rozwažyć relacje: prosta pozioma(kwadraty kartezjańskie jednopunktowe), prosta pionowa(podobnie kwadraty jednopunktowe), przekątna (również). Nie jest już dla mnie to takie naturalne .
Dodano po 19 godzinach 45 minutach 37 sekundach:
Ale w jednoelementowym zbiorze uporządkowanym jego jedyny element jest jego elementem maksymalnym, taki oczywisty fakt w nieoczywistej formie trzeba wykorzystać tutaj.
Nie spodziewałem się tego, jak się tym zajmowałem na intuicje mi się wydawało, że w niepustej relacji zawsze się zmieści kwadrat kartezjański, choćby bardzo mały, ale miałem podejście "ciągłe", nie dyskretne. Teraz widzę, że ten fakt nie jest taki całkiem naturalny, np. można rozwažyć relacje: prosta pozioma(kwadraty kartezjańskie jednopunktowe), prosta pionowa(podobnie kwadraty jednopunktowe), przekątna (również). Nie jest już dla mnie to takie naturalne .
Dodano po 19 godzinach 45 minutach 37 sekundach:
Tu pomyłka z mojej strony, jeśli rozważymy relację \(\displaystyle{ R}\) która jest podzbiorem przekątnej co najmniej dwuelementowym, to jest ona antysymetryczna, i jeśli \(\displaystyle{ \left( x,x\right) \in R}\), to dla \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) , mamy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times \left\{ x\right\} \subset R}\), co więcej takich zbiorów jednoelementowych może być więcej.Jakub Gurak pisze: ↑7 gru 2020, o 22:05 Też co najmniej dwuelementowa relacja antysymetryczna podobnie w niej zawrzeć można tylko kwadrat kartezjański zbioru pustego.
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Aksjomat wyboru
Mamy tez taki fakt, że jeśli mamy dwa zbiory, i dowolną relację pomiędzy nimi, to istnieje maksymalny prostokąt kartezjański zawarty w tej relacji, który to fakt udowodniłem TU.
interesuje mnie pewien problem, którego chyba nie dam rady sam rozwiązać, bo mam kiepską wyobraźnię przestrzenną. Otóż:
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ \RR^3}\), mający dodatnią objętość, tzn. zawierający pewną kostkę otwartą, czyli iloczyn kartezjański pewnych trzech przedziałów otwartych, i jeszcze ograniczony, czyli zawarty w pewnej kostce, poza tym dowolny. Podejrzewam, ale nie dam rady sam tego udowodnić, ze względu na to, że mam kiepską wyobraźnię przestrzenną, ale podejrzewam, że wtedy istnieje maksymalna, względem inkluzji, kula otwarta( czyli kula bez sfery) zawarta w tym podzbiorze \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\). Pomoże ktoś
interesuje mnie pewien problem, którego chyba nie dam rady sam rozwiązać, bo mam kiepską wyobraźnię przestrzenną. Otóż:
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ \RR^3}\), mający dodatnią objętość, tzn. zawierający pewną kostkę otwartą, czyli iloczyn kartezjański pewnych trzech przedziałów otwartych, i jeszcze ograniczony, czyli zawarty w pewnej kostce, poza tym dowolny. Podejrzewam, ale nie dam rady sam tego udowodnić, ze względu na to, że mam kiepską wyobraźnię przestrzenną, ale podejrzewam, że wtedy istnieje maksymalna, względem inkluzji, kula otwarta( czyli kula bez sfery) zawarta w tym podzbiorze \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\). Pomoże ktoś
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Aksjomat wyboru
FYI Mieć dodatnią objętość to nie to samo co zawierać kostkę otwartą. Takie przykłady robi się na pierwszym roku. (zbiór Cantora, dywan Sierpińskiego, kostka Mengera).
Możesz tez z sześcianu usunąć punkty o wszystkich współrzędnych wymiernych i dalej dostaniesz zbiór o dodatniej objętości
Zatem to, co napisałeś nie jest prawdą
Możesz tez z sześcianu usunąć punkty o wszystkich współrzędnych wymiernych i dalej dostaniesz zbiór o dodatniej objętości
Zatem to, co napisałeś nie jest prawdą
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Aksjomat wyboru
Odpowiedź jest twierdząca nawet bez założenia o dodatniej objętości, wystarczy ograniczoność i niepuste wnętrze. I nawiasem mówiąc - zbiór Cantora ma zerową objętość (jednowymiarową), a dodatnią miałby na przykład tłusty zbiór Cantora.
Dowód: niech
\(\displaystyle{ R = \sup \{ r > 0 : A \text{ zawiera kulę otwartą o promieniu } r \}}\)
i weźmy ciąg kul \(\displaystyle{ B(x_n, r_n) \subseteq A}\) o promieniach dążących do \(\displaystyle{ R}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest ograniczony, więc ma podciąg zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR^3}\), a dla uproszczenia notacji możemy przyjąć, że owym podciągiem jest sam \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ B(x, R)}\) jest szukaną maksymalną kulą zawartą w \(\displaystyle{ A}\).
Wystarczy wykazać zawieranie \(\displaystyle{ B(x, R) \subseteq A}\), bo większa kula o tej własności w oczywisty sposób istnieć nie może. Weźmy więc dowolny \(\displaystyle{ y \in B(x, R)}\) i dla \(\displaystyle{ \varepsilon := R - d(x, y) > 0}\) znajdźmy takie \(\displaystyle{ n}\), takie że \(\displaystyle{ d(x_n, x) < \frac{\varepsilon}{2}}\) i \(\displaystyle{ r_n > R - \frac{\varepsilon}{2}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ d(x_n, y) \le d(x_n, x) + d(x, y) < \frac{\varepsilon}{2} + R - \varepsilon = R - \frac{\varepsilon}{2} < r_n}\),
czyli \(\displaystyle{ y \in B(x_n, r_n) \subseteq A}\) i stąd \(\displaystyle{ y \in A}\).
Dowód: niech
\(\displaystyle{ R = \sup \{ r > 0 : A \text{ zawiera kulę otwartą o promieniu } r \}}\)
i weźmy ciąg kul \(\displaystyle{ B(x_n, r_n) \subseteq A}\) o promieniach dążących do \(\displaystyle{ R}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest ograniczony, więc ma podciąg zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR^3}\), a dla uproszczenia notacji możemy przyjąć, że owym podciągiem jest sam \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ B(x, R)}\) jest szukaną maksymalną kulą zawartą w \(\displaystyle{ A}\).
Wystarczy wykazać zawieranie \(\displaystyle{ B(x, R) \subseteq A}\), bo większa kula o tej własności w oczywisty sposób istnieć nie może. Weźmy więc dowolny \(\displaystyle{ y \in B(x, R)}\) i dla \(\displaystyle{ \varepsilon := R - d(x, y) > 0}\) znajdźmy takie \(\displaystyle{ n}\), takie że \(\displaystyle{ d(x_n, x) < \frac{\varepsilon}{2}}\) i \(\displaystyle{ r_n > R - \frac{\varepsilon}{2}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ d(x_n, y) \le d(x_n, x) + d(x, y) < \frac{\varepsilon}{2} + R - \varepsilon = R - \frac{\varepsilon}{2} < r_n}\),
czyli \(\displaystyle{ y \in B(x_n, r_n) \subseteq A}\) i stąd \(\displaystyle{ y \in A}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 476 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Aksjomat wyboru
Tak, to prawda.Dasio11 pisze: ↑24 gru 2021, o 11:50 Odpowiedź jest twierdząca nawet bez założenia o dodatniej objętości, wystarczy ograniczoność i niepuste wnętrze. I nawiasem mówiąc - zbiór Cantora ma zerową objętość (jednowymiarową), a dodatnią miałby na przykład tłusty zbiór Cantora.
Ale trudno mi wyobrazić sobie pasjonata teorii mnogości, który świeżo ukończył studia i nie zna takich przykładów.
-
- Administrator
- Posty: 34485
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy