Nierówność cyklometryczna

[IceMajor2]

Witam, mam taką nierówność \(\displaystyle{ \tg^{2}\left( \arcsin x\right) > 1}\). Nie wiem za bardzo co z tym zrobić.
Udało mi się określić jedynie dziedzinę: \(\displaystyle{ x\in\left\langle -1;0\right) \cup \left( 0; 1\right\rangle}\).
Co dalej?

[szw1710]

Wskazówka: oznacz \(y=\arcsin x\) i rozwiąż nierówność \(\tg^2 y>1.\) Oczywiście mamy \(-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}.\) Potem przejdź na arcus sinusa.

[a4karo]

A z jakiego powodu włączyłeś do dziedziny `\pm 1` i wyłączyłeś zero?

[IceMajor2]

Wskazówka: oznacz \(y=\arcsin x\) i rozwiąż nierówność \(\tg^2 y>1.\) Oczywiście mamy \(-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}.\) Potem przejdź na arcus sinusa.

Zatem
\(\displaystyle{ \tg^{2}\left( \arcsin x\right)>1\\\arcsin x = y\\\tg y<-1 \wedge \tg y>1\\ y > \frac{\pi}{4} \wedge y< -\frac{\pi}{4}
}\)
Z pierwszego równania i z drugiego wychodzi, że:
\(\displaystyle{
y \in \left( -\infty; -\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4}; +\infty \right)}\), bo
\(\displaystyle{ D:x \in \left( -1;1\right)}\) (pierwotnie zrobiłem błąd licząc dziedzinę)
Stąd
\(\displaystyle{ \arcsin x>- \frac{\pi}{4} \wedge \arcsin < \frac{\pi}{4}\\\arcsin x > \arcsin -\frac{ \sqrt{2}}{2} \wedge \arcsin x < \arcsin \frac{ \sqrt{2}}{2}}\) Więc mamy:
\(\displaystyle{ x\in\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\).
Jednak musiałem coś pomylić, bo poprawna odpowiedź to: \(\displaystyle{ x\in\left( -1;-\frac{ \sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{2};1\right)}\).

Dodano po 28 sekundach:

A z jakiego powodu włączyłeś do dziedziny `\pm 1` i wyłączyłeś zero?

Rzeczywiście - dziedzina od -1 (wyłącznie) do 1 (wyłącznie).

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{
y \in \left( -\infty; -\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4}; +\infty \right)}\), bo
Stąd
\(\displaystyle{ \arcsin x>- \frac{\pi}{4} \wedge \arcsin < \frac{\pi}{4}}\)

Serio?

JK

[IceMajor2]

\(\displaystyle{
y \in \left( -\infty; -\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4}; +\infty \right)}\), bo
Stąd
\(\displaystyle{ \arcsin x>- \frac{\pi}{4} \wedge \arcsin < \frac{\pi}{4}}\)

Serio?

JK

No i wszystko jasne...