Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \RR}\), \(\displaystyle{ A =\left\{1+ \frac{(-1) ^{n} }{n} \right\}\cup\left\{1\right\}}\). Zbadać czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty, czy jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\)? Odpowiedzi uzasadnić.
No więc wykreśliłem sobie ten zbiór i przyjmuje one wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1,5}\). W takim przypadku wydaje mi się on domknięty i ograniczony, więc można wybrać popokrycie, które go pokryje, więc zbiór ten jest zwarty. Czy moje rozumowanie jest dobre?
No więc wykreśliłem sobie ten zbiór i przyjmuje one wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1,5}\). W takim przypadku wydaje mi się on domknięty i ograniczony, więc można wybrać popokrycie, które go pokryje, więc zbiór ten jest zwarty. Czy moje rozumowanie jest dobre?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2021, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34440
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
Rozumiem, że masz na myśli zbiór \(\displaystyle{ A =\left\{1+ \frac{(-1) ^{n} }{n} :n\in\NN \right\}\cup\left\{1\right\}}\).
Ograniczony - OK. Ale dlaczego domknięty? Może jakieś uzasadnienie?
Co można zrobić (i dlaczego...)?
JK
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
Wydaje mi się, że jest domknięty, gdyż elementy tego zbioru dążą do 1, która też do tego zbioru należy.
-
- Administrator
- Posty: 34440
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
To może być dobra intuicja, ale to jeszcze nie formalne uzasadnienie.
JK
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
Mam myśl, że 1 jest punktem skupienia, gdyż w dowolnym otoczeniu znajduje się nieskończenie wiele wartości ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Tylko, że z definicji zbioru domkniętego, musi on zawierać wszystkiego punkty skupienia, a wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 0}\), które do tego zbioru należy nim nie jest, gdyż dla wartości \(\displaystyle{ r < \frac23}\) nie ma nieskończenie wiele wartości. W takim razie ten zbiór nie jest domknięty?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2021, o 21:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34440
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
No i co z tego? Mylisz zawierania. Ten warunek nie mówi, że wszystkie punkty zbioru mają być jego punktami skupienia, tylko że wszystkie punkty skupienia zbioru muszą do niego należeć.
Istotnie, \(\displaystyle{ 1}\) jest punktem skupienia tego zbioru i do niego należy, dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.
JK
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
I wtedy to, z tym co wyżej jest napisane wystarczy by stwierdzić, że jest zwarty?Jan Kraszewski pisze: ↑6 gru 2021, o 22:00
(...) dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.
A jak zabrać się za drugą część pytania, czy jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\)?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4100
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1408 razy
Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R
To wystarczy do domkniętości o ile wiesz, że \(\displaystyle{ \text{cl}\, X= X \cup \left\{ \text{punkty skupienia}\,(X) \right\} }\) bo formalnie to pokazałeś, że \(\displaystyle{ A \cup \left\{ \text{punkty skupienia}\,(A) \right\} =A}\) zatem \(\displaystyle{ \cl \, A=A}\) zatem domknięcie zbioru to nasz zbiór zatem \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty. Do zwartość jeszcze czegoś brakuje chyba, że się powołasz na równoważność zwartości z domkniętością i organicznością (w \(\displaystyle{ \RR}\)). Domkniętość możesz pokazać pokazując, że do każdego elementy \(\displaystyle{ A}\) da się dążyć jakimś ciągiem. Istotnie każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ 1+(-1)^k/k}\) i da się do niego dążyć ciągiem stałym lub jest to \(\displaystyle{ 1}\) i ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+(-1)^n/n\right)_{n=1}^{\infty} }\) do niego dąży. Więc da się dążyć do każdego elementu \(\displaystyle{ A}\). Co do otwartości to możesz z definicji próbować.elos1534 pisze: ↑6 gru 2021, o 22:32I wtedy to, z tym co wyżej jest napisane wystarczy by stwierdzić, że jest zwarty?Jan Kraszewski pisze: ↑6 gru 2021, o 22:00
(...) dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.
-
- Administrator
- Posty: 34440
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4100
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1408 razy