Jak policzyć całkę oznaczoną?

[arek_79]

Jak rozpisać całkę oznaczoną krok po kroku lub zamiana na ln
Zadanie dla kogoś z polibudy.
Ja polibudę kończyłem w 2004 roku


dane
pole powierzchni \(\displaystyle{ F=5,556\,m^2}\)
wsp. przenikania ciepła \(\displaystyle{ = 4,248\, \frac{W}{m^2}\cdot K}\)
ciepło właściwe \(\displaystyle{ = 1010\, \frac{J}{kg}\cdot K}\)
masa \(\displaystyle{ = 1000\ kg}\)
\(\displaystyle{ t_1=20,1^\circ C\\
t_0=20^\circ C\\
t_2 = 100^\circ C}\)


\(\displaystyle{ \frac{\text{masa}\cdot\text{ciepło właściwe}}{\text{powierzchnia}\cdot\text{współczynnik przenikania ciepła}}\cdot\int_{20.1C}^{100C}\cdot\frac{1}{20,1^\circ C-20^\circ C}\cdot dt_1}\)

Wynik z mathcada
czas \(\displaystyle{ = 287189}\) sekund

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \frac{\text{masa}\cdot\text{ciepło właściwe}}{\text{powierzchnia}\cdot\text{współczynnik przenikania ciepła}}\cdot\int_{20.1C}^{100C}\cdot\frac{1}{20,1^\circ C-20^\circ C}\cdot dt_1}\)

Matematycznie to ten zapis z całką jakoś nie bardzo ma sens, za dużo tych kropek. Pytanie zatem brzmi, co naprawdę chciałeś napisać.

JK

[daras170]

Kolega napisał tylko prawą część równania Fouriera już po rozdzieleniu zmiennych. Lewa strona tez jest całką i wtedy to może będzie miało większy sens.

[arek_79]

Cześć liczę w pracy czas nagrzania i stygnięcia wody w sieci Ciepłowniczej. Jest to wzór z wymiany ciepła. Jak widać przed całką jest w liczniku masa razy ciepło właściwe, a w mianowniku pole powierzchni razy współczynnik przenikania ciepła razy całka oznaczona, dolna granica wynosi 20,1 stopnia Celsjusza, górna granica wynosi 100 stopni. W liczniku 1 dzieline przez 20 1C - 20C no i liczone po dt(20.1C)
Jeżeli tą całkę zapisuję w mathcadzie to normalnie wychodzi wynik w sekundach.
Wzór jest prawidłowy bo wszystkie i jednostki się skracają i wychodzi w sekundach. Ja polibuda kończyłem w 2004 roku i ciężko jest mi przypomnieć sobie na dzień dzisiejszy rachunek całkowy ale 20 lat temu to takie całki robiłem w ciągu sekundy

[arek1357]

Według wszelkich prawideł patrząc na to z chłopskiego punktu widzenia wszystko co widzę pod całką jest liczbą np:


\(\displaystyle{ t_{1}=20,1^OC}\)

czyli:

\(\displaystyle{ dt_{1}=}\) (nie wiem po czym) powinno być zero, a cały ten ułamek to dla mnie liczba i tylko liczba , skoro C to oznaczenie stopni

więc cała ta całka winna być zero... o ile można to nazwać całką...

[arek_79]

Na początku podziękowania dla Pana Jana Kraszewskiego, który przekształcił wzór w latex’ie.
Wzór jest w porządku. Podstawiając jednostki do wzoru , to wynik wychodzi w sekundach.
Idea jest taka, ile czasu potrzeba, aby woda o temp. Np. \(\displaystyle{ 70^\circ C}\) przy temperaturze otoczenia \(\displaystyle{ 20^\circ C}\) schłodziła się do temperatury \(\displaystyle{ 30^\circ C.}\)
Podstawiając dane do całki i wynik z mathcada wychodzi \(\displaystyle{ = 89338s}\).
Przekształcając całkę na logarytm naturalny to wynik wychodzi tyle samo \(\displaystyle{ 89338s}\).
Czyli, wzór jest ok.
Całka po przekształceniu na LN przyjmuje postać:
Wzór piszę tak jak w Excelu bo nie znam skrótów w latex’ie

\(\displaystyle{ \frac{\text{masa}\cdot\text{ciepło właściwe}}{\text{pole}\cdot\text{wsp. przenikania ciepła}}\cdot\ln\frac{100^\circ C-20^\circ C}{30^\circ C-20^\circ C} = 89338s}\)

Myślałem, że na forum uzyskam odpowiedź, jak rozpisać wzór z całką krok po kroku podstawiać dane.
Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Wzór piszę tak jak w Excelu bo nie znam skrótów w latex’ie

Naucz się, tu masz instrukcję: [instrukcja] Krótki kurs LaTeX-a. W końcu zmęczy mnie poprawianie Twoich postów (\(\displaystyle{ \LaTeX}\) jest na forum obowiązkowy) i zacznę je wyrzucać do Kosza.

JK

[janusz47]

Obliczenia w OCTAVE

\(\displaystyle{ t = \frac{m \cdot c}{F \cdot k} \int_{20.1 ^{o}C}^{100^{o}C}\frac{1}{20,1^{o}C - 20^{o} C }dt_{1} = \frac{m\cdot c}{F \cdot k\cdot 0,1}
\ln(t_{1} -20^{o}C) |_{20,1^{o} C}^{100^{o} C} = 286000 s.}\)

Dodano po 23 minutach 36 sekundach:
Zapis całki sugeruje na wzrost liniowy czasu \(\displaystyle{ t, }\) co nie jest prawdą. Czas wzrostu temperatury kotła jest logarytmiczny.

Faktycznie powinniśmy obliczyć całkę oznaczoną postaci:

\(\displaystyle{ Stała \ \ \cdot \int_{20,1^{o} C}^{100^{o}C} \frac{1}{t_{1}- t_{0}}dt_{1}. }\)

[arek_79]

Dziękuję za pomoc w rozwiązaniu zadania dla Pana Jana Kraszewskiego i dla Pana Janusza 47

[arek1357]

Całka obliczona przez Janusza o ile można nazwać to całką więc nie wiem co on obliczał a całka zapisana poniżej przez tegoż samego Janusza to zgoła dwie zupełnie różne rzeczy.... To co jest poniżej możemy nazywać całką...

[janusz47]

Jeden i drugi zapis jest całką. Całka obliczona jako pierwsza powinna być zapisana w postaci całki drugiej.

Jeśli potrafimy całkować, to całka podana przez Pana arka_79 wskazuje na liniowy czas wzrostu temperatury zależny od różnicy temperatur \(\displaystyle{ \Delta t = t_{1} - t_{0} }\) na kotle. Ta całka nigdy nie równa się zeru.

[arek1357]

Ale w tym pierwszym co nazywasz całką skąd ci wyszedł logarytm skoro w ułamku są same stałe dla mnie to dziwne...

[janusz47]

Napisałem, że ta całka powinna być w postaci \(\displaystyle{ t = Stała \cdot \int_{20.1 ^{o}C}^{100^{o}C }\frac{1}{t_{1} - t_{0}}dt_{1} }\)

gdzie Stała \(\displaystyle{ = \frac{m \cdot c}{F \cdot k \cdot \Delta t}, \ \ \Delta t = 20,1^{o}C - 20^{o} C}\)

Wartość całki podanej przez Pana Arka79 byłaby równa:

\(\displaystyle{ t = \frac{m \cdot c}{F \cdot k} \int_{20.1 ^{o}C}^{100^{o} C}\frac{1}{20,1^{o}C - 20^{o} C } dt_{1} = \frac{m\cdot c}{F \cdot k\cdot 0,1} t_{1}|_{20.1^{o} C}^{100^{o} C} \approx 3,42\cdot 10^{7} s.}\)

[arek_79]

dzięki za pomoc